Bild zweier linearen Abbildungen

09.10.2013, 17:04	Freedom Wizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Bild zweier linearen Abbildungen Habe bei zwei folgenden Aufgaben ein Problem: a) Es sei $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung des $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ in den $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ . Bestimme allgemein das Bild einer Geraden unter $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ . b) Bestimme das Bild des Einheitskreises $\begin{eqnarray} x^{2} + y^{2} = 1 \end{eqnarray}$ unter der linearen Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x \\ 2y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eine lineare Abbildung kann mit einer Geraden doch alles mögliche machen, sie. z. B. drehen oder verschieben. Ein allgemeiner Ansatz ist mir hier nicht eingefallen. Bei b) wird das eine Ellipse sein, aber wir kann ich das mathematisch korrekt aufschreiben?
09.10.2013, 19:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Was wird geometrisch aus der Geraden ? (genau zwei Möglichkeiten) Was wird geometrisch nicht aus der Geraden ? (mindestens zwei Möglichkeiten: sie wird nicht "krumm", sie wird keine Fläche ausfüllen) b) setze 3x und 2y in die Kreisgleichung ein.
09.10.2013, 23:36	Freedom Wizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du: Das Bild einer Geraden ist wieder eine Gerade (z. B. Identität) oder ein einzelner Punkt (z. B. Gerade wird auf den Nullvektor abgebildet). Die Ellipsengleichung ist dann also $\begin{eqnarray} 9x^{2}+4y^{2}=1 \end{eqnarray}$ ?
10.10.2013, 18:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) ja b) ja zu a) muss man sich noch klarmachen, was eine Gerade sein soll. Wenn wir von Vektorräumen reden, ist eine "Gerade" ein eindimensionaler Untervektorraum, dessen Bild hat die Dimension 0 oder 1, ist also der Nullraum oder eine "Gerade". Vielleicht verstehen wir unter "Gerade" aber auch eine Nebenklasse $\begin{eqnarray} x+U \end{eqnarray}$ mit einem eindimensionalen Untervektorraum $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , auch dann ist das Bild ein Punkt $\begin{eqnarray} y=\phi(x) \end{eqnarray}$ oder eine "Gerade" $\begin{eqnarray} y+V=\phi(x)+\phi(U) \end{eqnarray}$ . Wenn wir von affinen Räumen reden, ist eine Gerade eine Gerade im affinen Punktraum R², eine affine Abbildung bildet eine Gerade auf einen Punkt oder eine Gerade ab.
12.10.2013, 17:04	Freedom Wizard	Auf diesen Beitrag antworten »
passt, vielen Dank!

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