Basiswechsel mit linearer Abbildung

17.10.2013, 17:31

Freedom Wizard

Basiswechsel mit linearer Abbildung

Hallo!

Die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi : M_2(\mathbb R) \to M_2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ sei gegeben durch $\begin{eqnarray*} \varphi(A)=A*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Weiters seien

$\begin{eqnarray*} A=(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} B=(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Basen von $\begin{eqnarray*} M_2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ . Bestimme die Matrix $\begin{eqnarray*} M_{B}^{A}(\varphi) \end{eqnarray*}$ .

Ich habe das bisher stets für Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ gemacht. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich von den Matrizen-Basen A und B auf die dazugehörigen Isomorphismen $\begin{eqnarray*} \Phi_A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi_B \end{eqnarray*}$ komme.

Der Rest ist ja dann $\begin{eqnarray*} M_{B}^{A}(\varphi) = \Phi_{B}^{-1} \cdot \varphi \cdot \Phi_A \end{eqnarray*}$

Wäre für einen Hinweis dankbar.

17.10.2013, 21:08

micha_L

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RE: Basiswechsel mit linearer Abbildung
Hallo,

$\begin{eqnarray*} \Phi_A \end{eqnarray*}$ muss doch irgendwie definiert sein?!
Darüber (und nur darüber) kannst du es auch berechnen.

Gib doch bitte die (eure) Definition dieser ominösen Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi_A \end{eqnarray*}$ an, dann sehen wir weiter!

Mfg Michael

17.10.2013, 22:16

Freedom Wizard

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Die Definition von $\begin{eqnarray*} \Phi_A \end{eqnarray*}$ ist wiefolgt:

Sei V ein Vektorraum mit einer Basis $\begin{eqnarray*} A=(v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ . Dazu gehört ein Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \Phi_A : K^{n} \to V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Phi_A(e_j)=v_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j=1,...,n \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} (e_1,...,e_n) \end{eqnarray*}$ die kanonische Basis des $\begin{eqnarray*} K^{n} \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Nach Definition ist $\begin{eqnarray*} \Phi_A(x_1,...,x_n)=x_1 v_1 +...+ x_n v_n \end{eqnarray*}$ . Man nennt $\begin{eqnarray*} \Phi_A \end{eqnarray*}$ das durch A bestimmte Koordinatensystem in V und x die Koordinaten von v.

---

$\begin{eqnarray*} \Phi_A \end{eqnarray*}$ sollte meiner Ansicht nach eine 2x2-Matrix sein, die sich aus der Basis A zusammensetzt. Zumindest funktioniert es so ähnlich bei Vektoren. Wenn ich z. B. den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ betrachte und $\begin{eqnarray*} B=(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ eine Basis ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \Phi_B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

18.10.2013, 09:06

micha_L

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Hallo,

Zitat:

Original von Freedom Wizard
Die Definition von $\begin{eqnarray*} \Phi_A \end{eqnarray*}$ ist wiefolgt:

Sei V ein Vektorraum mit einer Basis $\begin{eqnarray*} A=(v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ . Dazu gehört ein Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \Phi_A : K^{n} \to V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Phi_A(e_j)=v_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j=1,...,n \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} (e_1,...,e_n) \end{eqnarray*}$ die kanonische Basis des $\begin{eqnarray*} K^{n} \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Nach Definition ist $\begin{eqnarray*} \Phi_A(x_1,...,x_n)=x_1 v_1 +...+ x_n v_n \end{eqnarray*}$ . Man nennt $\begin{eqnarray*} \Phi_A \end{eqnarray*}$ das durch A bestimmte Koordinatensystem in V und x die Koordinaten von v.

Sieht gut aus, daran erinnere ich mich.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Phi_A \end{eqnarray*}$ sollte meiner Ansicht nach eine 2x2-Matrix sein, die sich aus der Basis A zusammensetzt. [...]

Hm, vielleicht solltest du zuerst die Abbildung bestimmen, bevor du es mit einer darstellenden Matrix versuchst (was in diesem Fall auch nicht ganz ohne ist).

In deiner Definition von $\begin{eqnarray*} \Phi_A \end{eqnarray*}$ wird ein zu $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ isomorpher $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ erwähnt. Hast du dir Gedanken darüber gemacht, welcher Körper und welches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in diesem Fall dazu gehören?
Wenn du das (korrekt) bestimmt hast, wird dir vermutlich schonmal klar, dass das letzte Zitat inhaltlich nicht stimmen kann.

Mfg Michael

18.10.2013, 19:25

Freedom Wizard

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Die Dimension von V ist n=4 (vier Basiselemente). Da es sich um einen Isomorphismus handelt, muss es der $\begin{eqnarray*} K^{4} \end{eqnarray*}$ sein, genauer der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ .

Aber wenn ich $\begin{eqnarray*} \Phi_A : \mathbb R^{4} \to V \end{eqnarray*}$ hernehme mit $\begin{eqnarray*} \Phi_A(e_j)=v_j \end{eqnarray*}$ , dann wäre mein $\begin{eqnarray*} e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \Phi_A \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Das geht sich ja nicht aus.

21.10.2013, 13:30

Freedom Wizard

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