Kern & Bild

11.10.2013, 10:39

pedoon

Kern & Bild

Meine Frage:
Hallo, ich habe eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \Rightarrow \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ gegeben, die folgendermaßen definiert ist:

f(1,0,0)=(-1,3,1), f(0,1,0)=(0,3,6), f(0,0,1)=(2,-3,4).

Und davon sollen wir halt den Kern und das Bild bilden (bzw. sogar noch die Dimension von beidem).

Meine Ideen:
Aber irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch, wie ich Kern und Bild berechne. Normalerweise kann ich das ja, aber nur bei Funktionen wie: f(x,y,z)=f(x-y,y+z) (vereinfacht).
Aber wie stelle ich das hier an?

11.10.2013, 10:50

chrizke

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Wie sieht denn die Matrix aus, die diese Abbildung beschreibt?

Von der kannst du dann doch sicher Bild, Kern und Dimension bestimmen, oder?

11.10.2013, 11:09

pedoon

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Also so richtig weiß ich gerade nicht was du meinst verwirrt

Welche Matrix denn? Oder meinst du die Matrix, welche die drei Vektoren zusammen darstellen?

11.10.2013, 11:18

chrizke

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Naja eine lineare Abbildung im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist doch immer von der Form:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\ x\mapsto Ax \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb{R}^{m\times n} \end{eqnarray*}$ ist.

Du kannst nun aus deinen Angaben die Matrix A bilden (bzw. ablesen) und von der Kern und Bild bestimmen.

11.10.2013, 13:17

pedoon

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Also ist demnach $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & -3 \\ 1 & 6 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

11.10.2013, 13:34

Math1986

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Zitat:

Original von pedoon
Also ist demnach $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & -3 \\ 1 & 6 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, richtig. Num musst du davon die Dimension des Kerns und des Bildes bestimmen.

12.10.2013, 14:24

pedoon

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Und wie stelle ich das an?
Ich kann das bisher eigentlich nur von linearen Abbildungen und nicht von Matrizen.

12.10.2013, 16:44

chrizke

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Und wie hast du das bisher gemacht?

Davon mal abgesehen, wie ich schon schrieb gilt

$\begin{eqnarray*} \text{lineare Abbildung} \mathrel{\hat=}\text{ Matrix} \end{eqnarray*}$

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