Direkte Summe von Vektorräumen

11.10.2013, 16:23	Gast314	Auf diesen Beitrag antworten »
Direkte Summe von Vektorräumen Hi, sitze jetzt schon viel zu lange an folgender Aufgabe: Es seien $\begin{eqnarray} A_1,A_2,A_3 \end{eqnarray}$ nichtleere Unterräume von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und es gelte $\begin{eqnarray} V=A_1\oplus A_2=A_2\oplus A_3=A_3\oplus A_1 \end{eqnarray}$ Zeige, dass es einen zwei-dimensionalen Unterraum $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ gibt, sodass die Durchschnitte $\begin{eqnarray} W\cap A_i \end{eqnarray}$ ein-dimensional sind. Weil wir keine spezielle Information haben, ist es naheliegend einfach beliebige $\begin{eqnarray} w_1\in A_1, w_2 \in A_2 \end{eqnarray}$ zu wählen und $\begin{eqnarray} W=\langle w_1,w_2 \rangle \end{eqnarray}$ zu versuchen. Weil die Summen direkt sind, ist $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ sicher zwei-dimensional und die Durchschnitte $\begin{eqnarray} W\cap A_1, W\cap A_2 \end{eqnarray}$ jeweils ein-dimensional. Wir müssen also nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \langle w_1,w_2 \rangle \cap A_3 \end{eqnarray}$ auch eindimensinal ist. Dieser Durchschnitt kann mal nicht zweidimensional sein, denn dann wäre z.B. $\begin{eqnarray} w_1\in A_3 \end{eqnarray}$ . Jetzt müsste man nur noch zeigen, dass es nicht null-dimensional sein kann. Aber ich weiß beim besten Willen nicht, wie ich die direkte Summenbedingung dafür verwenden kann. Vieln Dank
11.10.2013, 18:15	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Direkte Summe von Vektorräumen Hallo Gast314, Mit naiver Wahl von $\begin{eqnarray} w_1, w_2 \end{eqnarray}$ kommt man vermutlich nicht weiter. Betrachte z.B. $\begin{eqnarray} W = \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A_1 = <e_1, e_2> \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A_2 = < e_3, e_4> \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A_3 = <e_1 + e_4, e_3+e_2> \end{eqnarray}$ . Wählen wir zufälligerweise $\begin{eqnarray} w_1 = e_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} w_2= e_3 \end{eqnarray}$ , dann haben wir schon verloren. Stattdessen wähle lieber systematisch: sei $\begin{eqnarray} v \in A_3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v \neq 0 \end{eqnarray}$ , dann gibt es $\begin{eqnarray} w_1 \in A_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_2 \in A_2 \end{eqnarray}$ , s.d. $\begin{eqnarray} v= w_1 + w_2 \end{eqnarray}$ . Setze jetzt $\begin{eqnarray} W = < w_1, w_2> \end{eqnarray}$ . Noch eine weitere Anmerkung zur Notation: Vektorräume sind im allgemeinen nichtleer. Denn ein Vektorraum ist nichts anderes, als eine Gruppe, auf der ein Körper so operiert, dass Gruppen- und Körperstruktur (distributiv) miteinander vereinbar sind. Eine Gruppe enthält aber nach Definition mindestens ein (neutrales) Element. Vermutlich ist nichttrivialer Vektorraum gemeint. lg kai
11.10.2013, 18:56	Gast314	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!
12.10.2013, 01:01	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Und genau das wurde dir auch zur gleichen Zeit in einem anderen Forum geantwortet(http://matheraum.de/read?i=983558). Schämst du dich nicht, die Zeit von gleich 2 Helfern damit zu beanspruchen und die des einen damit quasi wegzuwerfen? Ein Unding sowas innerhalb von 10 Minuten ohne Antwort in einem anderen Forum zu posten!
12.10.2013, 11:30	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte dazu erwähnen, dass ich den Post im anderen Forum nicht gesehen hatte. Finde es daher ziemlich witzig, dass wir quasi genau das gleiche geschrieben haben (zur einen Hälfte der andere vor, zur anderen nach mir - macht es nochmal etwas amüsanter).

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