Beweis zu alternierenden Bilinearform

07.10.2013, 18:26

KXF

Beweis zu alternierenden Bilinearform

Hallo,

ich habe schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:

Es sei V ein endlich erzeugter Vektorraum mit einer nichtausgearteten alternierenden Bilinearform B: V x V --> K.
Z.z.: Es existiert ein Untervektorraum W von V, sodass B(w1,w2) = 0 für alle w1, w2 Element von W und so dass 2dim W = dim V

Mein "Versuch"

Betrachte den Untervektorraum $\begin{eqnarray*} V_{0} = \left\{v \in V | B(v,w) = 0 \forall w \in V\right\} \end{eqnarray*}$ . Das ist der Nullraum von V.
Behauptung es gilt dann $\begin{eqnarray*} B: V_{0} \times V_{0} = 0 \end{eqnarray*}$ .
Begrüendung:
Es ist offensictlich dass gilt $\begin{eqnarray*} B: V_{0} \times V = 0 \end{eqnarray*}$ (Definition des Nullraumes) und weil $\begin{eqnarray*} V_{0} \subset V \end{eqnarray*}$ folgt die Behauptung.

Sei nun weiter W ein Unterwektorraum von V für den gilt: dim W = 0,5dim V.
Betrachte $\begin{eqnarray*} B_{W \times V} = B' : W \times V -> K \end{eqnarray*}$ , der Nullraum von B' = $\begin{eqnarray*} W^\perp \end{eqnarray*}$
Dann folgt $\begin{eqnarray*} B: W^\perp \times W^\perp = 0 \end{eqnarray*}$

Und hier bin ich der Meinung, dass die letzte Folgerung falsch sein muss, richtig oder?

Schonmal danke für eure Hilfe.

07.10.2013, 19:49

Nobundo

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RE: Beweis zu alternierenden Bilinearform
verwirrt

irgendwie kommt mir die Aussage merkwürdig vor. Für den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ findest du dann also einen 1,5-dim. Unter-Vektorraum? Was versteht man darunter denn?

Gruß
Nobdundo

07.10.2013, 21:40

KXF

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RE: Beweis zu alternierenden Bilinearform

Zitat:

Original von Nobundo
verwirrt

irgendwie kommt mir die Aussage merkwürdig vor. Für den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ findest du dann also einen 1,5-dim. Unter-Vektorraum? Was versteht man darunter denn?

Gute Frage verwirrt

Allerdings habe ich die Aufgabenstellung korreckt abgeschrieben... geschockt

07.10.2013, 23:00

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RE: Beweis zu alternierenden Bilinearform
ungerade Dimension von V passt aber doch nicht zur nichtausgearteten alternierenden Bilinearform verwirrt

Edit: Dein $\begin{eqnarray*} V_0 \end{eqnarray*}$ enthält übrigens nur den Nullvektor, weil B nicht ausgeartet ist.

08.10.2013, 14:57

Nobundo

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RE: Beweis zu alternierenden Bilinearform
Was hat nicht ausgeartet sein mit ungerader Dimension zu tun?

Mir fällt gerade mal auf, das wenn es $\begin{eqnarray*} 2\cdot\text{dim}(W)\leq \text{dim}(V) \end{eqnarray*}$ heißen würde, wäre alles klar, aber das ist wahrscheinlich dann schon wieder zu einfach?

08.10.2013, 20:30

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RE: Beweis zu alternierenden Bilinearform
Die Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der Biliearform ist schiefsymmetrisch $\begin{eqnarray*} M^T=-M \end{eqnarray*}$ .
Daraus ergibt sich bei ungerader Dimension $\begin{eqnarray*} \det (M)=0 \end{eqnarray*}$ und damit ist die Biliearform ausgeartet.
Edit: Zumindest wenn der Körper nicht Charakteristik 2 hat folgt $\begin{eqnarray*} \det (M)=0 \end{eqnarray*}$

08.10.2013, 20:38

KXF

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RE: Beweis zu alternierenden Bilinearform

Zitat:

Original von Nobundo
Was hat nicht ausgeartet sein mit ungerader Dimension zu tun?

Das ist mir aucht nicht so klar. Betrachtet man z.b. auf dem R^3 das Standardskalarprodukt so ist dieses nicht ausgeartet und 3 ist eine ungerade Zahl.
Ich habe auch niergends gelesen/gehört, dass bei nicht ausgeartet eine gerade Dimension vorliegen muss.. verwirrt

Wäre nett wenn noch irgendjemand etwas dazu sagen könnte Wink

Danke

08.10.2013, 20:56

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RE: Beweis zu alternierenden Bilinearform
Was ist denn an meiner Begründung falsch? verwirrt

Das Standardskalarprodukt ist keine alternierende Bilinearform sondern eine symmetrische.

08.10.2013, 21:13

KXF

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RE: Beweis zu alternierenden Bilinearform

Zitat:

Original von URL
Was ist denn an meiner Begründung falsch? verwirrt

Das Standardskalarprodukt ist keine alternierende Bilinearform sondern eine symmetrische.

Natürlich ist nichts daran falsch Augenzwinkern

Ich bin nun nur etwas erstaunt, dass soetwas nie in der Vorlesung erwähnt wurde, da ich dies jetzt nicht unbedingt zu den Dingen zählen würde, welche selbstverständlich sind.

Nun das Standardskalarprodukt habe ich nur gewählt, da ich dachte es geht nur um den Begriff nicht ausgeartet, da dies der einzige kursive Begriff in deiner Antwort war.

PS: Deine Erklärung habe ich auch erst gelesen nachdem ich geantwortet hatte Wink

Dann bedank ich mich recht herzlich bei dir Wink

08.10.2013, 21:24

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RE: Beweis zu alternierenden Bilinearform
Germe Wink

Aber die Aufgabe, den Vektorraum W zu finden, ist noch nicht gelöst, oder?

08.10.2013, 21:30

KXF

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RE: Beweis zu alternierenden Bilinearform
Nein, leider nein. Die Aufgabe habe ich noch nicht wirklich raus unglücklich

08.10.2013, 22:32

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RE: Beweis zu alternierenden Bilinearform
Ich skizziere mal einen induktiven Beweis:
Du nimmst ein $\begin{eqnarray*} b_1\in V\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ . Dazu gibt's $\begin{eqnarray*} b_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B(b_1,b_2)=1 \end{eqnarray*}$ (warum?).
Auf $\begin{eqnarray*} V':=\langle b_1, b_2\rangle^\perp \end{eqnarray*}$ kannst du die Induktionsvoraussetzung anwenden (warum?).
Wenn du zum damit vorhandenen $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ dazu nimmst, bist du fertig.

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