Beweis zur Mengenlehre

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Beweis zur Mengenlehre
Meine Frage:
Hi!

[attach]31678[/attach]

Punkt a.) ist klar

Bei b.) bräucht ich bissl Hilfe!



Meine Ideen:
Also zu zeigen ist, wenn ich das richtig interpretiert habe:

Es existiert eine Menge X|(A\X) u (X\A) = B und [(A\Y) u (Y\A) = B => Y = X]

Nun muss ich doch mein X erstmal so wählen, dass A*X = B. Aber ich hab keinen Ansatz wie X aussehn muss.

lg Ploki
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RE: Beweis zur Mengenlehre
Geh doch mal davon aus, dass es eine Menge mit gibt.
Verwende jetzt (iv) und (ii), um das A auf der linken Seite loszuwerden. Was steht dann auf der rechten Seite der Gleichung?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

(i)-(iv) sind die Axiome für eine (abelsche) Gruppe. In jeder Gruppe ist die Gleichung A*X=B eindeutig lösbar. q.e.d.
Ploki Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die rasche Antwort!

@Elivis: Ich habe vergessen, zu erähnen, dass dieses Beispiel nur an Hand naiver Mengenleere gelöst werden soll. Wir dürfen in dieser Lehrveranstaltung leider keine Vorkenntnisse zu Gruppen verwenden.

@URL: Warum darf ich vom zu zeigenden im dem Fall ausgehen?

Muss ich nicht zuerst die Mengengleichheit zeigen?

Also wenn x in A * X, dann muss es auch in B sein. Oder ist diese Strategie wenig zielführend??
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Du nimmst einfach an, die Gleichung hat eine Lösung, und untersuchst dann, welche Eigenschaften so eine Lösung notwendigerweise haben muss (wenn es denn überhaupt gibt). Das ist ein übliches Vorgehen.
Dazu vergisst du hier am besten, wie die "Multiplikation" "*" definiert ist ( heißt übrigens die symmetrische Differenz von A und B) und verwendest nur die Eigenschaften (i)-(iv).
Im Grunde läuft es auf Gruppeneigenschaften hinaus, wie Elvis ganz richtig bemerkt hat. Wenn du Vorkenntnisse zu Gruppen hast, kannst du aus (iii) und (iv) sofort ablesen, wie die Inverse von A aussieht und die Gleichung AX=B damit multiplizieren.
Wenn nicht, musst du vielleicht ein bisschen probieren. Mein erster Hinweis sollte dich in die richtige Richtung bringen.
Ploki Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, verstehe.

Also die Inverse zu A müsste doch A selbst sein, da A*A das neutrale Element, nämlich die Leere Menge ergibt.

Wenn ich nun die Gleichung mit A multipliziere erhalte ich durch i.) - iv.)

A*B = X.

Falls das soweit stimmt, komm ich trotzdem bei der Eindeutigkeit nicht weiter.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In einer Gruppe wird die Gleichung eindeutig gelöst durch , damit ist doch klar, was X hier sein muss.

Zur Eindeutigkeit: von links mit multiplizieren Augenzwinkern
Ploki Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Hilfe!

lg Ploki
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