Beweis für Konvergenz (Sekantenverfahren)

06.10.2013, 14:25

Jürgen_Schwet79

Beweis für Konvergenz (Sekantenverfahren)

Meine Frage:
Hallo zusammen. Ich habe ein Problem beim Thema Sekantenverfahren: Ich muss ein Beweis finden für den untenstehenden Satz, leider habe ich überhaupt keinen Ansatz dafür, wie ich das beweisen soll. Könnt Ihr mir helfen? Ich wäre euch sehr dankbar! Der Satz lautet:

Sei x eine Nullstelle von f und seien x_0 und x_1 Startwerte. Falls f'(x) $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ und f''(x) $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten, konvergiert das Sekantenverfahren mit der Konvergenzordung p= (1/2)*(1+ $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ) für die Startwerte x_0 und x_1 auch wenn f(x_0)*f(x_1)>0 gilt. Beweise diesen Satz.

Meine Ideen:
Normalerweise funktioniert das Sekantenverfahren ja nur wenn f(x_0)*f(x_1)<0 ist. Wieso dies hier umgekehrt ist, ist mir allerdings nicht klar...

14.10.2013, 12:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jürgen_Schwet79
Sei x eine Nullstelle von f und seien x_0 und x_1 Startwerte. Falls f'(x) $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ und f''(x) $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten, konvergiert das Sekantenverfahren mit der Konvergenzordung p= (1/2)*(1+ $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ) für die Startwerte x_0 und x_1 auch wenn f(x_0)*f(x_1)>0 gilt.

Das ist schlicht falsch - Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2-1 \end{eqnarray*}$ , beide Nullstellen $\begin{eqnarray*} x=\pm 1 \end{eqnarray*}$ erfüllen die Kriterien $\begin{eqnarray*} f'(x)\neq 0, f''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt nehmen wir die Startwerte $\begin{eqnarray*} x_0=-2,x_1=2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)=f(x_1)=3>0 \end{eqnarray*}$ - und das Verfahren crasht sofort bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ (Division durch 0). unglücklich

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