Basiswechsel bzgl. Funktion

05.10.2013, 00:37

Joschy

Basiswechsel bzgl. Funktion

Hallo,
mir gelingt dieses leidige Thema irgendwie nicht aus dem FF. Ich bekomme die darstellende Matrix $\begin{eqnarray*} A_E^B \end{eqnarray*}$ einfach nicht hin.

Kurz zur Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} \varphi : ( \mathbb{R^3}, E_3) \to ( \mathbb{R^3}, E_3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \left( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \right) := \begin{pmatrix} -4x_1 \\ 2x_1+x_2+2x_3 \\ -5x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix $\begin{eqnarray*} A_{E_3}^{E_3} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bzgl. der kanonischen Basen.

Check. Hab ich: Spaltenvektoren einsetzen und fertig. Ergebnis: $\begin{eqnarray*} A_{E_3}^{E_3}= \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 2 & 1& 2\\ 0 & -5 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} := \left( \begin{pmatrix} -5 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 0\end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie die darstellende Matrix $\begin{eqnarray*} A_{E_3}^{\mathcal{B}} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A_{E_3}^{E_3} \end{eqnarray*}$ bzgl. der Basen B und E.

Und genau hier bin ich raus. verwirrt

Wie wird die Linarkombination der drei Spaltenvektoren für die darstellende Matrix genau zusammengesetzt? Weil doch die Rede davon ist, dass diese bzgl. $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ darzustellen ist, müsste doch damit gemeint sein, dass die Vektoren von $\begin{eqnarray*} A_{E_3}^{E_3} \end{eqnarray*}$ mit reinspielen?! Oder wie geht das genau?

––
Meine Bücher stellen den Basiswechsel leider nur sehr kurz oder (mir) zu abstrakt dar. Im Forum und bei Google hab ich einfach noch nicht das richtige Beispiel gefunden. Vielleicht habt Ihr ja noch passende Linktipps mit sehr ähnlichem Beispiel....

Vielen Dank,
Joschy

05.10.2013, 10:05

Math1986

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RE: Basiswechsel bzgl. Funktion
Hallo,
schau dir mal das hier an:
[Artikel] Abbildungsmatrizen

Grundsätzlich geht das aber auch durch "Spaltenvektoren einsetzen und fertig".

05.10.2013, 10:40

Joschy

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Kannst Du mir das zumindest einmal zeigen? Bei mir hat's absolut nicht geklappt. Ich hatte gestern etliche Kombinationen ausprobiert und diese blöde E-Learning-Webseite von uns hat ständig behauptet, dass das falsch sei.

^^Btw.: bin auch schon über den Artikel gestolpert. War aber nichts neues.

Vg

05.10.2013, 12:07

Math1986

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Hm, im Artikel wurde das Vorgehen in Aufgabe 1.2 erläutert, wäre vielleicht mal hilfreich zu wissen, was genau du daran nicht verstanden hast verwirrt

[Artikel] Abbildungsmatrizen

Ansonsten gilt, dass du zunächst die Bilder der Basisvektoren berechnest und diese dann als (triviale) Linearkombination der Basis des Zielraumes darstellst.

05.10.2013, 16:56

Joschy

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Ohh man wie peinlich. Ich hab mich gleich zwei mal bei den Linearkombinationen verrechnet und es auch bei der Kontrolle nicht gemerkt. Hab's erst jetzt mitbekommen, wo ich den TR erstmals ausgepackt hab (VZ-Fehler) ;o)

Danke Dir Math1986!!
Joschy

PS: Bitte spare Dir in Zukunft Redewendungen mit "trivial" für den Alltag & Familie auf. Bei sowas stellen sich mir immer die Nackenhaare auf, weil es einfach nur eine andere Umschreibung für "Du bis sau blöd und ich bin ein Genie" ist. Ich möchte es ja gerade lernen, darum suche ich nach meinen Fehlern hier und überall sonst im Internet. Wenn der Lösungsweg aber nicht falsch ist, sondern nur der Zwischenschritt, sollte in Mathematik auch mal die Mentalität einkehren: "halb so wild... weiter so!" Ich hab auch solche Prof's. die den ganzen Tag herablassend sind, Punkte radikal abziehen, wenn auch nur der kleinste und unbedeutendste Fehler gemacht wurde. Aber selbst sind sie auch nicht frei von Fehlern. Dann heißt es meist: "Gut aufgepasst." oder "War Absicht". Tzzzzz. Argh. Ende des Schlussplädoyers. Wie gesagt: Danke für die Hilfe.

05.10.2013, 17:50

Math1986

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Zitat:

Original von Joschy
PS: Bitte spare Dir in Zukunft Redewendungen mit "trivial" für den Alltag & Familie auf. Bei sowas stellen sich mir immer die Nackenhaare auf, weil es einfach nur eine andere Umschreibung für "Du bis sau blöd und ich bin ein Genie" ist.

Das heißt es eben nicht, und so war es auch nicht gemeint.

Eine Linearkombination mit der Standardbasis würde ich generell als "trivial" bezeichnen, da es einfach nur die Einträge in dem Vektor selbst sind. Linearkombinationen bzgl. anderer Basen bezeichne ich auch nicht mehr als trivial. Auch würde ich hier den Begriff "triviale Basis" durchaus als gleichwertige Bezeichnung zu "Standardbasis" sehen. Das Wort "trivial" ist in der mathematischen Fachliteratur auch durchaus üblich. So hat etwa $\begin{eqnarray*} Ax=0 \end{eqnarray*}$ die "triviale" Lösung $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ . Genauso gibt es triviale Teilmengen (die leere Menge selbst und die leere Menge, je nach Kontext).

Ich finde das, was du mir hier unterstellst, eine Frechheit, und lasse mir von dir sicherlich nicht vorschreiben, welches Fachvokabular ich zu verwenden habe. Wenn du auf gewisse Worte, völlig losgelöst von derem Kontext, überempfindlich reagierst, ist das dein Problem, und du bist auch der Erste, der sich daran stört.

Nachtrag: Fehler korrigiert, gemeint war $\begin{eqnarray*} Ax=0 \end{eqnarray*}$ .

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