Alle Unterräume des F2^3

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17.10.2013, 10:58	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Unterräume des F2^3 Moin, ich habe folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} F_2 \end{eqnarray}$ der Körper mit 2 Elementen. Bestimmen Sie alle Unterräume von $\begin{eqnarray} V := F_2^3 \end{eqnarray}$ jeweils durch Angabe einer Basis. Lösungsansatz: Zuerst einmal hoffe ich, dass ich richtig liege, wenn ich davon ausgehe, dass $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ genau 8 Elemente enthält nämlich $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Jetzt zu den Unterräumen. Diese acht Vektoren spannen doch für sich allein genommen jeweils schon wieder einen Unterraum auf oder? Also wenn ich einen beliebigen davon als Basis für einen Unterraum nehme, dann ist der Raum nicht leer, der gewählte Vektor und alle Vielfachen des Vektors sind drin. Damit ist das ja ein Unterraum. Also hätte ich schon mal 8 Unterräume. Beim ersten mit nur dem Nullvektor drin bin ich mir aber nicht sicher, ob das zählt. Dazu würde ich dann aber jetzt noch sehr viele weitere Unterräume finden. Beispielsweise der zweite mit dem dritten, der zweite mit dem vierten nicht, weil man den Raum schon hat etc. Ich könnte das jetzt so weiter durchgehen aber ich frage mich, wie man das normalerweise macht, um am Ende auch klar sagen zu können, dass man alle hat und keinen doppelt? Wäre schön, wenn mir jemand entweder einen besseren Weg verraten würde oder mich in meinem Weg bestätigen würde. Gruß Martin
17.10.2013, 11:39	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle Unterräume des F2^3 Richtig, du hast einen Unterraum der Dimension 0 und sieben Unterräume der Dimension 1. Jetzt fehlen noch Dimension 2 und Dimssnion 3.
17.10.2013, 11:42	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle Unterräume des F2^3 Hallo Martin, Deine Ansätze sind schon mal richtig. Gehe nun am besten nach der Dimension der Unterräume vor: - Dimension 0: Es gibt nur einen solchen Unterraum und der wird von der leeren Menge (bzw. auch vom Nullvektor) aufgespannt - Dimension 1: wird von einem nicht trivialen Vektor aufgespannt. Es gibt demnach sieben davon. - Dimension 2: wird von zwei verschiedenen nicht trivialen Vektoren aufgespannt. Schau einfach, wie viele Paare solcher Vektoren Du wählen kannst – jedes dieser Paare spannt einen zweidimensionalen Unterraum auf. Nun hast Du aber auch Unterräume doppelt gezählt, da ja beispielsweise $\begin{eqnarray} \langle (100),(010)\rangle=\langle (100),(110)\rangle= \end{eqnarray}$ ist. Schau einfach, wie viele Möglichkeiten es gibt, einen festen zweidimensionalen Unterraum mit zwei Vektoren zu erzeugen. - Dimension 3: sollte klar sein. Gruß Reksilat
17.10.2013, 11:44	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann mach ich einfach so weiter. Ich mache es aktuell so: 1. Ich nehme mir die ersten zwei linar unabhängigen Vektoren. Die sind eine Basis von einem Raum, den ich sicher noch nicht habe. 2. Ich suche einen Vektor, den ich als dritten Vektor linear unabhängig in die Basis reinschieben könnte. Also einen Vektor der nicht im Unterraum enthalten ist. Dieser Vektor bildet dann zusammen mit den beiden Vektoren aus der ersten Basis jeweils wieder eine Basis für zwei neue Unterräume. 3. Jetzt suche ich einen Vektor, den ich linear unabhängig in alle drei bisher gefundenen Basen packen kann und der müsste dann wieder mit allen jeweils einen neuen Raum bilden ... EDIT: Ich finds nur schwer, da ein System reinzubringen was mich nichts übersehen lässt und auch nichts doppelt finden lässt. Ich mein ich kann natürlich erst mal alle kombinationen aufschreiben und dann streichen aber ich weiß nicht ob das einfacher ist.
17.10.2013, 12:07	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte Reksilats Beitrag nicht gelesen. HAben wir wohl gleichzeitig geschrieben. Meinen Beitrag kann ich leider nicht mehr eiditieren, deshalb der neue. Ich machs jetzt so, dass ich alle Möglichkeiten aufschreibe und dann versuche eine Basis darzustellen mit Vektoren einer Basis die weiter vorn steht. Wenn das gelingt streich ich die Basis weg. Ein wenig wie beim Sieb des Eratosthenes für Primazahlen nur mit Basen . Ich suche die Primbasen
17.10.2013, 12:11	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, bitte nicht alle Möglichkeiten aufschreiben. Auch wenn das hier machbar scheint, ist es doch wenig lehrreich. Berechne lieber, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei linear unabhängige Vektoren aus V auszuwählen. So viele Basen für zweidimensionale Unterräume gibt es nämlich. Danach überlege, wie viele Du doppelt gezählt hast.
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17.10.2013, 12:18	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, mach ich noch. Allerdings nur zur überprüfung weil ich ja sowieso für jeden Raum eine Basis aufschreiben muss. In diesem Fall brauch ich also sowieso alle Basen außer die doppelten. Stellt sich nur die Frage wie man sowas berechnet. Intuitiv würde ich jetzt 4 sagen. Eine Basis, die die oberen zwei Elemente behandelt, eine Basis, die die unteren zwei Elemente behandelt, eine Basis, die die äußeren zwei Elemente behandelt und eine Basis, die alle drei Elemente beeinflussen kann. Ich überleg aber noch mal, ob ich da nicht was übersehen habe. Ich hab da nicht lange drüber nachgedacht bisher
17.10.2013, 12:20	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist vor allem Kombinatorik: Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei verschiedene Elemente aus einer 7-elementigen Menge zu wählen?
17.10.2013, 12:24	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dabei ist aber doch die Frage, was verschieden ist. Es gibt 21 Möglichkeiten. Allerdings sind die 21 möglichen Basen ja teilweise doppelt. Wenn ich aber die Zahlen 1-7 zu zweielementigen Mengen zusammenfasse, bekomme ich tatsächlich 21 unterschiedliche Möglichkeiten.
17.10.2013, 12:28	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, es gibt 21 mögliche Basen. Diese sind auch wirklich alle verschieden. Zu jeder Basis gehört nun ein 2-dimensionaler Raum und dieser Raum hat n verschiedene Basen. Es wurde also jeder Raum n-mal mitgezählt. Wenn Du also n bestimmst und dann 21 durch n teilst, hast Du die Gesamtzahl der 2-dimensionalen Räume.
17.10.2013, 12:34	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Also muss ich gucken wie viele Basen ich für den ersten Raum zum Beispiel finde. Das wären öhm drei. Also gäbe es 7 unterschiedliche Räume. Dann müsste ich noch zwei Basen eliminieren. Aktuell hab ich hier noch 9 Basen übrig. Dann mach ich mich mal auf die Suche, welche 2 Basen einen Raum erzeugen, der schon da ist.
17.10.2013, 12:35	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
7 ist korrekt. Viel Spaß beim Suchen!
17.10.2013, 14:15	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh ich glaub ich hab mich wirklich dumm angestellt. Ich habe gar nicht bedacht, dass ich mich im Körper $\begin{eqnarray} F_2 \end{eqnarray}$ befinde. Da gelten ja "andere" Rechenregeln. Wenn ich meine Vektoren auf lineare Abhängigkeit überprüfe, muss ich natürlich bedenken, dass 1+1 wieder 0 ergibt. Dann hauts auch hin.... Ich hab mir hier einen blöd gerechnet und kam nicht drauf. Dritte Dimension gibts nur eine Basis und höhere Dimensionen kann man sowieso knicken.

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