DGL lösen

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02.10.2013, 23:44	Aero	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL lösen Meine Frage: Die Differentialgleichung xy'=y(ln(y)-ln(x)) soll gelöst werden. Ich stoße dabei allerdings auf ein Problem, denn Wolfram Alpha wirft als Lösung y=xexp(cx+1) aus. Das stimmt nicht mit meiner Berechnung überein. Meine Ideen: Es handelt sich um eine homogene lineare DGL 1. Ordnung. Die obige DGL kann ugeformt werden zu y'=g(x)y Hierfür gilt als Lösung y=cexp(G(x)) mit G'=g. Es ist also g(x)=(ln(y)-ln(x))/x so dass die Stammfkt. G sich nach Integration zu ln(y)ln(x)-(ln^2(x))/2 + c ergibt. Eingesetzt in die Lösung für y entspricht das offensichtlich nicht der Lösung von Wolfram Alpha. Wo liegt mein Fehler?
03.10.2013, 00:45	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein g(x) ist auch von y abhängig. Angebracht wäre hier eine Substitution $\begin{eqnarray} z=\frac yx \end{eqnarray}$
03.10.2013, 01:59	Aero	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich nicht. Wie soll mich diese Substitution weiterbringen? Das g(x,y) wird ja damit nicht zu einem g(z). Wie kommst du auf die Substitution?
03.10.2013, 02:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du Logarithmengesetze kennst, ist diese Substitution ziemlich offensichtlich. Danach kannst Du die Variablen trennen.
03.10.2013, 14:10	Aero	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja, ich kann die Logarithmen einfach zusammenfassen. Dann wird $\begin{eqnarray} <br /> g(x,y)=\frac{ln(y) - ln(x)}{x}=\frac{ln(x/y)}{x} <br /> g(z) = \frac{1}{zy}ln(z)<br /> <br /> \text{Eingesetzt in die DGL ergibt dies}<br /> <br /> y' = \frac{dy}{dx}=\frac{1}{z}ln(z)<br /> \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dx} = \frac{dy}{dz} \frac{1}{y} = \frac{1}{z}ln(z)<br /> <br /> \text{Einfache TDV}<br /> <br /> \frac{dy}{y}=\frac{1}{z}ln(z) <br /> \end{eqnarray}$ Aber wenn ich das integriere erhalte ich mit einem ln^2 auf der rechten Seite nicht die Lösung die Wolfram Alpha vorgibt. Wo liegt der Fehler?
03.10.2013, 14:53	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das z hängt doch auch von y ab, so dass Du auf dem Weg nur eine implizite Lösung erhältst. Nutze lieber z und x zur Ermittlung der Lösung. Da y=zx kannst Du y dann problemlos ermitteln.
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03.10.2013, 18:48	Aero	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du konkret? Ob ich y=x/z oder x=yz einsetze macht für die DGL doch kein Unterschied - es kürzt sich heraus so dass die rechte Seite der DGL immer nur von z abhängt. Kannst du mir konkret zeigen was du meinst?
03.10.2013, 19:37	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du y' und y durch die entsprechenden z-Terme ersetzt, erhältst Du eine DGL in z und x. Nachdem Du sie gelöst hast, ergibt sich y aus y=xz
03.10.2013, 20:04	Aero	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay jetzt mal von vorne bis hierhin, weil ich nicht ganz verstehe worauf das abzielen soll. Damit komme ich auch nicht auf das Ergebnis, oder was mache ich falsch? Die DGL, der ursprünglichen Aufgabe, lautet $\begin{eqnarray} <br /> y'=\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}(ln(y)-ln(x))<br /> = \frac{y}{x} ln(\frac{y}{x})<br /> <br /> \text{Mit der Substitution} \ z=\frac{y}{x} \ \text{ergibt sich}<br /> <br /> y'=z \cdot ln(z)<br /> <br /> \text{Jetzt meinst du, ich solle auch y' durch den z-Term ersetzen, da}<br /> <br /> y=z \cdot x \Rightarrow \frac{d}{dx} \ y = z<br /> <br /> \text{Eingesetzt in die DGL}<br /> <br /> z=ln(z) \Rightarrow z=e^{1} \Rightarrow y = x\cdot e^1 <br /> <br /> \text{Und das entspricht nicht der Lösung von Wolfram Alpha die lautet:}<br /> <br /> y=x \cdot e^{cx+1}<br /> \end{eqnarray}$ Also ich kann das doch nicht einfach so anwenden....
03.10.2013, 20:09	Aero	Auf diesen Beitrag antworten »
Es hat sich ein Tippfehler eingeschlichen: Es heißt in der vorletzten Gleichung natürlich z=z*ln(z)
03.10.2013, 20:23	zufälligerbesucher	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zeile $\begin{eqnarray} y=z\cdot x\Rightarrow \frac{dy}{dx}= z \end{eqnarray}$ stimmt nicht, weil doch auch z von x abhängt
03.10.2013, 22:36	Aero	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt. Allerdings erhalte ich nun etwas noch verwirrenderes: $\begin{eqnarray} <br /> y = z \cdot x \Rightarrow \frac{dy}{dx} = z' \cdot x + z<br /> \Rightarrow z'x + z = z \ ln(z) <br /> \text{TDV}<br /> \frac{dx}{x}=\frac{dz}{z \ ln(z)-z} <br /> \end{eqnarray}$ Nur das gibt integriert nicht die richtige Lösung. Wo liegt denn nun wieder das Problem?
03.10.2013, 23:44	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hast Du denn raus? Es müsste im nächsten Schritt $\begin{eqnarray} ln(x)=ln(ln(z)-1)+c \end{eqnarray}$ stehen
04.10.2013, 03:36	Aero	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt wirklich lange daran gesessen aber ich komme nicht drauf. Mit dieser Lösung komme ich nicht weiter, ich komme nicht auf das Ergebnis. Meine Rechnung $\begin{eqnarray} <br /> ln(x) = ln(ln(z)-1)+c \Rightarrow x = e^{ln(ln(z)-1)}e^c<br /> x = (ln(z)-1)e^c \Rightarrow xe^{-c}+1 = ln(z)<br /> e^{xe^{-c}+1}= \frac{y}{x} \Rightarrow y = xe^{xe^{-c}+1}<br /> \end{eqnarray}$ Was offensichtlich nicht dem Ergebnis entspricht....
04.10.2013, 09:44	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo siehst Du da noch einen Unterschied? Mit $\begin{eqnarray} k=e^{-c} \end{eqnarray}$ ist das doch dasselbe
04.10.2013, 13:37	Aero	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja natürlich! Vielen vielen Dank für deine Hilfe!!!
04.10.2013, 13:50	Aero	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage bleibt aber nocht.... Ist das Integral $\begin{eqnarray} <br /> \int \frac{1}{z \cdot (ln(z)-1)}<br /> \end{eqnarray}$ Ein Standard Integral? Mir würde die Lösung dazu jetzt nicht sofort auffallen, wie löst man das analytisch?
04.10.2013, 22:36	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Substituiere t=ln (z)-1

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