Gleichungssystem lösen

16.10.2013, 21:08	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem lösen Meine Frage: Hallo, ich muss ein Gleichungssystem nach x, y, z und $\begin{eqnarray} \Delta T \end{eqnarray}$ lösen: $\begin{eqnarray} (x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2=c^2(T_1+\Delta T)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2=c^2(T_2+\Delta T)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x-x_3)^2+(y-y_3)^2+(z-z_3)^2=c^2(T_3+\Delta T)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x-x_4)^2+(y-y_4)^2+(z-z_4)^2=c^2(T_4+\Delta T)^2 \end{eqnarray}$ Für die Variablen (außer x, y, z und $\begin{eqnarray} \Delta T \end{eqnarray}$ ) habe ich auch Zahlenwerte. Aber ich wollte das erstmal so lösen (ohne die Werte einzusetzen; ich weiß auch nicht, ob mir das was bringen würde). Meine Ideen: Steh ich grad ein bisschen auf dem Schlauch? Ich finde irgendwie keine vernünftige Möglichkeit, das zu lösen. Ich habe schon die erste Gleichung nach x umgestellt, und wollte das dann in die anderen Gleichungen einsetzen, um diese Variable zu eliminieren. Und dann hätte ich das mit der nächsten Gleichung mit y gemacht. Aber das Problem ist, dass das dann sehr, sehr, sehr lange Ausdrücke werden. Gibt es eine einfache Möglichkeit, dieses Gleichungssystem zu lösen? Vielen Dank schon mal für Hilfe!
16.10.2013, 21:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ähnlich wie beim Schnitt zweier Kreise bzw. dreier Kugeln - hier nur noch eine Dimension höher: Wenn ich die Gleichungen mit (1)(2)(3)(4) bezeichne, dann rechne zunächst mal die Differenzen (1)-(4) (2)-(4) (3)-(4) aus. Das ist ein lineares Gleichungssystem bestehend aus 3 Gleichungen für die vier Variablen $\begin{eqnarray} x,y,z,\Delta T \end{eqnarray}$ , bei "allgemeiner Lage" der Parameter solltest du dann drei der vier Variablen in linearer Abhängigkeit von der vierten darstellen können, also z.B. die Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_x,b_x,a_y,b_y,a_z,b_z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x = a_x + b_x \Delta T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = a_y + b_y \Delta T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = a_z + b_z \Delta T \end{eqnarray}$ bestimmen. Diese drei Gleichungen setzt du dann in eine beliebige der vier Ausgangsgleichungen ein, es entsteht eine quadratischen Gleichung (in unserem Fall der Variablen $\begin{eqnarray} \Delta T \end{eqnarray}$ ), die ist zu lösen - und (fast) fertig.

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