Satz von Bayes und Erwartungswert

12.10.2013, 11:45

mathisfun

Auf diesen Beitrag antworten »

Satz von Bayes und Erwartungswert

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe:

Meine Ideen:
und folgende Lösung.

Ich wollte fragen, ob die Lösung ok wäre, auch für den Prüfenden.
Habe ich die Frage :In welchem Studienjahr wird Ihre Kommilitonin im Erwartungswert studieren? richtig verstanden, dass ich die Wahrscheinlichkeit,eine Studentin aus jedem Studienjahr in der Bibliothek zu treffen, berechnen muss.

Ich habe meine Lösung als eine Datei, weil es sehr lange dauert, bis ich die in Latex habe.

12.10.2013, 12:36

jimmyt

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, nach meiner bescheidenen Meinung, hast du den Satz von Bayes genau richtig angewendet.
Nur die Berechnung des Erwartungswertes gefällt mir nicht. Wie lautet nochmal die Formel für den Erwartungswert? Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.10.2013, 13:28

mathisfun

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!

Muss ich dann noch die Wahrscheinlichkeit eine Studentin im bestimmten Studienjahr zu treffen noch mit Anzahl von Studenten in diesem Jahr ausmultiplizieren?

E(x)=0,2*10=2 für Studenten im 1.Studienjahr, die sich in der Bibliothek aufhalten

Muss man E(x) in % schreiben oder nicht unbedingt?

12.10.2013, 14:01

jimmyt

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, beim Erwartungswert bekommst du, wie der Name schon erahnen lässt, einen Wert als Ergebnis, und keine Prozentangabe.

Formel für Erwartungswert: $\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{i \in I} x_i \cdot p_i \end{eqnarray*}$

Als Beispiel die Berechnung des Erwartungswerts beim würfeln mit einem Würfel.
$\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ sind die Augenzahlen, $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeiten. Also gilt $\begin{eqnarray*} x_i \in [1, \dots , 6] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall p_i: p_i = \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ .
Der Erwartungswert wird dann so errechnet:

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{i=1}^6 x_i \cdot p_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{21}{6} = \frac{18}{6} + \frac{3}{6} = 3 + \frac{1}{2} = 3,5 \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ 's und die $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ 's hast du ja schon bei deiner Aufgabe berechnet.
Jetzt nur noch die Formel für den Erwartungswert anwenden und fertig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.10.2013, 14:53

mathisfun

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank. Ich hatte Problem damit, was mein xi war. Das sind doch Studienjahre. Dann habe ich nach der Formel: E(X)=0,2*1+0,3*2+0,3*3+0,2*4=2,5.
Nun muss ich den Wert abrunden oder aufrunden? Ist die Studentin im 2. oder 3 Studienjahr?

12.10.2013, 14:56

jimmyt

Auf diesen Beitrag antworten »

Vollkommen richtig. Das habe ich auch raus.
Aufrunden, abrunden? Naja, ich würde es so stehen lassen. Aber wenn du runden möchtest, dann bei Nachkommastelle $\begin{eqnarray*} ,5 \end{eqnarray*}$ aufrunden.

Anzeige

12.10.2013, 15:56

mathisfun

Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt, die ist im 3 Studienjahr...
Bereitest du dich auch auf DS vor?
Wenn ja, kannst du bitte gucken, ob die Aufgabe zu Bayes stimmt:

12.10.2013, 15:58

mathisfun

Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]31762[/attach][attach]31763[/attach]

12.10.2013, 20:15

StatistikSuperdummie

Auf diesen Beitrag antworten »

hi ich bin autodidakt und beschäftige mich auch zurzeit mit der stochastik.
hab mich gerade mit deiner aufgabe beschäftigt und p = 25% rausbekommen.
ist das so ok?
[attach]31775[/attach]

12.10.2013, 21:22

mathisfun

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich weiß nicht ganz genau, welche Aufgabe du meinst. Bei der ersten habe ich auch 85%. Bei der zweiten 50%. Gucke bitte genau meine Lösung dazu. Ich glaube, die ist richtig. Falls du Fragen hast, kannst gerne schreiben.

12.10.2013, 21:53

jimmyt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathisfun
Das heißt, die ist im 3 Studienjahr...
Bereitest du dich auch auf DS vor?
Wenn ja, kannst du bitte gucken, ob die Aufgabe zu Bayes stimmt:

Sorry wenn ich mich erst jetzt melde, aber ich hatte stundenlang kein Internet.
Ich habe keine Ahnung was DS bedeutet, aber ich habe bei dieser zweiten Aufgabe ein anderes Ergebnis als du.
Mein Resultat ist das von StatistikSuperdummie, nur habe ich den Satz von Bayes benutzt:

Ereignisse:

$\begin{eqnarray*} e_0=0 \; \text{senden} \quad e_1=1 \; \text{senden} \quad e_2=10 \; \text{senden} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F=\text{fehlerhaft senden} \quad \overline{F}=\text{korrekt senden} \end{eqnarray*}$

geg. Wahrs.:

$\begin{eqnarray*} P(e_0)=P(e_1)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(F/e_0)=\frac{2}{10} \quad \Rightarrow \quad P(\overline{F}/e_0)=\frac{8}{10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(F/e_1)=\frac{1}{10} \quad \Rightarrow \quad P(\overline{F}/e_1)=\frac{9}{10} \end{eqnarray*}$

Totale Wahrscheinlichkeit:

$\begin{eqnarray*} P(F) = P(F/e_0) \cdot P(e_0) + P(F/e_1) \cdot P(e_1) = \frac{3}{20} \quad \text{(fehlerhaft gesendet)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\overline{F}) = P(\overline{F}/e_0) \cdot P(e_0) + P(\overline{F}/e_1) \cdot P(e_1) = \frac{17}{20} \quad \text{(korrekt gesendet)} \end{eqnarray*}$

Wahrs. für korrektes senden der Bitfolge 10:

$\begin{eqnarray*} P(\overline{F}/e_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = P(e_1/\overline{F}) \cdot P(e_0/\overline{F}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \stackrel{Satz\; von\; Bayes}{=} \frac{P(\overline{F}/e_1) \cdot P(e_1)} {P(\overline{F})} \cdot \frac{P(\overline{F}/e_0) \cdot P(e_0)} {P(\overline{F})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \dots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{72}{289} \approx 0,2491 \dots \approx \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Ganz ehrlich, bei deiner Lösung kann ich nicht erkennen, bei welchem Schritt du den Satz von Bayes anwendest. Ich schaue es mir aber gleich nochmal an ...

12.10.2013, 22:31

mathisfun

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, jetzt bin ich auch ein bisschen verwirrt. Ich habe bei der zweiten Aufgabe davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeit 0 zu empfangen, 0,45 ist und die Wahrscheinlichkeit 1 zu empfangen 0,55 ist. Ich denke, man kann nicht fehlerhaft senden. Man kann entweder 1 oder 0 senden. Satz von Bayes habe ich dann so angewendet, dass ich die Wahrscheinlichkeit 10(was empfangen wurde, wurde auch gesendet)durch die totale Wahrscheinlichkeit 10(10 wurde empfangen, aber nicht unbedingt gesendet teile).
Wo ich mir nicht sicher war, ob ich die Wahrscheinlichkeiten für 1 und 0 gesendet, empfangen, multiplizieren oder addieren sollte.

12.10.2013, 22:39

jimmyt

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, fehlerhaft senden habe ich es genannt, wenn anstatt einer 0 eine 1 gesendet wird oder umgekehrt. Kannst das gerne auch anders nennen.
Aber wie kommst du denn darauf, dass die Wahrs. eine 0 zu empfangen 0.45 und eine 1 zu empfangen 0,55 ist?
In der Aufgabenstellung steht explizit, dass 0 und 1 gleich häufig auftreten.

13.10.2013, 21:37

mathisfun

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antworten! Jetzt habe ich entdeckt, wo mein Problem war.
Ich habe 2 ähnliche Aufgaben, deswegen habe ich leider die verwechselt. Und habe auch die Wahrscheinlichkeiten für Bit 1 und Bit O addiert, statt multiplizieren.
Ich habe auch die Aufgabe b. Wie soll ich dort vorgehen?Ich habe oft Schwierigkeiten aus der Aufgabe bei P(A|B) zu erkennen, was P(A) und P(B) ist. In der Aufgabe a) war P(A) Wahrscheinlichkeiten fürs Senden und P(B) Wahrscheinlichkeiten fürs Empfangen. Wie ist das in der Aufgabe b)?
[attach]31785[/attach]

14.10.2013, 11:23

jimmyt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathisfun
... Ich habe oft Schwierigkeiten aus der Aufgabe bei P(A|B) zu erkennen, was P(A) und P(B) ist. ...

Da bist du nicht der Einzige. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das ist auch nicht so einfach. Ich würde folgendes vorschlagen (und mich auch selber verbessern):

$\begin{eqnarray*} \text{Ereignisse:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_0=0 \text{ gesendet}, \quad e_1=1 \text{ gesendet}, \quad e_2=10 \text{ gesendet} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F=\text{fehlerhaft \textcolor{red}{empfangen}}, \quad K= \text{korrekt \textcolor{red}{empfangen}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{geg. Wahrs.:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(e_0)=P(e_1)= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(F/e_0) = \frac{2}{10} \Rightarrow P(K/e_0) = \frac{8}{10} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(F/e_1) = \frac{1}{10} \Rightarrow P(K/e_1) = \frac{9}{10} \end{eqnarray*}$

Das habe ich jetzt so gemacht wegen der Reihenfolge. Weil, bspw. für $\begin{eqnarray*} P(F/e_0) \end{eqnarray*}$ ist ja die Abfolge, dass erst eine 0 $\begin{eqnarray*} \text{\textcolor{red}{gesendet}} \end{eqnarray*}$ wird (Ereignis 1),
und anschließend wird es fehlerhaft als 1 $\begin{eqnarray*} \text{\textcolor{red}{empfangen}} \end{eqnarray*}$ (Ereignis 2).
Da Ereignis 1 zeitlich vor Ereignis 2 kommt, habe ich $\begin{eqnarray*} P(F/e_0) \end{eqnarray*}$ genommen und nicht etwa $\begin{eqnarray*} P(e_0/F) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \text{totale Wahrs. wie gehabt:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(F)=\frac{3}{20} = 15 % \quad P(K)=\frac{17}{20} = 85 % \end{eqnarray*}$

zu a) $\begin{eqnarray*} \text{\textcolor{red}{gesendete}} \end{eqnarray*}$ Bitfolge 10 wird als 10 $\begin{eqnarray*} \text{\textcolor{red}{empfangen}} \end{eqnarray*}$ :
das heißt für mich zeitlich, dass erst gesendet, dann empfangen wird.
Also:

$\begin{eqnarray*} P(K/e_2)=P(K/e_1) \cdot P(K/e_0)= \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{10} = \frac{72}{100} = 72 % \end{eqnarray*}$

zu b) $\begin{eqnarray*} \text{\textcolor{red}{empfangene}} \end{eqnarray*}$ Bitfolge 10 auch als Bitfolge 10 $\begin{eqnarray*} \text{\textcolor{red}{gesendet}} \end{eqnarray*}$ :
das heißt für mich ausgehend davon, dass korrekt $\begin{eqnarray*} \text{\textcolor{red}{empfangen}} \end{eqnarray*}$ wurde, wurde auch korrekt $\begin{eqnarray*} \text{\textcolor{red}{gesendet}} \end{eqnarray*}$ ?
Also:

$\begin{eqnarray*} P(e_2/K)=P(e_1/K) \cdot P(e_0/K)= \frac{P(K/e_1) \cdot P(e_1)}{P(K)} \cdot \frac{P(K/e_0) \cdot P(e_0)}{P(K)} = \frac{9}{20} \cdot \frac{20}{17} \cdot\frac{8}{20} \cdot\frac{20}{17} = \frac{72}{289} \approx \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Ich weiß jetzt nicht, ob ich gut erklärt habe. Kannst gerne noch Fragen stellen. Wie gesagt, das ist auch nicht so einfach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.10.2013, 21:39

mathisfun

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Nachdem ich nochmal über Bayes gelesen habe, konnte ich das auch machen. Ich habe aber noch eine Frage. Wir setzen voraus, dass P(K|e2)=P(K|e1)*P(K|0). ISt das so, weil die P(K|e1) und P(K|0) von einander unabhängig sind?

15.10.2013, 09:41

jimmyt

Auf diesen Beitrag antworten »

Aus Wikipedia:

Zitat:

... Ereignisse nennt man unabhängig voneinander, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht beeinflusst. ...

Zitat:

... Ungenau, aber einprägsam formuliert: Bei unabhängigen Ereignissen kann man die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren. ...

In deiner Aufgabe sind ja $\begin{eqnarray*} P(K/e_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(K/e_1) \end{eqnarray*}$ fest vorgegeben und beeinflussen sich nicht gegenseitig.
Deswegen meine Antwort auf deine Frage: ja. Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »