Limes des Reziproken

02.10.2013, 09:52

Spitzn4me

Limes des Reziproken

Meine Frage:
Guten Tag,

ich gehe gerade einem glaub ich relativ leichtem Beweis nach. Aber ich komm einfach nicht so ganz drauf...
Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n} }{b_{n} } = 1 \end{eqnarray*}$
Behauptung: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{b_{n} }{a_{n} } = 1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Beweis:

Also das Hauptproblem ist eigentlich, das ich ja über b_n/a_n nichts annehmen kann, es könnte ja komplett divergieren...
Sei Epsilon größer Null. Außerdem kann man annehmen, das ab hinreichend großem n $\begin{eqnarray*} \frac{b_{n}}{a_{n}} >0 \end{eqnarray*}$ Wegen $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n}}{b_{n}} > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n}}{b_{n}} -1 |<\epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (-\epsilon + 1) * \frac{b_{n}}{a_{n}} < 1 < \frac{b_{n}}{a_{n}} *(\epsilon +1) \end{eqnarray*}$ (i)
Daraus lässt sich insgesamt folgern:
$\begin{eqnarray*} |\frac{b_{n}}{a_{n}} -1 | < \epsilon \frac{b_{n}}{a_{n}} \end{eqnarray*}$

Wegen (i) gilt außerdem:
$\begin{eqnarray*} \frac{b_{n}}{a_{n}}<1 \end{eqnarray*}$
Damit ist dieser Quotient ja in jedem Falle beschränkt.

Ist es bis hier her korrekt und außerdem brauchbar? Nun würde ich Epsilon sehr klein wählen, am ehesten
würd ich sowas machen wie
$\begin{eqnarray*} \epsilon_{0}=\epsilon * \frac{a_{n}}{b_{n}} \end{eqnarray*}$

Dann müssten nach eben gezeigtem entsprechende n_0 existieren so dass: $\begin{eqnarray*} |\frac{b_{n_{0} } }{a_{n_{0} } } -1| < \epsilon_{0} * \frac{b_{n_{0}} }{a_{n_{0}} } = \epsilon \end{eqnarray*}$

02.10.2013, 10:19

klarsoweit

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RE: Limes des Reziproken
Die Frage ist, auf was du zurückgreifen darfst? Z.B.: Ist c_n eine konvergente Folge mit Grenzwert c ungleich Null, dann konvergiert auch die Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{c_n} \end{eqnarray*}$ und der Grenzwert ist 1/c.

02.10.2013, 10:40

Spitzn4me

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RE: Limes des Reziproken
Ja, damit könnte man es natürlich ganz besonders einfach lösen. Ich wollte es aus Übungsgründen ganz bewusst mit den Beträgen lösen. Wäre mein Beweis dabei korrket?

02.10.2013, 11:01

klarsoweit

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RE: Limes des Reziproken
Also ehrlich gesagt mag ich diese Epsilontik-Beweise nicht, schon gar nicht, wenn es anders einfacher geht. Allein schon dieser Schritt:

Zitat:

Original von Spitzn4me
$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n}}{b_{n}} -1 |<\epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (-\epsilon + 1) * \frac{b_{n}}{a_{n}} < 1 < \frac{b_{n}}{a_{n}} *(\epsilon +1) \end{eqnarray*}$ (i)

ist mir nicht zugänglich.

02.10.2013, 12:04

magic_hero

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RE: Limes des Reziproken

Zitat:

Original von klarsoweit
Also ehrlich gesagt mag ich diese Epsilontik-Beweise nicht, schon gar nicht, wenn es anders einfacher geht. Allein schon dieser Schritt:

Zitat:

ist mir nicht zugänglich.

Na ja, da wurde eigentlich einfach nur der Betrag aufgelöst und ein wenig umgestellt.

Zitat:

Original von Spitzn4me
Wegen (i) gilt außerdem:
$\begin{eqnarray*} \frac{b_{n}}{a_{n}}<1 \end{eqnarray*}$
Damit ist dieser Quotient ja in jedem Falle beschränkt.

Die Folgerung sehe ich nicht - zumal für $\begin{eqnarray*} \frac{b_{n}}{a_{n}}=1 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung (i) ja auch erfüllt ist. Das mit der Beschränktheit ist aber sicherlich nicht falsch, nur muss man hier etwas aufpassen und die Wahl von Epsilon beachten.

Dadurch müsstest du auch deinen Schlussschritt überdenken. Aber der wäre dann u.U. nicht so kompliziert, wie du denkst. Würde die Beschränktheit des Quotienten durch 1, wie du sie zeigen wolltest, gelten, könntest du ja direkt einsetzen:

Zitat:

Original von Spitzn4me
$\begin{eqnarray*} |\frac{b_{n}}{a_{n}} -1 | < \epsilon \frac{b_{n}}{a_{n}} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Übrigens würde ich dir empfehlen, dich noch etwas genauer auszudrücken: "ab hinreichend großem n" ist nun mal etwas geschludert, auch wenn man das später gerne so formuliert.

Was ich dir noch empfehlen könnte, wäre ein Widerspruchsbeweis. Dann könntest du das auch in dieser Art aufziehen, würdest aber viel schneller zum Ziel kommen.

02.10.2013, 12:12

Spitzn4me

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RE: Limes des Reziproken

Zitat:

Original von klarsoweit
Also ehrlich gesagt mag ich diese Epsilontik-Beweise nicht, schon gar nicht, wenn es anders einfacher geht. Allein schon dieser Schritt:

Zitat:

ist mir nicht zugänglich.

Der kommt so:
$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n}}{b_{n}} -1 |<\epsilon <=> -\epsilon < \frac{a_{n}}{b_{n}} -1 < \epsilon <=> -\epsilon +1 < \frac{a_{n}}{b_{n}} <\epsilon +1 <=> (-\epsilon+1) \frac{b_{n}}{a_{n}} < 1 < (\epsilon +1) \frac{b_{n}}{a_{n}} \end{eqnarray*}$

02.10.2013, 13:54

klarsoweit

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RE: Limes des Reziproken
OK. Dann klemmt es hier noch:

Zitat:

Original von Spitzn4me
Wegen (i) gilt außerdem:
$\begin{eqnarray*} \frac{b_{n}}{a_{n}}<1 \end{eqnarray*}$
Damit ist dieser Quotient ja in jedem Falle beschränkt.

Was man aber sagen kann, ist, daß es ein n_0 gibt, so daß $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{b_n} > \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ ist für alle n > n_0. Daraus folgt, daß $\begin{eqnarray*} \frac{b_n}{a_n} < 2 \end{eqnarray*}$ .

Damit hast du dann, daß $\begin{eqnarray*} |\frac{b_n}{a_n} - 1| < 2 \epsilon \end{eqnarray*}$ ist und kannst epsilon_0 geeignet wählen.

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