Ungleichung

08.10.2013, 17:46

goldfisch91

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Ungleichung

Hallo Leute,

leider habe ich Probleme durch eine Fallunterscheidung das Intervall zu bestimmen. Zum Beispiel bei dieser Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x < \frac{9}{6 - x} \end{eqnarray*}$

1. Fall:

$\begin{eqnarray*} 6 - x > 0 \equiv x < 6 \end{eqnarray*}$ (Grundbedingung)

$\begin{eqnarray*} x < \frac{9}{6 - x} \equiv x(6-x) < 9 \equiv 0 < x^{2} - 6x + 9 \equiv 0 < ( x - 3 )^{2} \equiv x > 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow L_{1} = \end{eqnarray*}$ {}

2. Fall:

x > 6 (Grundbedingung)

$\begin{eqnarray*} x < \frac{9}{-(6 - x)} \equiv -(6-x)x > 9 \equiv 0 > x^{2} + 6x + 9 \equiv 0 > (x + 3)^{2} \equiv x < -3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_{2} = \end{eqnarray*}$ {}

08.10.2013, 17:58

Math1986

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von goldfisch91
Hallo Leute,

leider habe ich Probleme durch eine Fallunterscheidung das Intervall zu bestimmen. Zum Beispiel bei dieser Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x < \frac{9}{6 - x} \end{eqnarray*}$

1. Fall:

$\begin{eqnarray*} 6 - x > 0 \equiv x < 6 \end{eqnarray*}$ (Grundbedingung)

$\begin{eqnarray*} x < \frac{9}{6 - x} \equiv x(6-x) < 9 \equiv 0 < x^{2} - 6x + 9 \equiv 0 < ( x - 3 )^{2} \equiv x > 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow L_{1} = \end{eqnarray*}$ {}

Bis zu dem Punkt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow L_{1} =\emptyset \end{eqnarray*}$ ist es ja noch richtig, aber wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \Rightarrow L_{1} =\emptyset \end{eqnarray*}$ ?

Du hast die zwei Bedingungen $\begin{eqnarray*} x < 6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ , das ist ein offenes Interval.

Zitat:

Original von goldfisch91
2. Fall:

x > 6 (Grundbedingung)

$\begin{eqnarray*} x < \frac{9}{-(6 - x)} \end{eqnarray*}$

Diese Voraussetzung ist schon falsch, di darfst nicht einfach den Nenner mit -1 multiplizieren nur weil er negativ ist.

08.10.2013, 18:04

goldfisch91

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RE: Ungleichung

Zitat:

Bis zu dem Punkt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow L_{1} =\emptyset \end{eqnarray*}$ ist es ja noch richtig, aber wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \Rightarrow L_{1} =\emptyset \end{eqnarray*}$ ?

Du hast die zwei Bedingungen $\begin{eqnarray*} x < 6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ , das ist ein offenes Interval.

OK, sehe ich jetzt auch. Wenn die Grundbedingung erfüllt ist, muss man die dann mit in die Lösung einbeziehen? Also vereinigen oder schneiden?

Zitat:

Diese Voraussetzung ist schon falsch, di darfst nicht einfach den Nenner mit -1 multiplizieren nur weil er negativ ist.

Achso, das war nur bei Beträgen, stimmts? Bei Brüchen achtet man einfach auf die Rechenregeln der Ungleichung aber übernimmt den Nenner so wie er ist?

08.10.2013, 18:06

Math1986

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von goldfisch91

Zitat:

Bis zu dem Punkt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow L_{1} =\emptyset \end{eqnarray*}$ ist es ja noch richtig, aber wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \Rightarrow L_{1} =\emptyset \end{eqnarray*}$ ?

Du hast die zwei Bedingungen $\begin{eqnarray*} x < 6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ , das ist ein offenes Interval.

OK, sehe ich jetzt auch. Wenn die Grundbedingung erfüllt ist, muss man die dann mit in die Lösung einbeziehen? Also vereinigen oder schneiden?

Schneiden natürlich, so dass also $\begin{eqnarray*} 3<x<6 \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Original von goldfisch91

Zitat:

Diese Voraussetzung ist schon falsch, di darfst nicht einfach den Nenner mit -1 multiplizieren nur weil er negativ ist.

Achso, das war nur bei Beträgen, stimmts? Bei Brüchen achtet man einfach auf die Rechenregeln der Ungleichung aber übernimmt den Nenner so wie er ist?

Ja, man übernummt den Nenner so wie er ist. Man muss halt beachten dass er negativ ist.

08.10.2013, 18:18

HAL 9000

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Anmerkung: Aus $\begin{eqnarray*} (x-3)^2>0 \end{eqnarray*}$ folgt nicht $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ , sondern nur $\begin{eqnarray*} x\neq 3 \end{eqnarray*}$ .

08.10.2013, 18:26

goldfisch91

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Zitat:

Anmerkung: Aus $\begin{eqnarray*} (x-3)^2>0 \end{eqnarray*}$ folgt nicht $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ , sondern nur $\begin{eqnarray*} x\neq 3 \end{eqnarray*}$ .

Warum? Wie kommt man darauf?

Außerdem, die Lösung soll (-00, 6) / {3} sein, aber da bin ich nicht drauf gekommen weil im zweiten Fall bei mir die leere Menge raus kommt mit x > 6 und x < 3.

Was habe ich im zweiten Fall wieder falsch gemacht? Ich habe es diesmal so gemacht wie du (Math1986) es gesagt hast. Hab am Ende dann $\begin{eqnarray*} 0 > (x-3)^{2} \end{eqnarray*}$ und somit x < 3 heraus bekommen. Ist ja anscheinend falsch Big Laugh

Big Laugh

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08.10.2013, 18:29

HAL 9000

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Meine Anmerkung bezog sich klar auf den ersten Fall x<6.

Im zweiten Fall ist und bleibt die (Teil-)Lösungsmenge leer.

08.10.2013, 18:31

goldfisch91

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OK, könntest du mir sagen warum die 3 ausgeschlossen wird? Und warum man dann dadurch auf (-oo , 6) \ {3} kommt?

EDIT: OK, ich hab verstanden wie es durch deine Schlussfolgerung dann zum besagten Ergebnis kommen kann, aber we kommst du darauf dass die 3 ausgeschlossen werden muss?

08.10.2013, 18:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von goldfisch91
Außerdem, die Lösung soll (-00, 6) / {3} sein, aber da bin ich nicht drauf gekommen

Ja eben, $\begin{eqnarray*} (-\infty,6) \setminus \{3\} \end{eqnarray*}$ ist die richtige Lösungsmenge.

Und auf die bist du nicht gekommen wegen des von mir angesprochenen Fehlschlusses in Fall 1. Vielleicht bist du ja eher der visuelle Typ:

Preisfrage: Für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat diese Funktion positive Funktionswerte, d.h. echt oberhalb der x-Achse (d.h. auch nicht auf der x-Achse)?

Nur für $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ oder doch für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 3 \end{eqnarray*}$ (also alle $\begin{eqnarray*} x<3 \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ ) ?

08.10.2013, 18:39

goldfisch91

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OK, habs verstanden. Bei Ungleichungen muss ich also daran denken, dass wenn ich die quadratische Ergänzung mache, dass ich dann bei z.b. 0 > ( x - 3 )^2 immer die zweite Zahl ohne Minus ausschließe. Oder leigt das bei mir jetzt nur daran weil ich die Aufgabe nicht elegant gelöst habe?

EDIT: Pardon, ich meine, dass man dann bei zb. -3 die 3 ausschließen muss, und bei +3 die -3. Lieg ich da richtig?

08.10.2013, 18:42

HAL 9000

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Mit Eleganz hat das nichts zu tun. Fehlende Eleganz macht allenfalls den Lösungsweg länger, dennoch kommt man bei fehlerlosen Umformungen und Schlüssen (!) auch dann zur richtigen Lösung.

08.10.2013, 18:52

goldfisch91

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OK, aber warum kommt man jetzt darauf dass man von 0 < (x - 3)^2 immer nur auf x =/= 3 kommt. War es das schon? Ich hab gedacht ich muss da auf ein Intervall kommen? Also, durch deine Grafik ist mir schon klar dass wohl alle reellen Zahlen außer 3 möglich sind. Kann man sich das so merken, dass wenn man dei quadratische Ergänzung gemacht hat, man dann einfach ausschließen kann welche Zahl nicht im Intervall ist oder wie soll ich das verstehen? Ich seh da keine "Regel"

08.10.2013, 19:04

HAL 9000

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Was ist daran ungewöhnlich? Durch Auflösung einer quadratischen Ungleichung kommt man öfter auf die Vereinugung zweier Intervalle, z.B.

$\begin{eqnarray*} x^2>16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x|>4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x<-4 \end{eqnarray*}$

Lösungsmenge: $\begin{eqnarray*} (-\infty,-4)\cup (4,\infty) \end{eqnarray*}$

Und hier bei dir ist es $\begin{eqnarray*} (-\infty,3)\cup (3,\infty) \end{eqnarray*}$ (wenn wir zunächst mal die Fallbedingung x<6 noch nicht in Rechnung stellen), alles völlig normal.

08.10.2013, 19:08

goldfisch91

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Ach, hab ich ganz vergessen. Vielen Dank! Das gilt aber nur für Ungleichungen oder? Also wenn man die Wurzel zieht, dass man dann einen Betrag hat.

EDIT: Bei quadrierten Termen oder sonstiges.

08.10.2013, 19:11

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=|x| \end{eqnarray*}$ gilt für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - ganz egal, wo dieser Term auftaucht, ob in Gleichungen, Ungleichungen, oder sonstwo.

08.10.2013, 19:13

goldfisch91

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Müsste nach dieser Logik nicht im 2. Fall bei einer Grundbedingung von x > 6 und / {3} nicht was anderes raus kommen als die leere Menge, oder ist das hier die leere Menge, weil es nichts gibt was bei (x - 3)^2 kleiner ist als 0 ?

08.10.2013, 19:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von goldfisch91
ist das hier die leere Menge, weil es nichts gibt was bei (x - 3)^2 kleiner ist als 0 ?

Das ist der Grund.

08.10.2013, 19:17

goldfisch91

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HAL 9000 ist allmächtig!

Danke!

08.10.2013, 19:44

goldfisch91

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Ich hab auch ein Problem bei dieser Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-1} < 1+2x \end{eqnarray*}$

Ich hab das genau so gemacht wie bei der anderen. Ich habe die Ungleichung in zwei Fälle unterschieden, habe dann aufgelöst um dann nach der quadratischen Ergänzung das Intervall zu bilden und die eine Zahl die 0 ergibt auszuschließen.

Das Ergebnis soll

$\begin{eqnarray*} (\frac{1-\sqrt{17} }{4} , 1) \cup (\frac{1+\sqrt{17} }{4}, \infty ) \end{eqnarray*}$

sein.

Wie kommen die denn an diesen Bruch? Welche Vorrangehensweise ist heir angebracht? Irgendwelche Ratschläge?

EDIT: Sorry für Doppelpost, habs vergessen.

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