Lineare Abbildung (Matrixdarstellung, Basiswechsel)

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03.10.2013, 07:28

Skolja

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Lineare Abbildung (Matrixdarstellung, Basiswechsel)

Hallo ihr Lieben smile

Ich bin mir bei meiner Lösung der Aufgabe nicht sicher, und würde mich freuen wenn mal jemand rübergucken könnte smile

Es sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung und folgenden Werte sind bekannt:

$\begin{eqnarray*} f\left ( \begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix} \right)= \begin{pmatrix} 12 \\ - 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \left ( \begin{pmatrix}0\\ -1 \end{pmatrix}\right )= \begin{pmatrix}-7 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen sie die Matrix $\begin{eqnarray*} M_{f,B} \end{eqnarray*}$ für f bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So jetzt muss ich ja erstmal die Matrix in der Basis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu der Funktion f finden:

Aus
$\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12\\ - 1\end{pmatrix}, \ \ \ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -7\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} a_{11}+2a_{12} =12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{21}+2a_{22}=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -a_{12}=-7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -a_{22} =3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow M= \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So jetzt der Basiswechsel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\ 5\end{pmatrix}= a_{11} \begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix} + a_{21} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 7\\ 3 \end{pmatrix} = a_{12} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} +a_{22} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So damit hätte ich in der neuen Basis dann ja wieder die gleiche Matrix raus verwirrt

Eigentlich müsste das ja auch stimmen weil für die kanonischen Einheitsvektoren gilt, dass das Bild der Vektoren die Spalten ergibt...

Könnte mir jemand sagen ob das so stimmt smile

Vielen Dank Tanzen

03.10.2013, 12:21

Che Netzer

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RE: Lineare Abbildung (Matrixdarstellung, Basiswechsel)

Zitat:

Original von Skolja
So jetzt muss ich ja erstmal die Matrix in der Basis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu der Funktion f finden:

Aus
$\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12\\ - 1\end{pmatrix}, \ \ \ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -7\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da bestimmst du direkt die Matrix bezüglich der Standardbasis. Ansonsten müsstest du mit Koordinatenvektoren rechnen.

Ein Vorzeichenfehler hat sich aber eingeschlichen.

04.10.2013, 03:01

Skolja

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$\begin{eqnarray*} a_{22}=-3 \end{eqnarray*}$ müsst da stehen...
ach ja die Schussligkeit

So also die Aufgabe heißt ja eigentlich nur die Matrix in der Standartbasis zu finden, dass heist ich bin mit den aufgestellten Gleichungen schon am richtigen Ergebnis angekommen.

Nur wie finde ich im allgemeinen die darstellende Matrix zu einer Abbildung raus verwirrt

Irgendwie stehe ich da grad auf dem Schlauch

Also erstmal der Koordinatenvektor für die gegebenen Basis berechne ich wie folgend:

$\begin{eqnarray*} v= \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+ \lambda_2 \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_1 = x \ \ \ \lambda_2 =2x-y \end{eqnarray*}$

mein Koordinatenvektor ist dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ 2x-y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So jetzt gilt nach meinen Wissen:

Sie $\begin{eqnarray*} f\colon V \to W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen und $\begin{eqnarray*} \left \{ v_1, \dotsc v_n\right \} \end{eqnarray*}$ eine Basis zu V und $\begin{eqnarray*} \left \{ w_1, \dotsc w_n\right \} \end{eqnarray*}$ eine Basis zu W.

So wenn man jetzt die Funktionswerte der Basis kennt, dann lässt sich die darstellende Matrix berechnen nach:

$\begin{eqnarray*} f(v_i ) = a_{1i}w_1 +\dots +a_{ni} w_n \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man das wohl auf zwei wegen lösen, einmal hätte ich ja dann n Gleichungsysteme die ich lösen könnte, und somit meine einzlenen Matrixkomponenten ausrechnen könnte.

Oder weiterhin gilt, dass $\begin{eqnarray*} a_{1i} , \dotsc a_{ni} \end{eqnarray*}$ die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} f(v_i) \end{eqnarray*}$ bzgl. der Basis von W ist.

D.h. die Spalten meiner Matrix würde sich dann aus den Koordinatenvektoren (bzgl. der Basis von W) der Bilder der Basisvektoren von V ergeben.

So weit zur Theorie...

Jetzt zu meinem Beispiel:

Da ich vom $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ abbilde gilt $\begin{eqnarray*} v_1= \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}=w_1, v_2= \begin{pmatrix} 0\\-1\end{pmatrix} = w_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f\left ( \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}\right ) = \begin{pmatrix} 12 \\ -1\end{pmatrix} = a_{11} \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}+ a_{22} \begin{pmatrix} 0\\ -1\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f\left ( \begin{pmatrix}0 \\ - 1 \end{pmatrix}\right )= \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \end{pmatrix}= a_{12} \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}+ a_{21} \begin{pmatrix} 0\\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Gleichung löse, dann komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} a_{11} = 12,\ \ a_{21}= 25 , \ \ a_{12} = -7 \ \ a_{22}=-17 \end{eqnarray*}$

Also die Matrix: $\begin{eqnarray*} M= \begin{pmatrix} 12 & -7 \\ 25 & -17 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So Vergleich mit den Koordinatoren Vektoren:

zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12\\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ergibt sich: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 \\ 25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7\\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ergibt sich: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7 \\ -17 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das stimmt also überein Freude

Und jetzt das Problem...

Eigentlich müsste doch gelten:

$\begin{eqnarray*} f\left ( \begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}\right )= \begin{pmatrix}12 \\ -1 \end{pmatrix}= M \left ( \begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}\right ) \end{eqnarray*}$

Aber $\begin{eqnarray*} M \left ( \begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}\right )= \begin{pmatrix} -2 \\9\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und das stimmt ja nicht unglücklich

Was mach ich falsch? Hilfe

04.10.2013, 08:03

Che Netzer

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Zitat:

D.h. die Spalten meiner Matrix würde sich dann aus den Koordinatenvektoren (bzgl. der Basis von W) der Bilder der Basisvektoren von V ergeben.

Genau!

Zitat:

Da ich vom $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ abbilde gilt $\begin{eqnarray*} v_1= \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}=w_1, v_2= \begin{pmatrix} 0\\-1\end{pmatrix} = w_2 \end{eqnarray*}$

Naja, das gilt nicht, das kannst du so wählen.

Zitat:

Eigentlich müsste doch gelten:

$\begin{eqnarray*} f\left ( \begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}\right )= \begin{pmatrix}12 \\ -1 \end{pmatrix}= M \left ( \begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}\right ) \end{eqnarray*}$

Nicht ganz.
Wenn man $\begin{eqnarray*} f(v)=w \end{eqnarray*}$ schreibt, dann soll das heißen: Multipliziert man die darstellende Matrix bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ mit dem Koordinatenvektor (!) von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ , so erhält man den Koordinatenvektor von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ .
Hier soll also
$\begin{eqnarray*} M\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\25\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gelten.
Stell dir vor, $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ wären Polynome oder andere "komische Vektoren", die man nicht mit Matrizen multiplizieren kann. Da muss man ganz offensichtlich auf Koordinatenvektoren zurückgreifen.

Ach ja, eins noch smile

Zitat:

Original von Skolja
So also die Aufgabe heißt ja eigentlich nur die Matrix in der Standartbasis zu finden

04.10.2013, 23:25

Skolja

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Okay mal schauen, ob ich jetzt alles verstanden habe:

Also Bestimmung der Matrix für die Funktion bzgl. der Basis $\begin{eqnarray*} B= \left \{ \begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\-1 \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray*}$ :

Sei $\begin{eqnarray*} \phi(v) = \begin{pmatrix} x\\ 2x-y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die Abbildung die jedem Vektor seinen Koordinatenvektor zur Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zurordnet.

Dann ist
$\begin{eqnarray*} M_B = \begin{pmatrix}\phi(f(v_1))_B & \phi(f(v_2))B \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 12 & -7\\ 25 &-17 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zur Überprüfung:

$\begin{eqnarray*} M_B \phi(v_i)_B = \phi(f(v_i))_B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(v_1)_B = \begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix},\ \ \phi(v_2)_B = \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}12 \\ 25 \end{pmatrix} = \phi(f(v_1))_B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\-17 \end{pmatrix} =\phi(f(v_2))_B \end{eqnarray*}$

Die Basisvektoren sind als Überprüfung natürlich ein bisschen doof, weil sie natürlich einfach wieder die Spalten ergeben...

Aber naja immerhin das Prinzip ist mir jetzt klar denke ich.

So aber jetzt zu der Basis $\begin{eqnarray*} \tilde{B} =\left \{ \begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix},\ \ \begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray*}$

Die Spalten ergeben sich wieder aus den Koordinatendarstellung diesmal bzgl. $\begin{eqnarray*} \tilde{B} \end{eqnarray*}$ der Bilder der Basisvektoren aus B.

$\begin{eqnarray*} \phi(f(v_1))_{\tilde{B}} = \begin{pmatrix} 12\\ -1\end{pmatrix} \ \ \phi(f(v_2))= \begin{pmatrix} -7\\3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \tilde{M} = \begin{pmatrix} 12 & -7\\ -1 & 3 \end{pmatrix}_{\tilde{B}} \end{eqnarray*}$

Kontrolle:

$\begin{eqnarray*} M_{\tilde{B}} \phi(v_i)_B = \phi(f(v_i))_{\tilde{B}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(v_1)_B= \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\ \ \ \phi(v_2)_B=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 & -7\\ -1 & 3 \end{pmatrix}_{\tilde{B}} \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -1 \end{pmatrix} =\phi(f(v_1))_{\tilde{B}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_{\tilde{B}} \phi(v_2)_B = \begin{pmatrix} -7\\3 \end{pmatrix}= \phi(f(v_2))_{\tilde{b}} \end{eqnarray*}$

Zur Bestimmung der Matrix bzgl der Basis $\begin{eqnarray*} \tilde{B} \end{eqnarray*}$ hätte ich, nur den zweiten Schritt gebraucht, der erste war einfach so nochmal zu Übungszwecken.

Stimmt das denn jetzt auch verwirrt

Ich mir an der Stelle $\begin{eqnarray*} M_{\tilde{B}} \phi(v_i)_B = \phi(f(v_i))_{\tilde{B}} \end{eqnarray*}$ unsicher, weil ich da die Koordinatendarstellung bzgl. von verschiednen Basen verwende.

Nur wenn ich $\begin{eqnarray*} \phi(v_i)_{\tilde{B}} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \phi(v_i)_B \end{eqnarray*}$ verwende komme ich ja wieder nicht auf das richtig Ergebnis...

Heisst das jetzt aber,ich wenn ich den Funktionswert eines Vektors $\begin{eqnarray*} v= \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit der Matrix $\begin{eqnarray*} M_{\tilde{B}} \end{eqnarray*}$ bestimme, sieht das Ganze dann so aus?

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} )=\phi(f(\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix})) = M_{\tilde{B}} \begin{pmatrix} x\\ 2x-y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} )=\phi(f(\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} )) \end{eqnarray*}$ nur für die Standardbasis gilt.

Ist das richtig?

05.10.2013, 01:44

Skolja

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Nachtrag:

Wenn ich eine Matrix zur Basis $\begin{eqnarray*} \tilde{B} =\left \{ w_1=\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix},\ w_2= \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray*}$ finden will, sodass:

$\begin{eqnarray*} M_{\tilde{B}} \phi(w)_{\tilde{B}} = \phi(f(w))_{\tilde{B}} \end{eqnarray*}$

Und ich die Funktionswerte von 2 linear unabhängigen Vektoren mit $\begin{eqnarray*} f(v_1) , f(v_2) \end{eqnarray*}$ gegeben habe, dann kann ich für die Standardbasis:

$\begin{eqnarray*} f(v_1) =M_{\tilde{B}} \phi(v_1)_{\tilde{B}}= M_{\tilde{B}} v_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(v_2) = M_{\tilde{B}} v_2 \end{eqnarray*}$

Dann kann ich doch ein lineares Gleichungssystem aufstellen und das einfach lösen.

Das war ja mein erster Ansatz und damit bin ich dann auf die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2&7\\ 5&-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gekommen.
Mit dieser Matrix benutze ich ja auch nur die Koordinatenvektoren bzgl. der Standardbasis.
Das ist zwar eine andere Matrix als ich im zweiten Anlauf rausbekomme aber ich komme mit beiden Matrizen auf die gleichen Ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} v= \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 5 &-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2a+7b\\ 5a-3b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 &-7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ 2a-b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12a-14a+7b\\ -a +6-3b\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2a+7b \\ 5a-3b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit hätte ich also auch meine lineare Abbildung bestimmt:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix}-2x+7y\\ 5x-3y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Fazit:
Wenn ich eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gegeben habe, und außerdem die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} f(v_1),\dotsc f(v_n) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} B=\left \{ v_1, \dotsc v_n\right \} \end{eqnarray*}$ eine Basis, sowie eine andere Basis $\begin{eqnarray*} \tilde{B} = \left \{ w_1 ,\dotsc w_n \right \} \end{eqnarray*}$ gegeben sind.

Dann bestimme ich die darstellende Matrix zur Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aus den Koordinatenvektoren von $\begin{eqnarray*} f(v_1), \dotsc f(v_n) \end{eqnarray*}$

Während ich die Matrix zur Basis $\begin{eqnarray*} \tilde{B} \end{eqnarray*}$ am besten aus einem linearen Gleichungssystem bestimme.

Wobei ich hier darauf achten muss, dass ich zum aufstellen des Systems auch die Koordinatenvektoren verwenden muss.

Ist das so richtig, oder totaler Blödsinn?

05.10.2013, 09:48

Che Netzer

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Mal ganz langsam...

Zitat:

Original von Skolja
$\begin{eqnarray*} \phi(f(v_1))_{\tilde{B}} = \begin{pmatrix} 12\\ -1\end{pmatrix} \ \ \phi(f(v_2))= \begin{pmatrix} -7\\3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was sind denn jetzt $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ ? Und was soll dieser Index $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \tilde B \end{eqnarray*}$ .

05.10.2013, 14:47

Skolja

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$\begin{eqnarray*} v_1= \begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix} \ \ v_2 = \begin{pmatrix}0\\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Index bezeichnet immer auf welche Basis ich mich beziehe.
Also $\begin{eqnarray*} \phi(v_1)_B \end{eqnarray*}$ ist der Koordinatenvektor von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ zur Basis $\begin{eqnarray*} B= \left \{ v_1, v_2 \right \} \end{eqnarray*}$

Damit $\begin{eqnarray*} \phi(v_1)_B= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \tilde{B}= \left \{ w_2=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, w_2=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}\right \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(v_1)_{\tilde{B}} \end{eqnarray*}$ ist der Koordinatenvektor von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ zur Basis $\begin{eqnarray*} \tilde{B}= \left \{ w_1, w_2 \right \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(v_1)_{\tilde{B}}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

05.10.2013, 16:12

Che Netzer

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Dann solltest du lieber $\begin{eqnarray*} \phi_B \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \phi_{\tilde B} \end{eqnarray*}$ schreiben.
Naja, zurück zur oben zitierten Gleichung: Wieso setzt du die Basiselemente aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ein und nicht die von $\begin{eqnarray*} \tilde B \end{eqnarray*}$ , wenn es dir um die Darstellung bezüglich $\begin{eqnarray*} \tilde B \end{eqnarray*}$ .

05.10.2013, 16:43

Skolja

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weil ich die Funktionswerte von der Basis $\begin{eqnarray*} \tilde{B} \end{eqnarray*}$ erstmal nicht gegeben habe verwirrt

Ich meine ich könnte mit Hilfe der Matrix $\begin{eqnarray*} M_B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_B \phi_B(W_1) \end{eqnarray*}$ die Koordinatenvektoren bzgl. $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ der Funktionswerte der Basisvektoren aus $\begin{eqnarray*} \tilde{B} \end{eqnarray*}$ aussrechnen und damit dann die Funktionswerte der Basis.

Und dann gilt die Matrix $\begin{eqnarray*} M_{\tilde{B}} \end{eqnarray*}$ entspricht dann den Koordinatenvektoren bzgl. $\begin{eqnarray*} \tilde{B} \end{eqnarray*}$ der Funktionswerte.

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