Existenz einer Differentialform prüfen

07.10.2013, 10:47

Danny 1994

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Existenz einer Differentialform prüfen

Meine Frage:
Guten Morgen. Die Klausur ist sehr nah und mein Wissen zum Thema Differentialformen sehr unnützlich.

Zu untersuchen ist für welche der folgenden Differentialformen $\begin{eqnarray*} d \omega =0 \end{eqnarray*}$ gilt. Schließen Sie daraus auf die Existenz oder Nichtexistenz einer Differentialform $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d \tau =\omega \end{eqnarray*}$ und bestimmen Sie diese gegebenfalls.

$\begin{eqnarray*} a) \omega = (y^3+\sin (x)+4)dx-(x^5+e^y+1)dy \in \Omega^1 \mathbb (R^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \omega = (3x^2 \sin (y)+yze^{xyz})dx+(x^3 \cos (y)+xze^{xyz})dy+xye^{xyz} dz \in \Omega^1 (\mathbb R^3) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nun wie erwähnt ist mein Verständnis sehr schlecht.

Zu der a)

$\begin{eqnarray*} \omega =(y^3+\sin(x)+4)dx-(x^5+e^y+1)dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d \omega =y^2 dy \land dx-5x^4 dx \land dy \ne 0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} dx \land dy=dy \land dx=0 \end{eqnarray*}$ existiert kein $\begin{eqnarray*} \tau \in \Omega^0 (\mathbb R^2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d \tau=\omega \end{eqnarray*}$ da sonst $\begin{eqnarray*} d \omega =d \circ d\tau=0 \end{eqnarray*}$ gelten müsste.

Ich verstehe leider die Rechenregeln dafür nicht unglücklich

unglücklich

Genauso irgendwie, wenn man etwas vertauscht ändern sich die Vorzeichen und dann wird etwas Null und und und...

Bei b)

$\begin{eqnarray*} b) \omega = (3x^2 \sin (y)+yze^{xyz})dx+(x^3 \cos (y)+xze^{xyz})dy+xye^{xyz} dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d \omega = (3x^2 \sin (y)+y^2 z^2 e^{xyz})dx \land dx +(3x^2 \cos (y)+ze^{xyz}+xyz^2e^{xyz})dy \land dx+(ye^{xyz}+xy^2 ze^{xyz})dz \land dx<br /> +(3x^2 \cos (y)+ze^{xyz}+xyz^2 e^{xyz})dx \land dy+(-x^3 \sin (y)+x^2 z^2 e^{xyz})dy \land dy+(xe^{xyz}+x^2 yze^{xyz})dz \land dy \cdots =0 \end{eqnarray*}$

Nach Poincare existiert $\begin{eqnarray*} \tau \in \Omega^0 (\mathbb R^3): d\tau=\omega \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tau=x^3 \sin (y)+e^{xyz}+\text{const.} \end{eqnarray*}$

Da ja: $\begin{eqnarray*} d\tau =\frac{\partial \tau}{\partial x} dx+\frac{\partial \tau}{\partial y} dy+\frac{\partial \tau}{\partial z} dz \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich verstehe einfach das ganze Konzept nicht. Das d steht doch immer für die Ableitung? Es wird dann jeweils nach dem jeweiligen dx bzw. dy dz abgeleitet, aber ich verstehe nicht das System dahinter. Es kommt mit Sicherheit in der Klausur vor und ich sehe mich schon wieder scheitern unglücklich

unglücklich

.

Danke für Eure Hilfe und Zeit.

Danny.

07.10.2013, 11:18

Alfred Gäbeli

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Hallo. Ich verstehe auch (noch) nicht allzuviel von Differentialformen. Da sich deiner aber noch kein Fachmann angenommen hat, gebe ich einfach mal meinen Senf dazu. Vieleicht hilfts ja verwirrt

verwirrt

Zitat:

Ich verstehe leider die Rechenregeln dafür nicht unglücklich Genauso irgendwie, wenn man etwas vertauscht ändern sich die Vorzeichen und dann wird etwas Null und und und...

$\begin{eqnarray*} dx \land dy = -dy \land dx \end{eqnarray*}$

Diese Eigenschaft nennt man alternierend.

Zitat:

Ich verstehe einfach das ganze Konzept nicht. Das d steht doch immer für die Ableitung?

Es handelt sich hier um die sogenannte Cartan-Ableitung. Also die äussere Ableitung.

Differentialformen brauchen viel Zeit, bis man sie vollständig versteht. für die Theorie wäre es nützlich zu verstehen was eine Algebra ist. Schau dir mal folgenden Link an.
http://de.wikipedia.org/wiki/Gra%C3%9Fmann-Algebra

das Addendum meines Analysis profs ist auch nicht schlecht.
Schau dir mal das letzte Kapitel an.
http://www.math.ethz.ch/~jteichma/commen...h1-9_130529.pdf

Weiter kann ich dir leider, obowhl ich gerne würde, nicht weiterhelfen.
Doch mit etwas Geduld findest du hier bestimmt Hilfe smile

smile

07.10.2013, 11:40

Danny 1994

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Danke Alfred Gäbeli ich lese es mir aufmerksam durch.

Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
Doch mit etwas Geduld findest du hier bestimmt Hilfe smile

smile

Das hoffe ich doch sehr, denn ich will wenigstens wissen, was ich tun müsste um die Aufgaben zu lösen.

Liebe Grüße

Danny

07.10.2013, 12:12

Che Netzer

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Die Rechenregel, die du hier anwenden musst, ist folgende: Für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und eine Differentialform $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \dd(f\omega)=\dd f\wedge\omega+f\dd\omega\,. \end{eqnarray*}$
In der a) hast du z.B. $\begin{eqnarray*} f=f(x,y)=y^3+\sin x+4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega=\dx \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} \dd\omega=0 \end{eqnarray*}$ und um $\begin{eqnarray*} \dd f \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, erinnern wir uns an
$\begin{eqnarray*} \dd f=f_x\dx+f_y\dd y\,, \end{eqnarray*}$
wobei der Index partielle Ableitungen bezeichne. Das wurde uns z.B. schon früh als "totales Differential" angeschrieben.
In unserem Beispiel ist $\begin{eqnarray*} f_y=3y^2 \end{eqnarray*}$ (da hast du einen falschen Faktor). Wir merken, dass $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ unwichtig ist, denn mit $\begin{eqnarray*} \dx\wedge\dx=0 \end{eqnarray*}$ haben wir
$\begin{eqnarray*} {\color{red}\dd(f\dx)=}\bigl(f_x\dx+f_y\dd y\bigr)\dx=f_x\underbrace{\dx\wedge\dx}_{=0}+f_y\dd y\wedge\dx={\color{red}f_y\dd y\wedge\dx}=-f_y\dx\wedge\dd y\,. \end{eqnarray*}$
Im Spezialfall also $\begin{eqnarray*} \dd(f\dx)=3y^2\dd y\wedge\dx \end{eqnarray*}$ .

Die nächstwichtigsten Rechenregeln sind also folgende:
$\begin{eqnarray*} \dd^2=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \omega\wedge\omega=0\,. \end{eqnarray*}$
Dann wäre da noch $\begin{eqnarray*} \omega\wedge\eta=-\eta\wedge\omega \end{eqnarray*}$ .

Trifft das in etwa die Frage?

07.10.2013, 12:51

Danny 1994

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen

Zitat:

Original von Che Netzer
Die Rechenregel, die du hier anwenden musst, ist folgende: Für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und eine Differentialform $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \dd(f\omega)=\dd f\wedge\omega+f\dd\omega\,. \end{eqnarray*}$

Okay. Aber was sagt mir das? Bzw. was bedeuten die einzelnen Sachen konkret (was verbirgt sich dahinter)? f ist unsere Funktion, das Dach steht für das Dachprodukt und das d und das omega bedeuten konkret was?

Zitat:

Original von Che Netzer
In der a) hast du z.B. $\begin{eqnarray*} f=f(x,y)=y^3+\sin x+4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega=\dx \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} \dd\omega=0 \end{eqnarray*}$ und um $\begin{eqnarray*} \dd f \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, erinnern wir uns an
$\begin{eqnarray*} \dd f=f_x\dx+f_y\dd y\,, \end{eqnarray*}$
wobei der Index partielle Ableitungen bezeichne. Das wurde uns z.B. schon früh als "totales Differential" angeschrieben.
In unserem Beispiel ist $\begin{eqnarray*} f_y=3y^2 \end{eqnarray*}$ (da hast du einen falschen Faktor). Wir merken, dass $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ unwichtig ist, denn mit $\begin{eqnarray*} \dx\wedge\dx=0 \end{eqnarray*}$ haben wir
$\begin{eqnarray*} {\color{red}\dd(f\dx)=}\bigl(f_x\dx+f_y\dd y\bigr)\dx=f_x\underbrace{\dx\wedge\dx}_{=0}+f_y\dd y\wedge\dx={\color{red}f_y\dd y\wedge\dx}=-f_y\dx\wedge\dd y\,. \end{eqnarray*}$
Im Spezialfall also $\begin{eqnarray*} \dd(f\dx)=3y^2\dd y\wedge\dx \end{eqnarray*}$ .

In der a) habe ich doch aber du $\begin{eqnarray*} f=f(x,y)=(y^3+\sin x+4)dx-(x^5+e^y+1)dy \end{eqnarray*}$ wo ist denn das dx hin und der restliche Teil?
Wieso ist jetzt $\begin{eqnarray*} \omega=\dx \end{eqnarray*}$ ?

"Wir merken, dass $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ unwichtig ist, denn mit $\begin{eqnarray*} \dx\wedge\dx=0 \end{eqnarray*}$ " Ja das ist mir als Vokabel so bekannt, aber wie komme ich dazu in der Aufgabe. Die Rechenschritte hier sind mir nicht ganz klar:
$\begin{eqnarray*} {\color{red}\dd(f\dx)=}\bigl(f_x\dx+f_y\dd y\bigr)\dx=f_x\underbrace{\dx\wedge\dx}_{=0}+f_y\dd y\wedge\dx={\color{red}f_y\dd y\wedge\dx}=-f_y\dx\wedge\dd y\,. \end{eqnarray*}$

Der Anfang ist mir nicht klar $\begin{eqnarray*} {\color{red}\dd(f\dx)=}\bigl(f_x\dx+f_y\dd y\bigr)\dx \end{eqnarray*}$

Was wende ich hier an?

Zitat:

Original von Che Netzer
Die nächstwichtigsten Rechenregeln sind also folgende:
$\begin{eqnarray*} \dd^2=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \omega\wedge\omega=0\,. \end{eqnarray*}$
Dann wäre da noch $\begin{eqnarray*} \omega\wedge\eta=-\eta\wedge\omega \end{eqnarray*}$ .

Trifft das in etwa die Frage?

Joa. Wenn ich sie bei einer Aufgabe auftreffen würde, wüsste ich jetzt, was dies ergibt. Meine Probleme sind wie du wohl merkst sehr groß unglücklich

unglücklich

sry

Danke

Danny

07.10.2013, 13:12

Che Netzer

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen

Zitat:

Original von Danny 1994
und das d und das omega bedeuten konkret was?

Das $\begin{eqnarray*} \dd \end{eqnarray*}$ ist in gewisser Weise eine Ableitung.
Ich würde da als erstes an reelle Funktionen $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ denken. Wenn ein solches $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ z.B. $\begin{eqnarray*} \sin x \end{eqnarray*}$ als Ableitung hat, heißt das
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd f}\dx=\sin x \end{eqnarray*}$
oder "umgestellt"
$\begin{eqnarray*} \dd f=\sin x\dx\,. \end{eqnarray*}$
In diesem $\begin{eqnarray*} \dd f \end{eqnarray*}$ steckt also gewissermaßen die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Im Zweidimensionalen ist es wie gesagt
$\begin{eqnarray*} \dd f=f_x\dx+f_y\dd y\,. \end{eqnarray*}$
Das kannst du dir wie beim Gradienten vorstellen: Dort steckten die partiellen Ableitungen als Koeffizienten in einem Vektor bzw. waren Vorfaktor der Einheitsvektoren – hier stehen die partiellen Ableitungen vor den Differentialen $\begin{eqnarray*} \dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dd y \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

In der a) habe ich doch aber du $\begin{eqnarray*} f=f(x,y)=(y^3+\sin x+4)dx-(x^5+e^y+1)dy \end{eqnarray*}$ wo ist denn das dx hin und der restliche Teil?
Wieso ist jetzt $\begin{eqnarray*} \omega=\dx \end{eqnarray*}$ ?

Das $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ war vielleicht schlecht gewählt, das ist nicht dasselbe wie in der Aufgabenstellung. Du könntest
$\begin{eqnarray*} \omega = (y^3+\sin (x)+4)\dx-(x^5+e^y+1)\dd y=f\omega_1+g\omega_2 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} f=y^2+\sin x+4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \omega_1=\dx \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g=-(x^5+\mathrm e^y+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega_2=\dd y \end{eqnarray*}$ schreiben.
Dann ist
$\begin{eqnarray*} \dd\omega=\dd(f\omega_1)+\dd(g\omega_2)=\dd f\wedge\omega_1+f\underbrace{\dd\omega_1}_{=0}+\dd g\wedge\omega_2+g\underbrace{\dd\omega_2}_{=0}=\dotso \end{eqnarray*}$
Ich hatte nur beispielhaft den ersten Summanden behandelt.

Zitat:

Der Anfang ist mir nicht klar $\begin{eqnarray*} {\color{red}\dd(f\dx)=}\bigl(f_x\dx+f_y\dd y\bigr)\dx \end{eqnarray*}$

Da ist natürlich ein Hütchen verschwunden, ich meinte $\begin{eqnarray*} \bigl(f_x\dx+f_y\dd y)\wedge\dd x \end{eqnarray*}$ .
Allgemein ist es ja
$\begin{eqnarray*} \dd(f\dx)=\dd f\wedge\dx+f\dd(\dx)\,, \end{eqnarray*}$
aber es ist $\begin{eqnarray*} \dd\dx=0 \end{eqnarray*}$ und wir setzen $\begin{eqnarray*} \dd f=f_x\dx+f_y\dd y \end{eqnarray*}$ ein.

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07.10.2013, 13:52

Danny 1994

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Danny 1994
und das d und das omega bedeuten konkret was?

Das $\begin{eqnarray*} \dd \end{eqnarray*}$ ist in gewisser Weise eine Ableitung.
Ich würde da als erstes an reelle Funktionen $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ denken. Wenn ein solches $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ z.B. $\begin{eqnarray*} \sin x \end{eqnarray*}$ als Ableitung hat, heißt das
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd f}\dx=\sin x \end{eqnarray*}$
oder "umgestellt"
$\begin{eqnarray*} \dd f=\sin x\dx\,. \end{eqnarray*}$
In diesem $\begin{eqnarray*} \dd f \end{eqnarray*}$ steckt also gewissermaßen die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Im Zweidimensionalen ist es wie gesagt
$\begin{eqnarray*} \dd f=f_x\dx+f_y\dd y\,. \end{eqnarray*}$

Oaaah, super genau das war mir nicht klar, ob es so gemeint ist. Danke, danke Freude

Freude

In keinem Arens, Forster oder Sonstigem Lehrwerk habe ich das gefunden.

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

In der a) habe ich doch aber du $\begin{eqnarray*} f=f(x,y)=(y^3+\sin x+4)dx-(x^5+e^y+1)dy \end{eqnarray*}$ wo ist denn das dx hin und der restliche Teil?
Wieso ist jetzt $\begin{eqnarray*} \omega=\dx \end{eqnarray*}$ ?

Das $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ war vielleicht schlecht gewählt, das ist nicht dasselbe wie in der Aufgabenstellung. Du könntest
$\begin{eqnarray*} \omega = (y^3+\sin (x)+4)\dx-(x^5+e^y+1)\dd y=f\omega_1+g\omega_2 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} f=y^2+\sin x+4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \omega_1=\dx \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g=-(x^5+\mathrm e^y+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega_2=\dd y \end{eqnarray*}$ schreiben.
Dann ist
$\begin{eqnarray*} \dd\omega=\dd(f\omega_1)+\dd(g\omega_2)=\dd f\wedge\omega_1+f\underbrace{\dd\omega_1}_{=0}+\dd g\wedge\omega_2+g\underbrace{\dd\omega_2}_{=0}=\dotso \end{eqnarray*}$
Ich hatte nur beispielhaft den ersten Summanden behandelt.

Okay. Jetzt sehe ich es auch, dass du nur den ersten Summanden behandelt hast. Das spielt mir in die Karten, wie du das gewählt hast, dann weiß man was was ist.

Also: $\begin{eqnarray*} \dd\omega=\dd(f\omega_1)+\dd(g\omega_2)=\dd f\wedge\omega_1+f\underbrace{\dd\omega_1}_{=0}+\dd g\wedge\omega_2+g\underbrace{\dd\omega_2}_{=0}=\dotso \end{eqnarray*}$

Da hast du die allgemeine Definition angewendet sprich: $\begin{eqnarray*} \dd (f dx)=\dd f \wedge dx+ f \dd (\dd x) \end{eqnarray*}$

Wieso sind jetzt die zwei Summanden Null? verwirrt

verwirrt

Du meintest vorhin, dass $\begin{eqnarray*} \dd \dd x=0 \end{eqnarray*}$ ist und dass man $\begin{eqnarray*} \dd f=f_x dx+f_y dy \end{eqnarray*}$ einsetzt? Passiert das jetzt? Ich sehe es leider nicht.

Ahso und da $\begin{eqnarray*} \dd \dd x=0 \end{eqnarray*}$ ist fallen die zwei Summanden weg, richtig?

Danke

Danny

07.10.2013, 14:02

Che Netzer

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen

Zitat:

Original von Danny 1994
Wieso sind jetzt die zwei Summanden Null? verwirrt

verwirrt

Du meintest vorhin, dass $\begin{eqnarray*} \dd \dd x=0 \end{eqnarray*}$ ist und dass man $\begin{eqnarray*} \dd f=f_x dx+f_y dy \end{eqnarray*}$ einsetzt? Passiert das jetzt?

Ja, das passiert jetzt. Denn es ist $\begin{eqnarray*} \omega_1=\dx \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \dd\omega_1=\dd(\dx) \end{eqnarray*}$ und "zwei $\begin{eqnarray*} \dd \end{eqnarray*}$ s hintereinander sind Null".

07.10.2013, 14:17

Danny 1994

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Okay dann leuchtet der Teil ein.

$\begin{eqnarray*} \dd\omega=\dd(f\omega_1)+\dd(g\omega_2)=\dd f\wedge\omega_1+f\underbrace{\dd\omega_1}_{=0}+\dd g\wedge\omega_2+g\underbrace{\dd\omega_2}_{=0}=\dd f\wedge\omega_1+\dd g\wedge\omega_2 \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte ich es umdrehen und das Vorzeichen ändern, das macht jedoch keinen Sinn. Wie schreite ich weiter vor?

Danny

07.10.2013, 14:22

Che Netzer

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Jetzt setzt du $\begin{eqnarray*} \dd f=f_x\dx+f_y\dd y \end{eqnarray*}$ ein. Und analog für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .
Dann kannst du die Terme mit $\begin{eqnarray*} \dx\wedge\dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dd y\wedge\dd y \end{eqnarray*}$ streichen.

07.10.2013, 14:36

Danny 1994

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Jetzt setze ich $\begin{eqnarray*} \dd f=f_x\dx+f_y\dd y \end{eqnarray*}$ ein. Und für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auch.

$\begin{eqnarray*} \dd f\wedge\omega_1+\dd g\wedge\omega_2=(f_x\dx+f_y\dd y)\wedge\omega_1+(g_x\dx+g_y\dd y)\wedge \omega_2 \end{eqnarray*}$

"Dann kannst du die Terme mit $\begin{eqnarray*} \dx\wedge\dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dd y\wedge\dd y \end{eqnarray*}$ streichen."

Aber wie komme ich dazu? Wenn ich das ausmultipliziere erhalte ich doch nicht dies?

Danny

07.10.2013, 14:53

Che Netzer

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Doch, es ist ja $\begin{eqnarray*} \omega_1=\dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega_2=\dd y \end{eqnarray*}$ .

07.10.2013, 15:02

Danny 1994

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Ouh ja sry.

$\begin{eqnarray*} \dd f\wedge\omega_1+\dd g\wedge\omega_2=(f_x\dx+f_y\dd y)\wedge\omega_1+(g_x\dx+g_y\dd y)\wedge \omega_2=f_y\dd y\wedge\omega_1+g_x\dx \wedge \omega_2 \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte ich die Funktionen einsetzen und ableiten, wie in der Lösung, aber ich verstehe das Argument nicht wieso es ungleich Null ist und das somit keine Differentialform $\begin{eqnarray*} \dd \tau=\omega \end{eqnarray*}$ ist.

Danke, Danny.

07.10.2013, 15:08

Che Netzer

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Fass das Ergebnis doch mal zusammen (hier brauchst du die Antikommutativität des Dachprodukts).

07.10.2013, 15:19

Danny 1994

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Zusammenfassen, okay. Ich verstehe diese Summenformeln jedoch nicht. Könntest du mir bitte die Regeln an Beispielen illustrieren? Das wäre gut, weil sonst weiß ich nicht wie ich das machen soll unglücklich

unglücklich

Danny

07.10.2013, 15:31

Che Netzer

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Welche Summenformeln? verwirrt

verwirrt

D.h. welche Regeln möchtest du illustriert sehen?

07.10.2013, 15:37

Danny 1994

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Naja alle die ich so gebrauchen könnte Antikommutativität: $\begin{eqnarray*} \displaystyle a * b = - b * a \end{eqnarray*}$
Assoziativität: $\begin{eqnarray*} \left( a * b \right) * c = a * \left( b * c \right) \end{eqnarray*}$

Und sonst noch welche man braucht, aber in Dachproduktform, das verwirrt mich immer.

Danny

07.10.2013, 16:05

Che Netzer

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Hm... Dann erstmal die allgemeinen Gleichungen: Es sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Funktion und $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \eta_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta_2 \end{eqnarray*}$ seien Differentialformen (passender Art).
Dann gelten folgende Gleichungen:
$\begin{align*} \end{align*}\begin{align}f\omega\wedge\eta&=f\cdot(\omega\wedge\eta)=(f\omega)\wedge\eta=\omega\wedge(f\eta )\,,\\\omega\wedge\eta_1+\omega\wedge\eta_2&=\omega\wedge(\eta_1+\eta_2)\,,\\ {}\omega\wedge\eta&=-\eta\wedge\omega\,,\\\omega\wedge\omega&=0\\\dd(f\omega)&=\dd f\wedge\omega+f\dd\omega\\\dd(\dd\omega)&=0\\\dd(\eta_1+\eta_2)&=\dd\eta_1+\dd\eta_2\,.\end{align}\begin{align*} \end{align*}$
Die ersten beiden Gleichungen sind ja nur die Bilinearität, die ist vermutlich klar.
Die zweite ist die Antiysmmetrie. Für $\begin{eqnarray*} \omega=\dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta=\dd y \end{eqnarray*}$ ist also
$\begin{eqnarray*} \dx\wedge\dd y=-\dd y\wedge\dx\,. \end{eqnarray*}$
In drei Variablen hat man z.B.
$\begin{eqnarray*} \dx\wedge\dd y\wedge\dd z=-\dx\wedge\dd z\wedge\dd y=\dd z\wedge\dx\wedge\dd y=-\dd z\wedge\dd y\wedge\dx\,. \end{eqnarray*}$
Die vierte Gleichung folgt mit $\begin{eqnarray*} \eta=\omega \end{eqnarray*}$ aus der ersten und ergibt im Beispiel
$\begin{eqnarray*} \dx\wedge\dx=\dd y\wedge\dd y=\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z\wedge\dx=0\,. \end{eqnarray*}$
(bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Variablen kann ein nicht verschwindendes Dachprodukt also aus maximal $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ "einzelnen Differentialen" (Eins-Formen) bestehen)
Gleichung 5 hast du ja schon selbst angewandt. Ist $\begin{eqnarray*} f\equiv1 \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich natürlich $\begin{eqnarray*} \dd f=0 \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} \dd(1\omega)=\dd f\wedge\omega+f\dd\omega=\dd\omega\,, \end{eqnarray*}$
was ja sinnvoll ist.
Die sechste heißt "zwei $\begin{eqnarray*} \dd \end{eqnarray*}$ s hintereinander ergeben Null".
Man kann das mit der vorigen Gleichung kombinieren, um $\begin{eqnarray*} \dd\omega \end{eqnarray*}$ schön zu berechnen, wenn z.B. $\begin{eqnarray*} \omega=f_1\dx\wedge\dd y+f_2\dx\wedge\dd z+f_3\dd y\wedge\dd z \end{eqnarray*}$ vorliegt.
Und das letzte ist bloß die Linearität von $\begin{eqnarray*} \dd \end{eqnarray*}$ .
Bemerke auch, dass $\begin{eqnarray*} \dd(c\omega)=c\dd\omega \end{eqnarray*}$ für konstantes $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gilt, da $\begin{eqnarray*} \dd \end{eqnarray*}$ linear ist – aber wenn man "punktweise Konstanten", also Funktionen herausziehen möchte, ginge bei $\begin{eqnarray*} \dd(f\omega)=f\dd\omega \end{eqnarray*}$ etwas verloren.

07.10.2013, 16:30

Danny 1994

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Wow. Freude

Freude

Danke.

$\begin{eqnarray*} f_y\dd y\wedge\omega_1+g_x\dx \wedge \omega_2=f_y\dd y\wedge dx+g_x\dx \wedge dy \end{eqnarray*}$

Aber was bringt mir die Antikommutativität? Wenn ich diese verwende erhalte ich doch:

$\begin{eqnarray*} -f_y\dd x\wedge dy-g_x dy \wedge dx \end{eqnarray*}$

Was ist die Quintessenz?

Danny

07.10.2013, 16:41

Che Netzer

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Du solltest sie aber nur einmal anwenden, damit du die beiden Ausdrücke zusammenfassen kannst – zur Form "Funktion mal $\begin{eqnarray*} \dx\wedge\dd y \end{eqnarray*}$ " bzw. "Funktion mal $\begin{eqnarray*} \dd y\wedge\dx \end{eqnarray*}$ ".

07.10.2013, 16:46

Danny 1994

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Einmal ups. Hm.

$\begin{eqnarray*} -f_y\dd x\wedge dy+g_x dx \wedge dy \end{eqnarray*}$

So. Zusammenfassen? Kann ich das nach (7) ausklammern, oder wie ist das Zusammenfassen gemeint?

Danny

07.10.2013, 16:49

Danny 1994

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Oder nach (2)?

$\begin{eqnarray*} -f_y+g_x (\dd x\wedge dy) \end{eqnarray*}$

Funktion mal dy ^ dx, o meinst du es?

Danny

07.10.2013, 17:47

Che Netzer

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen

Zitat:

Original von Danny 1994
$\begin{eqnarray*} -f_y+g_x (\dd x\wedge dy) \end{eqnarray*}$

Hier fehlen allerdings noch Klammern.
Jetzt musst du untersuchen, ob $\begin{eqnarray*} -f_y+g_x\equiv0 \end{eqnarray*}$ ist. In dem Fall (und genau dann) wäre $\begin{eqnarray*} \dd\omega=0 \end{eqnarray*}$ .

07.10.2013, 17:55

Danny 1994

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Danny 1994
$\begin{eqnarray*} -f_y+g_x (\dd x\wedge dy) \end{eqnarray*}$

Hier fehlen allerdings noch Klammern.

Die Klammern verwirrt

verwirrt

Ah. $\begin{eqnarray*} (-f_y+g_x) (\dd x\wedge dy) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Che Netzer
Jetzt musst du untersuchen, ob $\begin{eqnarray*} -f_y+g_x\equiv0 \end{eqnarray*}$ ist. In dem Fall (und genau dann) wäre $\begin{eqnarray*} \dd\omega=0 \end{eqnarray*}$ .

Muss ich jetzt die Ableitung von f und g bilden und zeigen, dass diese ungleich Null sind? Was anderes wüsste ich jetzt nicht.

07.10.2013, 18:03

Che Netzer

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen

Zitat:

Original von Danny 1994
Muss ich jetzt die Ableitung von f und g bilden und zeigen, dass diese ungleich Null sind? Was anderes wüsste ich jetzt nicht.

Das ist jetzt der einfache Teil. Du hast zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} f=y^3+\sin x+4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g=-(x^5+\mathrm e^y+1) \end{eqnarray*}$ gegeben und sollst $\begin{eqnarray*} -f_y+g_x \end{eqnarray*}$ bilden.

07.10.2013, 18:10

Danny 1994

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen

Zitat:

Original von Che Netzer
Das ist jetzt der einfache Teil. Du hast zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} f=y^3+\sin x+4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g=-(x^5+\mathrm e^y+1) \end{eqnarray*}$ gegeben und sollst $\begin{eqnarray*} -f_y+g_x \end{eqnarray*}$ bilden.

Also $\begin{eqnarray*} -f_y=-3y^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_x=-5x^4 \end{eqnarray*}$ summa summarum $\begin{eqnarray*} f_x -f_y=-5x^4-3y^2 \end{eqnarray*}$

Danny

07.10.2013, 18:14

Che Netzer

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Ja, wobei du $\begin{eqnarray*} g_x-f_y \end{eqnarray*}$ meinst...
Jetzt hast du also
$\begin{eqnarray*} \dd\omega=-(3y^2+5x^4)\dd x\wedge\dd y=(3y^2+5x^4)\dd y\wedge\dd x\neq0\,. \end{eqnarray*}$

07.10.2013, 18:21

Danny 1994

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RE: Existenz einer Differentialform prüfen

Zitat:

Original von Che Netzer
Ja, wobei du $\begin{eqnarray*} g_x-f_y \end{eqnarray*}$ meinst...

Ja entschuldige hast Recht.

Zitat:

Original von Che Netzer
Jetzt hast du also
$\begin{eqnarray*} \dd\omega=-(3y^2+5x^4)\dd x\wedge\dd y=(3y^2+5x^4)\dd y\wedge\dd x\neq0\,. \end{eqnarray*}$

Genau wenn ich dann mein [l]-f_y [/]und [l]g_x[/] einsetze, dann das Antikommutativgesetz verwende erhält man das. Und weil es nicht Null ergibt, sprich sich alles kürzt und zu Null auflöst ist es keine Differentialform? Wenn es alles wegfallen würde bzw. sich aufheben würde zur Null, dann hätte man eine Differentialform?

Danny

07.10.2013, 18:24

Che Netzer

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Was versteht ihr denn unter "Differentialform"? verwirrt

verwirrt

07.10.2013, 18:31

Danny 1994

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Ich? Leider nicht viel, würde dir gerne eine aussagekräftige Antwort geben, aber dazu bin ich leider nicht in der Lage unglücklich

unglücklich

So sehr ich es mir erträume. Gehöre leider zu denen, die sich den Stoff 4 mal öfter anschauen müssen um dran zu bleiben, es gelingt mir auch nur bedingt mitzuhalten, trotz des Fleißes.

07.10.2013, 18:35

Che Netzer

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Ich meinte eher die Definition. Jedes $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ aus der Aufgabenstellung ist eine Differentialform. Auch wenn nicht $\begin{eqnarray*} \dd\omega=0 \end{eqnarray*}$ gilt (dann hieße $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ geschlossene Differentialform).

07.10.2013, 18:50

Danny 1994

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Naja es wird wohl die übliche Definition sein. Wir hatten das Dachprodukt, die Pfaffsche Form, 1-Formen bzw. Differentialformen 1. Ordnung, das totale Differential, Ableitungen und das Poincaresche Lemma, welches für die zweite Teilaufgabe wichtig ist sprich:

Ist $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ offen und sternförmig, $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ so existiert zu jedem $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega^k U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \dd \omega=0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \tau \in \mathbb R^{k-1} U \end{eqnarray*}$ , so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \dd \tau =\omega \end{eqnarray*}$

Danny

07.10.2013, 18:54

Che Netzer

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Wieso sagst du dann, dass $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ keine Differentialform sei, weil $\begin{eqnarray*} \dd\omega\neq0 \end{eqnarray*}$ ?

07.10.2013, 18:58

Danny 1994

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Ich habe mich da wohl missverständlich ausgedrückt, sry. Ich habe wohl fälschlicherweise angenommen, dass wenn $\begin{eqnarray*} \dd \omega \ne 0 \end{eqnarray*}$ ist es dann keine Differentialform ist Hammer

Hammer

sry. Mit dem Poincareschen Lemma prüft man dann auf die Existenz bzw. Nichtexistenz der Differentialform.

Danny

07.10.2013, 19:00

Che Netzer

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"der Differentialform"? Das klingt auch nicht schön... Es wird die Existenz einer Differentialform $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \dd\tau=\omega \end{eqnarray*}$ überprüft.

07.10.2013, 19:08

Danny 1994

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Joa das ist natürlich vollkommend Big Laugh

Big Laugh

Und wie ginge das, wenn man mal so experimentierfreudig ist, diese auf Existenz bzw. Nichtexistenz zu prüfen? :P
Eigentlich kann man ja aufgrund des Lemmas behaupten, dass wenn $\begin{eqnarray*} \dd \omega \ne 0 \end{eqnarray*}$ , dann existiert keine Differentialform der Form $\begin{eqnarray*} \dd \tau=\omega \end{eqnarray*}$ ? Aber das ist doch die gleiche Aussage von mir wie eben verwirrt

verwirrt

Danny

07.10.2013, 19:17

Che Netzer

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Zitat:

Original von Danny 1994
Eigentlich kann man ja aufgrund des Lemmas behaupten, dass wenn $\begin{eqnarray*} \dd \omega \ne 0 \end{eqnarray*}$ , dann existiert keine Differentialform der Form $\begin{eqnarray*} \dd \tau=\omega \end{eqnarray*}$ ?

Das gilt zwar tatsächlich, aber aus dem Lemma folgt das nicht. (außer ihr habt dazu eine "genau dann, wenn"-Aussage formuliert)

Zitat:

Aber das ist doch die gleiche Aussage von mir wie eben verwirrt

verwirrt

Wo hast du das eben ausgesagt?

07.10.2013, 19:20

Danny 1994

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Danny 1994
Eigentlich kann man ja aufgrund des Lemmas behaupten, dass wenn $\begin{eqnarray*} \dd \omega \ne 0 \end{eqnarray*}$ , dann existiert keine Differentialform der Form $\begin{eqnarray*} \dd \tau=\omega \end{eqnarray*}$ ?

Das gilt zwar tatsächlich, aber aus dem Lemma folgt das nicht. (außer ihr habt dazu eine "genau dann, wenn"-Aussage formuliert)

Hm. Die Aussage ist so wie ich sie eben verfasst habe. Wie denn dann?

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Danny 1994
Aber das ist doch die gleiche Aussage von mir wie eben verwirrt

verwirrt

Wo hast du das eben ausgesagt?

Ja so präzise habe ich das eben nicht formuliert :P

Danny

07.10.2013, 20:41

Che Netzer

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Zitat:

Original von Danny 1994
Hm. Die Aussage ist so wie ich sie eben verfasst habe. Wie denn dann?

Üblicherweise sagt das Lemma: WENN $\begin{eqnarray*} \dd\omega=0 \end{eqnarray*}$ (und $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ auf einem sternförmigen Gebiet lebt), DANN gibt es ein $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \dd\tau=\omega \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ja so präzise habe ich das eben nicht formuliert :P

Das wäre aber nötig gewesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2013, 21:12

Danny 1994

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Zitat:

Original von Che Netzer
Üblicherweise sagt das Lemma: WENN $\begin{eqnarray*} \dd\omega=0 \end{eqnarray*}$ (und $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ auf einem sternförmigen Gebiet lebt), DANN gibt es ein $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \dd\tau=\omega \end{eqnarray*}$

Gut. Damit wäre das geklärt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Ja so präzise habe ich das eben nicht formuliert :P

Das wäre aber nötig gewesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dafür gibt es zum Glück Menschen, die einen darauf aufmerksam machen und hoffentlich durch ihre guten Taten im Leben belohnt werden Gott

Gott

$\begin{eqnarray*} b) \omega = (3x^2 \sin (y)+yze^{xyz})dx+(x^3 \cos (y)+xze^{xyz})dy+xye^{xyz} dz \in \Omega^1 (\mathbb R^3) \end{eqnarray*}$

Bei der b) weiß ich nicht so Recht was und vor allem wie ich loslegen soll verwirrt

verwirrt

Danny

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