Arkustangens-Gleichung auflösen

04.10.2013, 08:20

KoreaFuro

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Arkustangens-Gleichung auflösen

Edit (mY+): Schreibe bitte keine Romane in die Überschrift, das gehört in den Text und steht auch ohnehin dort. Editiert.

Meine Frage:

Wie kann ich folgende Gleichung nach x auflösen?:

arctan(A*x) - arctan((B+C*x^2) / -D*x) = -E

A, B, C, D und E sind positive Faktoren/ Zahlen, mit denen die Gleichung für ein bestimmtes x erfüllt ist. Nach diesem x will ich die Gleichung auflösen, sodass ich schreiben kann:

x = ...

Meine Ideen:

Ich stehe gerade ziemlich auf dem Schlauch und unter Druck, weil ich das für eine Prüfung, die in 3 Tagen statt findet, wahrscheinlich können muss. geschockt

geschockt

Also irgendwie müssen sich wohl die beiden arctan-Ausdrücke in einen schreiben lassen und ich weiß nicht (mehr), wie das geht und konnte auch bis jetzt keine Lösung finden. verwirrt

verwirrt

Eine einzelne Arkustangensfunktion weiß ich nach x aufzulösen:

arctan(F*x) = G <=> x = tan(G) / F

Und beim Logarithmus kenne ich z.B. die Auflösung:

ln(H*x) - ln((I+J*x^2) / K*x) = L

<=> ln((H*x * K*x) / (I+J*x^2)) = L

<=> H*K*x^2 = (I+J*x^2) * e^L

<=> (H*K - J*e^L) * x^2 = I*e^L

<=> x = +- (I*e^L / (H*K - J*e^L))^0,5

Kann ich sowas ähnliches wie beim Logarithmus auch mit der Funktion Arkustangens machen?

FALSCH ist nämlich folgendes:

arctan(M*x) - arctan((N+O*x^2) / -P*x) = -Q

-> M*x - ((N+O*x^2) / -P*x) = tan(-Q)

<=> x = ...

Kann mir bitte Jemand möglichst schnell die Lösung zeigen, also vielleicht wie der Arkustangens in der Gleichung aus meiner Frage korrekt zusammen gefasst werden kann? Lehrer

Lehrer

Vielen Dank schonmal vorab! Gott

Gott

04.10.2013, 08:35

alterHund

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Du mußt auf beide Seiten der Gleichung den tan anwenden,
dabei ist auf der linken Seite das Aditionstheorem
$\begin{eqnarray*} \tan(x-y) = \frac{\tan x - \tan y}{1+\tan x \tan y} \end{eqnarray*}$
anzuwenden und $\begin{eqnarray*} \tan(\arctan u) = u \end{eqnarray*}$

Edit: werd jetzt ca. 1h nicht da sein;
prinzipelle Problemme sollte es nicht merh geben dabei, es führt eben auf eine Qudaratische Gleichung in x

04.10.2013, 10:18

KoreaFuro

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Hallo alterHund,

vielen Dank für die allgemeine korrekte Lösung!

Allerdings komme ich damit nicht wirklich zum Ziel.
Denn in meinem konkreten Fall steht auf der rechten Seite der Gleichung -Pi, also E = Pi. Der Tangens von Pi und -Pi ist natürlich null.
Damit kann ich formal den Nenner Deines Theorems eliminieren und hätte das, was ich oben unter FALSCH stehen habe.

Dass das falsch sein muss, weiß ich aus einer grafischen Musterlösung. Konkret handelt es sich um den Phasengang in einem Bode-Diagramm, in welchem der Phasenverlauf in Grad über der logarithmisch aufgetragenen Frequenz Omega dargestellt ist.
Es interessiert der Punkt, wo der Phasenverlauf -180°, also -Pi schneidet. Dieser Punkt müsste bei Omega = 50/sec liegen. Unter Berücksichtigung von zeichnerischen Ungenauigkeiten und der logarithmischen Darstellung von Omega liegt der Schnittpunkt des Phasengangs mit -Pi im Bereich von 10 bis 50 pro Sekunde.

Konkret lautet meine Gleichung mit Werten:

arctan(2sec*w) - arctan((1 - 2,5sec^2*w^2) / -5,5sec*w) = -Pi

Mit dem Theorem von Dir gilt:

x = arctan(2sec*w)

y = arctan((1 - 2,5sec^2*w^2) / -5,5sec*w)

Wenn ich den Tangens auf beiden Seiten meiner Gleichung anwende, muss ich links Dein Theorem verwenden und bekomme:

(tan(x) - tan(y)) / (1 + tan(x)*tan(y) = tan(-Pi) = 0

=> tan(x) = tan(y)

<=> 2sec*w = (1 - 2,5sec^2*w^2) / -5,5sec*w)

<=> (-11sec^2 + 2,5sec^2) * w^2 = 1

<=> w = +- (-1 / 8,5sec^2)^0,5 = +- i * (8,5)^(-0,5) * 1/sec

=> w ungefähr +- i * 0,34299717028 pro Sekunde

Das ist natürlich allein schon wegen des i = (-1)^0,5 Quatsch und wie gesagt muss der Wert zwischen 10 und 50 pro Sekunde liegen.

Der Phasengang berechnet sich übrigens aus einem Bruch mit jeweils einer komplexen Zahl im Zähler und im Nenner, indem der Arkustangens vom Verhältnis Imaginär- zu Realteil des Nenners vom Arkustangens vom Verhältnis Imaginär- zu Realteil des Zählers abgezogen wird.

Könnte vielleicht hier mein Fehler liegen?
Denn der Nenner lautet schematisch wie folgt mit i = (-1)^0,5:

A*(i*w)^3 + B*(i*w)^2 + C*(i*w)

Der Realteil dieses Neners wäre doch

B*(i*w)^2 = - B*w^2

und der Imaginärteil

- A*w^3 + C*w

oder?

Ich steck' da irgendwie fest und sehe keinen Ausweg....

EDIT:
Einen kleinen Vorzeichenfehler (i^3 = -i und nicht i) hatte ich gerade beim Tippen meiner Antwort entdeckt:
arctan(A*x) - arctan((B-C*x^2) / -D*x) = -E
anstatt wie ursprünglich gepostet
arctan(A*x) - arctan((B+C*x^2) / -D*x) = -E
lautet meine Gleichung im Allgemeinen.
Das Minus führt aber leider auch nicht zum richtigen Omega.

04.10.2013, 11:44

alterHund

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Zitat:

Damit kann ich formal den Nenner Deines Theorems eliminieren

nun, GANZ verschwindet der Einfluß des Nenners nicht,
bleiben wir mal, der Übersichtlichkeit halber bei A,B,C
dann haben wir links
$\begin{eqnarray*} \frac{A x-\frac{B+C x^2}{-D x}}{1+A\cdot \frac{B + C x^2}{-D}} \end{eqnarray*}$
woraus der Zähler zu
$\begin{eqnarray*} -A D x - \frac{B+C x^2}{x} \end{eqnarray*}$
wird und schließlich zu
$\begin{eqnarray*} -x^2 (A D+C) -B \end{eqnarray*}$ .
Hilft das?
Deine physikalischen Hinweise helfen mir leider nichts.

04.10.2013, 12:12

KoreaFuro

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Danke für den Hilfeversuch, alterHund!

Aber ist Deine letzte Umformung nicht genau das Gleiche, wie Dein Tangens-Theorem gleich 0 zu setzen?

Also:

(tan(x) - tan(y)) / (1 + tan(x)*tan(y) = 0

Dann kann ich diese Gleichung doch direkt mit dem Nenner (1 + tan(x)*tan(y) multiplizieren und erhalte:

tan(x) - tan(y) = 0

Das führt bei mir aber zu einem konkreten Ergebnis, das nicht stimmen kann. traurig

traurig

Darum nochmal die Frage: Ist es richtig das bei einer komplexen Funktion mit i=(-1)^0,5

A*(i*x)^3 + B*(i*x)^2 + C*(i*x)

der Realteil

B*(i*x)^2 = - B*x^2

und der Imaginärteil

- A*x^3 + C*x

lautet?

Vielleicht habe ich da ja 'was falsch gemacht...

04.10.2013, 12:18

KoreaFuro

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Moment, ich formuliere die Frage nach dem ganzen Problem um!

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04.10.2013, 12:29

alterHund

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Zitat:

Dann kann ich diese Gleichung doch direkt mit dem Nenner (1 + tan(x)*tan(y) multiplizieren und erhalte:

tan(x) - tan(y) = 0

macht der ersteinmal eingeebnete Nenner keinen Unterschied?

Zitat:

Darum nochmal die Frage: Ist es richtig das bei einer komplexen Funktion mit i=(-1)^0,5

A*(i*x)^3 + B*(i*x)^2 + C*(i*x)

der Realteil ...

ja, das stimmt.

04.10.2013, 12:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von KoreaFuro
Denn in meinem konkreten Fall steht auf der rechten Seite der Gleichung -Pi, also E = Pi.

Da stimmt was nicht: Da ja stets $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2} < \arctan(t) < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ gilt, so folgt auch

$\begin{eqnarray*} -\pi < \arctan(t_1) - \arctan(t_2) < \pi \end{eqnarray*}$

für alle (!) reellen $\begin{eqnarray*} t_1,t_2 \end{eqnarray*}$ , und damit kann auch niemals $\begin{eqnarray*} -\pi = \arctan(t_1) - \arctan(t_2) \end{eqnarray*}$ eintreten. Allenfalls im simultanen Grenzüberganz $\begin{eqnarray*} t_1\to -\infty,t_2\to\infty \end{eqnarray*}$ bekommt man den Differenzwert $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht meinst du ja aber gar nicht $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ , sondern den Phasenwinkel irgendeiner Polarkoordinatendarstellung - der lässt sich aber eben nicht ausschließlich mit $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ darstellen. unglücklich

unglücklich

04.10.2013, 12:45

alterHund

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@HAL9000: übernimm bitt, ich fürchte, ich kann da nicht mehr weiterhelfen.

04.10.2013, 12:48

KoreaFuro

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Im Grunde geht es "nur" um komplexe Zahlen und deren Aufspaltung in Betrag und Winkel für die "Zeigerdarstellung".

Ich habe eine komplexe Funktion mit i=(-1)^0,5 in der Form:

(A + B*i*x) / (C*(i*x)^3 + D*(i*x)^2 + E*i*x)

Diese entspricht einem Bruch aus 2 komplexen Funktionen.

Der Zähler lautet: A + B*i*x

Der Nenner lautet: C*(i*x)^3 + D*(i*x)^2 + E*i*x

Die Formel für den Winkel a einer komplexen Zahl K lautet:

a = arctan(Im(K)/Re(K))

also in Worten

Winkel gleich Arkustangens von Imaginärteil von K zu (geteilt durch) Realteil von K

Diese Formel für den Winkel a lautet allgemein bei einem Bruch aus zwei komplexen Zahlen, also z.B. K/P:

a = arctan( Im(K) / Re(K) ) - arctan( Im(P) / Re(p) )

oder in Worten

Winkel gleich Arkustangens von Imaginärteil Zähler zu Realteil Zähler minus Arkustangens Imaginärteil Nenner zu Realteil Nenner

angewandt auf meine obige komplexe "Bruchfunktion" (A + B*i*x) / (C*(i*x)^3 + D*(i*x)^2 + E*i*x) erhalte ich für den Winkel a die Funktion:

a = arctan( B*x / A) - arctan( (-C*x^3 + E*x) / (- D*x^2) )

Stimmt das?
Ich meine nicht die allgemeinen Formeln für a; die sind richtig.

Aber habe ich mich vielleicht mit den Real- und Imaginärteilen und/ oder deren Vorzeichen bei
a = arctan( B*x / A) - arctan( (-C*x^3 + E*x) / (- D*x^2) )
aus
(A + B*i*x) / (C*(i*x)^3 + D*(i*x)^2 + E*i*x)
vertan?

Könntest Du das bitte überprüfen?

04.10.2013, 12:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von KoreaFuro
Die Formel für den Winkel a einer komplexen Zahl K lautet:

a = arctan(Im(K)/Re(K))

Eben nicht: Das gilt nur für den Fall Re(K)>0. Allgemein siehe z.B. hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Za...echnungsformeln

04.10.2013, 13:10

KoreaFuro

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Zitat:

Original von HAL 9000
Da stimmt was nicht: Da ja stets $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2} < \arctan(t) < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ gilt, so folgt auch

$\begin{eqnarray*} -\pi < \arctan(t_1) - \arctan(t_2) < \pi \end{eqnarray*}$

für alle (!) reellen $\begin{eqnarray*} t_1,t_2 \end{eqnarray*}$ , und damit kann auch niemals $\begin{eqnarray*} -\pi = \arctan(t_1) - \arctan(t_2) \end{eqnarray*}$ eintreten. Allenfalls im simultanen Grenzüberganz $\begin{eqnarray*} t_1\to -\infty,t_2\to\infty \end{eqnarray*}$ bekommt man den Differenzwert $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht meinst du ja aber gar nicht $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ , sondern den Phasenwinkel irgendeiner Polarkoordinatendarstellung - der lässt sich aber eben nicht ausschließlich mit $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ darstellen. unglücklich

unglücklich

Ja, Danke, alterHund und HAL 9000; die Asymptoten von Arkustangens sind mir bekannt.

Es geht aber nicht um "einen Arkustangens", sondern um die zuletzt von mir gepostete Winkelfunktion:

a = arctan( B*x / A) - arctan( (-C*x^3 + E*x) / (- D*x^2) )

Selbst wenn ich die als Ungleichung größer -Pi setze (a soll größer -Pi sein) wird bei der Auflösung naxh x der Tangens von -Pi zu 0 und der Nenner fliegt raus.

Grafisch kenne ich aus der Musterlösung das x, für das a = -Pi wird.

Es kann also eigentlich nur etwas an meiner Funktion a(x) falsch sein.
Denn dass
(A + B*i*x) / (C*(i*x)^3 + D*(i*x)^2 + E*i*x)
stimmt, konnte ich durch Ausrechnen des Betrags des komplexen Bruchs und Einsetzen des x bei -Pi eindeutig bestätigen und die formale Formel
a = arctan( Im(K) / Re(K) ) - arctan( Im(P) / Re(p) )
für den Winkel eines Bruchs aus 2 komplexen Funktionen K/P ist gegeben.

Was mache ich nur falsch?

04.10.2013, 13:16

KoreaFuro

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von KoreaFuro
Die Formel für den Winkel a einer komplexen Zahl K lautet:

a = arctan(Im(K)/Re(K))

Eben nicht: Das gilt nur für den Fall Re(K)>0. Allgemein siehe z.B. hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Za...echnungsformeln

Aha, weißt Du vielleicht, wie ich dann den Winkel von

(A + B*i*x) / (C*(i*x)^3 + D*(i*x)^2 + E*i*x)

korrekt berechnen kann?

Gibt's da noch 'ne andere Rechenvorschrift als

a = arctan( Im(K) / Re(K) ) - arctan( Im(P) / Re(p) )

?

04.10.2013, 13:16

HAL 9000

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Schade, dass du nicht wirklich darüber nachdenkst, was ich geschrieben habe. In dem Fall kann ich der Bitte von alterHund, hier zu übernehmen, nicht entsprechen. unglücklich

unglücklich

EDIT: Mein Beitrag bezog sich natürlich auf dieses

Zitat:

Original von KoreaFuro
Ja, Danke, alterHund und HAL 9000; die Asymptoten von Arkustangens sind mir bekannt.

Es geht aber nicht um "einen Arkustangens", sondern um die zuletzt von mir gepostete Winkelfunktion

was mir unterstellte, seinen Sachverhalt nicht richtig beurteilt zu haben. unglücklich

unglücklich

04.10.2013, 13:23

alterHund

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@alle:
bitte, jetzt keinen "Aufschrei" wegen quasi Doppelposting
@KoreaFuro:
vielleich kann man Dir ja im physikboard, mit verweis hierher, helfen, und wenn es eine gibt, solltest Du die volleOriginalaufgabenstellung
posten

04.10.2013, 13:38

HAL 9000

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Tatsächlich gilt für komplexe Zahlen $\begin{eqnarray*} z_1,z_2\neq 0 \end{eqnarray*}$ genau dann

$\begin{eqnarray*} \operatorname{arg}(z_1) - \operatorname{arg}(z_2) = -\pi \end{eqnarray*}$

falls $\begin{eqnarray*} \operatorname{arg}(z_1)\leq 0 \end{eqnarray*}$ (was gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}(z_1)\leq 0 \end{eqnarray*}$ ) ist und $\begin{eqnarray*} \frac{z_1}{z_2}<0 \end{eqnarray*}$ (also reeller Quotient, und der dann zudem negativ) ist.

Wenn es also wirklich nur um diese Argument-Differenz $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ geht, kann man das ganze unzulängliche Arkustangens-Zeug außen vor lassen.

04.10.2013, 14:56

KoreaFuro

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Zitat:

Original von HAL 9000
Tatsächlich gilt für komplexe Zahlen $\begin{eqnarray*} z_1,z_2\neq 0 \end{eqnarray*}$ genau dann

$\begin{eqnarray*} \operatorname{arg}(z_1) - \operatorname{arg}(z_2) = -\pi \end{eqnarray*}$

falls $\begin{eqnarray*} \operatorname{arg}(z_1)\leq 0 \end{eqnarray*}$ (was gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}(z_1)\leq 0 \end{eqnarray*}$ ) ist und $\begin{eqnarray*} \frac{z_1}{z_2}<0 \end{eqnarray*}$ (also reeller Quotient, und der dann zudem negativ) ist.

Wenn es also wirklich nur um diese Argument-Differenz $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ geht, kann man das ganze unzulängliche Arkustangens-Zeug außen vor lassen.

Ja, dieses phi = arg(z) wollte ich auch rechnerisch bestimmen, glaube ich, und dann nach dem x auflösen, für das arg(z) = -Pi wird.

Aber meine Mathekenntnisse reichen nicht aus, um Deine/ Eure Hinweise korrekt anzuwenden.

Könntet Ihr mir bitte bei der allgemeinen Funktion von mir konkret helfen?

Berechnen muss ich also das Argument von z = z1/z2 = F(x) =

(A + B*i*x) / (C*(i*x)^3 + D*(i*x)^2 + E*i*x)

mit x als reeller Variablen, i=(-1)^0,5 und A, B, C, D, E als reellen positiven Konstanten.

arg(F(x)) = -Pi muss ich nach x auflösen.

Aber wie mache ich diese beiden Schritte genau?
Wie das Argument berechnet wird, habe ich noch nicht so richtig verstanden.
Womöglich kommt ein falscher Zahlenwert für x heraus, weil der Betrag von meinem F(x) mehrere vollständige Umdrehungen gemacht hat oder sowas; hier habe ich keinen Durchblick!

Darum wäre es super nett, wenn Ihr mir die Schritte zum Berechnen der Phase/ Argument von F(x), posten könntet und wie man diese dann von x abhängige Phase nach x auflöst, wenn man die Phase = -Pi setzt.

Kriegt Ihr das hin oder ist das unverschähmt viel verlangt?
Ich vermag den dazu nötigen Aufwand nicht abzuschätzen...

04.10.2013, 15:49

KoreaFuro

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Falls es mit der konkreten Aufgabe einfacher ist, mir zu helfen, hier die relevanten Daten:

Go' ist mein F(x) "von oben" und w (= Omega) die Variable.

Go' = ( 2 + 4sec * i*w ) / ( 5sec^3 * (i*w)^3 + 11sec^2 * (i*w)^2 + 2sec * i*w )

Durch die doppelt-logarithmische Darstellung im angehängten Bode-Diagramm lässt sich der Betrag von Go' und der dazugehörige Phasenverlauf grafisch leicht bestimmen.

Die angehängte grafische Lösung ist korrekt und zeigt den Betrag von Go' und die rechnerisch gesuchte Phase in rot. (Die anderen Farben und Linien dienten lediglich der grafischen Lösung.)

Aus der Grafik ist ersichtlich, dass bei w = 100 1/sec (exakter gezeichnet als vorher, als ich von 50 pro Sekunde schrieb), die rote Phase -180°, also -Pi erreicht.

Der Betrag von Go' ist an dieser Stelle grafisch abgelesen 8 * 10^(-5).

Zur Probe habe ich den Betrag von Go' berechnet und für w = 100 1/sec ergibt sich 7,99800479496 * 10^(-5), also ungefähr 8 *10^(-5).

OK, über die Grafik und die darin enthaltene Lösung, müssen wir bitte nicht diskutieren. Sie spielt keine Rolle, soll jetzt hier nur ein Bild davon geben, was ich suche, nämlich einen Rechenweg, an dessen Ende ich w gleich ungefähr 100 1/sec heraus bekomme.

Dazu muss wahrscheinlich das Argument von Go', also

arg( ( 2 + 4sec * i*w ) / ( 5sec^3 * (i*w)^3 + 11sec^2 * (i*w)^2 + 2sec * i*w ) )

berechnet und = -Pi gesetzt werden, damit nach w aufgelöst werden kann.

Könnte mir bitte Jemand von Euch zeigen, wie das konkret geht?

Ich weiß ja, dass w ungefähr 100 pro Sekunde sein muss. Doch wenn ich die Phase von Go' wie zu Beginn beschrieben mit
a = arctan( Im(K) / Re(K) ) - arctan( Im(P) / Re(p) )
berechne und gleich -Pi setze, kommt für w i*0,34299717028 pro Sekunde raus, also Blödsinn.

Das liegt ja wahrscheinlich daran, dass die Formel für a hier nicht gültig ist und statt dieser das Argument von Go' berechnet werden muss.
Leider weiß ich nicht, wie ich dazu Eure Hinweise konkret anwenden/ umsetzen soll und bitte darum um Eure Hilfe.

04.10.2013, 17:27

HAL 9000

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Ich lass mal die Einheiten weg:

$\begin{eqnarray*} g(\omega) = \frac{2+4(i\omega)}{5(i\omega)^3 + 11(i\omega)^2 + 2(i\omega)} \end{eqnarray*}$

hat für kein (!) reelles $\begin{eqnarray*} \omega > 0 \end{eqnarray*}$ die Phase $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ - auch nicht für "ungefähr 100 pro Sekunde". unglücklich

unglücklich

04.10.2013, 18:13

KoreaFuro

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich lass mal die Einheiten weg:

$\begin{eqnarray*} g(\omega) = \frac{2+4(i\omega)}{5(i\omega)^3 + 11(i\omega)^2 + 2(i\omega)} \end{eqnarray*}$

hat für kein (!) reelles $\begin{eqnarray*} \omega > 0 \end{eqnarray*}$ die Phase $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ - auch nicht für "ungefähr 100 pro Sekunde". unglücklich

unglücklich

OK, HAL 9000, dann muss ich mich wohl damit abfinden, dass es vielleicht nur den graphischen Lösungsweg gibt, der "irgendwelche mathematischen Widersprüche" umschifft.

Schade, ich dachte, dass die genannten Formeln "allgemeingültig" stets zum "richtigen" Ergebnis führen würden.

Danke an Alle, die nach einer rechnerischen Lösung gesucht haben! Freude

Freude

Es würde mich freuen hier vielleicht doch mal eine aufgezeigt zu bekommen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zum Hintergrund abseits des mathematischen Problems:
Es handelt sich um Regelungstechnik. In der Aufgabe sind 2 sogenannte PT1-Elemente mit einem PI-Regler in Reihe geschaltet. Die Übertragungsfunktionen bzw. Frequenzgänge der 3 Elemente (2 PT1 und 1 PI) werden einer Tabelle entnommen und wegen der Reihe miteinander multipliziert. Raus kommt dabei die Funktion, zu der ich eben gerne die Phase berechnet hätte.
Durch die doppelt-logarithmische Darstellung im Bode-Diagramm, lässt sich die Multiplikation in einer grafischen Addition der Frequenzgänge der Einzelglieder durchführen (daher die anderen Kurven und Farben im oben angehängten Diagramm). So erhält man den Amplitudengang (=Betragsverlauf) und Phasengang (=Phase) des Systems, das aus der Reihe der genannten Elemente besteht, und kann Aussagen zur Stabilität treffen (hier stabil, wenn Betrag am Schnittpunkt des Phasengangs mit der -180°-Linie kleiner als 1; aus dem Abstand zu 1 lässt sich dann auch unter Berücksichtigung einer sogenannten Amplitudenreserve ein wiederum sogenannter Regelfaktor für das PI-Glied bestimmen, mit dem der Amplitudengang angehoben wird, was den Phasengang unberührt lässt).

Viele Grüße!
KoreaFuro

04.10.2013, 18:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von KoreaFuro
OK, HAL 9000, dann muss ich mich wohl damit abfinden, dass es vielleicht nur den graphischen Lösungsweg gibt, der "irgendwelche mathematischen Widersprüche" umschifft.

Der umschifft nichts - allenfalls durch zeichnerische Ungenauigkeiten mag es dann den Anschein haben, als gäbe es eine Lösung. Das ist dann leider nur Selbstbetrug: Beim obigen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hat man nur asymptotisch für $\begin{eqnarray*} \omega\to \infty \end{eqnarray*}$ die gewünschte Phase, aber für kein endliches. Anscheinend glaubst du mir das nicht, aber das ist dann nicht mein Problem.

04.10.2013, 19:03

KoreaFuro

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von KoreaFuro
OK, HAL 9000, dann muss ich mich wohl damit abfinden, dass es vielleicht nur den graphischen Lösungsweg gibt, der "irgendwelche mathematischen Widersprüche" umschifft.

Der umschifft nichts - allenfalls durch zeichnerische Ungenauigkeiten mag es dann den Anschein haben, als gäbe es eine Lösung. Das ist dann leider nur Selbstbetrug: Beim obigen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hat man nur asymptotisch für $\begin{eqnarray*} \omega\to \infty \end{eqnarray*}$ die gewünschte Phase, aber für kein endliches. Anscheinend glaubst du mir das nicht, aber das ist dann nicht mein Problem.

Freundlich, wie ich meine bat ich Dich und Andere, darum, mir hier mal mit ein paar Zwischenschritten zu zeigen, wie das Argument/ die Phase von "meiner" Funktion berechnet wird, weil ich nicht weiß, wie das geht.

Zweifel an Deinem Ergebnis habe ich weder gehabt noch gar geäußert und meine Mathematikkenntnisse reichen wie gesagt nicht aus, um mir die mathematische Problematik vorstellen zu können, weshalb ich sie ja gerne konkret an "meiner" Funktion durch Berechnung ihrer Phase nachvollzogen hätte.
Nach wie vor würde ich mich freuen, wenn mir das Jemand anhand "meiner" Funktion hier zeigen würde, wie das Argument von ihr berechnet wird.

Tatsächlich kann es sein/ kommt es hin, dass der Phasengang im Unendlichen nur gegen -180° strebt. Ich vermag dies nicht sicher zu interpretieren, kann mir aber vorstellen, dass für technische Anwendungen ab einem genügend kleinem Abstand -Pi als erreicht gilt, für Stabilitätsbetrachtungen vielleicht sogar als erreicht gelten muss...

04.10.2013, 19:12

HAL 9000

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Ok, dann bringen wir es mal auf den Punkt: Es geht dir darum, für welches $\begin{eqnarray*} \omega>0 \end{eqnarray*}$ die Funktion

$\begin{eqnarray*} g(\omega) = \frac{a+b(i\omega)}{c(i\omega)^3 + d(i\omega)^2 + e(i\omega)} \end{eqnarray*}$

reell negativ wird, und zwar für gegebene reelle Parameter $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e \end{eqnarray*}$ ?

Zunächst ist

$\begin{eqnarray*} g(\omega) = \frac{a+b\omega i}{-d\omega^2 + \omega(e-c\omega^2)i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |g(\omega)| = \sqrt{\frac{a^2+b^2\omega^2}{d^2\omega^4 + \omega^2(e-c\omega^2)^2}} \end{eqnarray*}$

Nun entspricht Phase $\begin{eqnarray*} \pm \pi \end{eqnarray*}$ der Gleichheit $\begin{eqnarray*} g(\omega) = -|g(\omega)| \end{eqnarray*}$ , was dann also

$\begin{eqnarray*} a+b\omega i = -\sqrt{\frac{a^2+b^2\omega^2}{d^2\omega^4 + \omega^2(e-c\omega^2)^2}} \left( -d\omega^2 + \omega(e-c\omega^2)i \right) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

bedeutet. Speziell für den Realteil heißt dies

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{\frac{a^2+b^2\omega^2}{d^2\omega^4 + \omega^2(e-c\omega^2)^2}} d\omega^2 \end{eqnarray*}$ ,

Eine Lösung dafür gibt es offenbar nur bei gleichem Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} a,d \end{eqnarray*}$ . Mit Substitution $\begin{eqnarray*} t=\omega^2 \end{eqnarray*}$ und Quadrierung dieser Gleichung folgt weiter

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{\frac{a^2+b^2t}{d^2t^2 + t(e-ct)^2}} dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 = \frac{a^2+b^2t}{d^2t + (e-ct)^2} d^2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 (d^2t + (e-ct)^2) = (a^2+b^2t) d^2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 (e-ct)^2 = b^2d^2t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a^2c^2-b^2d^2)t^2 - 2a^2cet + a^2e^2 = 0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} ((ac+bd)t - ae) ((ac-bd)t - ae) = 0 \end{eqnarray*}$

mit den beiden Lösungen

$\begin{eqnarray*} t_1 = \frac{ae}{ac+bd} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2 = \frac{ae}{ac-bd} \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} t=\omega^2 \end{eqnarray*}$ passen natürlich nur positive $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Lösungen.

Natürlich muss in der Probe in (*) auch der Imaginärteil stimmen:

$\begin{eqnarray*} b = \sqrt{\frac{a^2+b^2\omega^2}{d^2\omega^4 + \omega^2(e-c\omega^2)^2}} (c\omega^2-e) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} c\omega^2-e = ct-e = \frac{ace}{ac\pm bd} - e = -\frac{bde}{bd \pm ac} \end{eqnarray*}$

müssen dasselbe Vorzeichen haben, d.h. $\begin{eqnarray*} \frac{de}{bd \pm ac} \end{eqnarray*}$ muss negativ sein.

Bei deiner obigen Datenlage $\begin{eqnarray*} a=2,b=4,c=5,d=11,e=2 \end{eqnarray*}$ versagt aber eben jene Probe, es gibt also da keine Lösung.

Zitat:

Original von KoreaFuro
Freundlich, wie ich meine bat ich Dich und Andere, darum, mir hier mal mit ein paar Zwischenschritten zu zeigen,

Mit der Freundlichkeit ist das so eine Sache. Der m.E. in ziemlich unfreundlichen Ton gehaltene Beitrag von dir hat leider ein gewisses Bild von dir bei mir geprägt. Wenn einmal schon die Beiträge inhaltlich so missachtet werden, dann geht man natürlich später ungern ins Detail, sondern nennt nur noch die Resultate.

Ich bin dann diesmal doch wieder ins Detail gegangen und bin gespannt, wie diesmal die Reaktion ausfällt.

04.10.2013, 19:28

KoreaFuro

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ok, dann bringen wir es mal auf den Punkt: Es geht dir darum, für welches $\begin{eqnarray*} \omega>0 \end{eqnarray*}$ die Funktion

$\begin{eqnarray*} g(\omega) = \frac{a+b(i\omega)}{c(i\omega)^3 + d(i\omega)^2 + e(i\omega)} \end{eqnarray*}$

reell negativ wird, und zwar für gegebene reelle Parameter $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e \end{eqnarray*}$ ?

Zunächst ist

$\begin{eqnarray*} g(\omega) = \frac{a+b\omega i}{-d\omega^2 + \omega(e-c\omega^2)i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |g(\omega)| = \sqrt{\frac{a^2+b^2\omega^2}{d^2\omega^4 + \omega^2(e-c\omega^2)^2}} \end{eqnarray*}$

Nun entspricht Phase $\begin{eqnarray*} \pm \pi \end{eqnarray*}$ der Gleichheit $\begin{eqnarray*} g(\omega) = -|g(\omega)| \end{eqnarray*}$ , was dann also

$\begin{eqnarray*} a+b\omega i = -\sqrt{\frac{a^2+b^2\omega^2}{d^2\omega^4 + \omega^2(e-c\omega^2)^2}} \left( -d\omega^2 + \omega(e-c\omega^2)i \right) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

bedeutet. Speziell für den Realteil heißt dies

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{\frac{a^2+b^2\omega^2}{d^2\omega^4 + \omega^2(e-c\omega^2)^2}} d\omega^2 \end{eqnarray*}$ ,

Eine Lösung dafür gibt es offenbar nur bei gleichem Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} a,d \end{eqnarray*}$ . Mit Substitution $\begin{eqnarray*} t=\omega^2 \end{eqnarray*}$ und Quadrierung dieser Gleichung folgt weiter

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{\frac{a^2+b^2t}{d^2t^2 + t(e-ct)^2}} dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 = \frac{a^2+b^2t}{d^2t + (e-ct)^2} d^2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 (d^2t + (e-ct)^2) = (a^2+b^2t) d^2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 (e-ct)^2 = b^2d^2t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a^2c^2-b^2d^2)t^2 - 2a^2cet + a^2e^2 = 0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} ((ac+bd)t - ae) ((ac-bd)t - ae) = 0 \end{eqnarray*}$

mit den beiden Lösungen

$\begin{eqnarray*} t_1 = \frac{ae}{ac+bd} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2 = \frac{ae}{ac-bd} \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} t=\omega^2 \end{eqnarray*}$ passen natürlich nur positive $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Lösungen.

Natürlich muss in der Probe in (*) auch der Imaginärteil stimmen:

$\begin{eqnarray*} b = \sqrt{\frac{a^2+b^2\omega^2}{d^2\omega^4 + \omega^2(e-c\omega^2)^2}} (c\omega^2-e) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} c\omega^2-e = ct-e = \frac{ace}{ac\pm bd} - e = -\frac{bde}{bd \pm ac} \end{eqnarray*}$

müssen dasselbe Vorzeichen haben, d.h. $\begin{eqnarray*} \frac{de}{bd \pm ac} \end{eqnarray*}$ muss negativ sein.

Bei deiner obigen Datenlage $\begin{eqnarray*} a=2,b=4,c=5,d=11,e=2 \end{eqnarray*}$ versagt aber eben jene Probe, es gibt also da keine Lösung.

Wow, super schnell, Danke, HAL 9000!

Das ist der mathematische Beweis dafür, wenn ich's richtig verstanden habe, dass die Phase von g die Werte Pi und -Pi nicht annehmen kann.

Könntest Du mir bitte in ähnlichen "schematischen Schritten" zeigen, wie ich die Phase von g berechne, OHNE sie gleich -Pi zu setzen?

Mich interessiert sehr, wie ich aus g die Phase (Argument von g) als Funktion von w (Omega) berechnen kann, mit der ich dann beispielsweise durch Einsetzen konkreter Werte für w den Verlauf der Phase berechnen könnte.

Oder zeigt Dein Beweis auch, dass es die Phase als Funktion von w OHNE komplexe Anteile gar nicht gibt?

04.10.2013, 19:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von KoreaFuro
Könntest Du mir bitte in ähnlichen "schematischen Schritten" zeigen, wie ich die Phase von g berechne, OHNE sie gleich -Pi zu setzen?

Für ein konkretes $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ setzt du dieses ein, und berechnest von der entstehenden komplexen Zahl das Argument (der Polardarstellung) - was sonst?

EDIT: Das oben ist eigentlich viel zu kompliziert - weiß nicht, was mich da geritten hat. Etwas einfacher:

$\begin{eqnarray*} g(\omega) &=& -\frac{1}{d^2\omega^4 + \omega^2(e-c\omega^2)^2} (a+b\omega i)(d\omega^2 + \omega(e-c\omega^2)i) \\<br /> &=& -\frac{1}{d^2\omega^4 + \omega^2(e-c\omega^2)^2} ((ad-be)\omega^2 +bc\omega^4 + \omega(ae-(ac-bd)\omega^2)i) \end{eqnarray*}$

Für Phase $\begin{eqnarray*} \pm\pi \end{eqnarray*}$ muss sowohl

1.) $\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}(g(\omega))=0 \end{eqnarray*}$

als auch

2.) $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(g(\omega))<0 \end{eqnarray*}$

gelten. Zunächst folgt aus 1.) sofort $\begin{eqnarray*} \omega^2 = \frac{ae}{ac-bd} \end{eqnarray*}$ , was natürlich positiv sein muss. Eingesetzt in 2.) muss dann auch noch $\begin{eqnarray*} ad-be +bc\omega^2 = ad-be + \frac{abce}{ac-bd}> 0 \end{eqnarray*}$ gelten.

04.10.2013, 21:26

KoreaFuro

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von KoreaFuro
Könntest Du mir bitte in ähnlichen "schematischen Schritten" zeigen, wie ich die Phase von g berechne, OHNE sie gleich -Pi zu setzen?

Für ein konkretes $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ setzt du dieses ein, und berechnest von der entstehenden komplexen Zahl das Argument (der Polardarstellung) - was sonst?

Ja, aber wie geht das genau? Ich hab' echt keinen Schimmer, wie ich das machen soll, weil ich dazu, auch ohne Variable bei einem Bruch aus 2 komplexen Zahlen nach der Formel

Winkel = arctan( Im(Z) / Re(Z) ) - arctan( Im(N) / Re(N) )

mit Z = Zähler und N = Nenner dieses "komplexen Bruchs" vorgegangen bin.

Ist das die Berechnung des Arguments oder berechnet sich das anders?

Wie ich diese Formel mit Variable bei gegebenem Winkel nach der Variablen auflösen kann, hat mir ja alterHund gezeigt. Mit dem Theorem und Zahelenwerten (z.B. Punkt -175° bei 50 pro Sekunde) blieb der Nenner erhalten. Aber die enstandene Gleichung (Polynom dritten Grades) wurde für keine Variation erfüllt (wobei ich Rechenfehler meinerseits nicht ausschließen kann).

Bei anderen Rechnungen dieser Art war bisher auch immer ein Imaginärteil (im Zähler oder Nenner) = 0, so dass die Berechnung des Phasengangs einfacher war, bzw. die Auflösung nach w bei Phase = -Pi zum gesuchten w führte.

Falls sich das Argument nicht anders berechnet, als ich es getan habe, breche ich das Ganze jetzt ab...

05.10.2013, 10:54

HAL 9000

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Du weißt, was komplexe Zahlen sind?

Du weißt, wie man komplexe Zahlen dividiert?

Du weißt, wie man komplexe Zahlen von der kartesischen Form $\begin{eqnarray*} a+bi \end{eqnarray*}$ in die Polardarstellung $\begin{eqnarray*} re^{\varphi i} \end{eqnarray*}$ umwandelt? Falls nicht, hatte ich dir oben dazu auch einen Link genannt.

Stattdessen wärmst du die schon mehrfach hier im Thread als unzulänglich charakterisierte Arkustangens-Differenz auf - macht das eigentlich Spaß, die Hinweise und Anmerkungen beharrlich zu ignorieren? unglücklich

unglücklich

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