Gebrochenrationale Funktion

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Toddy Auf diesen Beitrag antworten »
Gebrochenrationale Funktion
Gegeben sind die Funktionen mit den Funktionstermen mit .

a) Bestimmen Sie den Defintionsbereich und die Gleichung der Asymptote der Funktionen. Untersuchen Sie die Funktionsgraphen auf Symmetrie.

b) Berechnen Sie die lokalen Extrempunkte der Funktionen in Abhängigkeit von a. Alle Extrempunkte liegen auf einer Ortskurve; ermitteln Sie deren Gleichung.

Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden:


Meine Idee:

Ich würde sagen, dass der Defintionsbereich so aussehen muss, weil a größer ist als 0 und der Nenner nie 0 ist, dadurch ensteht keine Polstelle und deshalb liegt er im reellen Bereich. Ich weiß nicht, was eine Asymptote ist und wie man eine Funktion auf Symmetrie prüft.

Was ist eine Ortskurve ? Ich weiß bloß, dass es ganz viele Extrempunkte gibt, aber warum steht da, dass man die Gleichung der Extrempunkte bestimmen muss, da man eigentlich doch nur die Punkte braucht oder ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Definitionsbereich: Richtig.

Asymptoten, die sich in Polstellen befinden, sind senkrechte Asymptoten.
Die Asymptotengleichung in der Abszissen- (x- ) Richtung gewinnt man mittels Grenzwertbildung für x gegen plus oder minus Unendlich.
Asymptoten sind im allgemeinen Geraden, auch schiefe Asymptoten, es können sich aber auch Asymptotenkurven ergeben.
Bei gebrochen rationalen Funktionen ist eine Polynomdivision durchzuführen, wenn der Grad des Zählers größer als der des Nenners ist. Der ganzrationale Anteil des Quotienten stellt die Gleichung der Asymptotenkurve dar.
Dies gilt auch bei schiefen (geraden) Asymptoten, dabei ist der Grad des Zählers um 1 größer als der des Nenners.

Die Extrempunkte selbst können selbstverständlich keine Gleichung haben, wohl aber die Kurve, auf der sie liegen. Und diese heisst dann Ortskurve.
Man erhält die Gleichung der Ortskurve mittels Elimination des Scharparameters a, wenn die allgemeinen Koordinaten der Extrempunkte berechnet worden sind.

mY+
Toddy Auf diesen Beitrag antworten »

Interessant. smile

Was erreiche ich damit, wenn ich x gegen +-unendlich laufen lasse ? Kann es sein, dass es keine Asymptoten gibt, weil der Nennergrad im reellen Bereich nicht lösbar ist oder?

Muss ich bei b) die 1.Ableitung bilden ?



Jetzt die Funktion gleich Null setzen und dann kucken, welches Ergebnis ich für x bekomme.



Ist dieser Weg korrekt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

a)
Dass reelle Nullstellen des Nenners nicht vorhanden sind, hat nur zur Folge, dass es keine vertikalen Asymptoten gibt.
Auf andere eventuell existierende Asymptoten hat dies keine Auswirkung.

Bestimme also den angesprochenen Grenzwert! Er ist hier konstant und leicht zu bestimmen (Bruch durch x kürzen!).
Die Asymptotengleichung hat dann die Form y = const, wie verläuft sie dann?

b)
Bis jetzt richtig, warum berechnest du die Extremwerte nicht weiter?

Zur Symmetrie: Welche Arten der Symmetrie sind denkbar?

mY+
Toddy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das mit den Asymptoten noch nie gemacht, aber ich denke, dass ich weiß, wie das funktioniert. Das Problem ist, dass ich nicht weiß, warum man das macht und welche Aussage man über die Asymptoten treffen kann. Kann man Asymptoten nur bestimmen, wenn es Polstellen gibt?

Zur Symmetrie: Ich habe gegoogelt und nachgekuckt, wie man die Symmetrie bestimmt und da stand, dass wenn die Exponenten ungerade sind, dass man dann Punktsymmetrie hat und wenn die Exponenten gerade sind, hat man Achsensymmetrie.



Zu b)

Wieso ist es hier in dem Fall nicht notwendig den Nenner gleich nullzusetzen?





Ich habe gelernt, um nun zu überprüfen, ob ein Extrema vorhanden ist, muss man den Wert in die zweite Ableitung einsetzen. Da die zweite Ableitung gegeben ist, tun wir das.



So müsste die Funktion aussehen smile Oder?
Toddy Auf diesen Beitrag antworten »

Mythos Wieso antworten Sie mir nicht mehr ? unglücklich


Ich habe versucht alleine weiterzuarbeiten. Die Fragen, die ich vorigen Thread genannt habe, konnte ich mir leider nicht beantworten.



---->>> Relatives Maximum: Egal welchen Wert ich für a einsetze, bekomme ich immer einen Wert unter 0, wegen

Somit hätte ich belegt, dass es ein Maximum gibt

Kann man hier den y-Wert kürzen?

Was ist die Ortskurve? Und wie bestimme ich diese?

Bitte antwortet mir dieses mal^^
 
 
Toddy Auf diesen Beitrag antworten »

Kann jemand anders mir solange bei der Aufgabe helfen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Unglücklicherweise war ich leider einige Zeit verhindert, den Thread weiterzuführen.

Die Extremstelle stimmt. Es gibt aber auch ein Minimum (links, bei negativen x-Werten)
Und ja, den y-Wert kann man noch "gewaltig" kürzen.
Schreibe einmal den Extrempunkt allgemein auf, damit ist dann die Ortskurve zu erstellen.

Du kannst die Graphen für einige bestimmte a zeichnen, um dir eine Vorstellung von der Kurvenschar zu machen.


[Ortskurve: Rot]

Es herrscht auch eine bestimmte Symmetrie .. (welche?)

Welche Probleme stellen sich dir noch bei der Grenzwertberechnung?
Wie schon gesagt, ist der Bruch im Zähler und Nenner durch x zu dividieren, danach kann mittels der Grenzwertsätze der Limes berechnet werden (es muss sich 0 ergeben)

Beim Nullsetzen des Bruches genügt es, den Zähler Null zu setzen, denn der Nenner ist ohnehin ungleich Null und daher ist es möglich, mit diesem zu multiplizieren.
Aus z/n = 0 folgt also z = 0.

mY+
Toddy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe grundsätzlich keine Probleme, bei der Grenzwertrechnung. Ich habe bloß Verständnisfragen und zwar warum man dies tut? Man könnte doch Theoretisch sagen, dass der Grenzwert die Asymptote ist oder?






Ahh Gedankenblitz smile

Wenn x gegen unendlich strebt und sich im Nenner für x eine große Zahl befindet, dann weiß man, dass 0 rauskommt oder? Auch wenn x gegen - unendlich strebt, nähert sich x null an, aber von der anderen Seite smile or?

Es herrscht auch eine punktsymmetrie zum Ursprung

Vielen Dank für die Skizze smile Nun erkenne ich es

Ich weiß aufjedenfall, dass die Ortskurve eine gebrochenrationale Funktion ist. Ich denke, dass die Funktion ist.
Aber wie bestimmt man die Funktion rechnerisch ? verwirrt



Entweder kürze ich hier nur mit 2 oder ich multipliziere mit , aber darf man das verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Toddy
Ich habe grundsätzlich keine Probleme, bei der Grenzwertrechnung.
...

Ein (zugegeben) kleines Problem hast du doch. Denn dies:

Zitat:
Original von Toddy
...



...

ist nicht richtig.
Was hier falsch ist, überlasse ich mal dir zum Nachdenken ...
Du hast nur Glück, dass sich trotz des Fehlers das Resultat nicht ändert.
Der Grenzwert ist hier gleichzeitig die Konstante in der Gleichung der waagrechten Asymptote.
Lautet der Grenzwert c, so ist y = c die Gleichung der Asymptote.

Punktsymmetrie ist in Ordnung.

Zitat:
Original von Toddy
...


Entweder kürze ich hier nur mit 2 oder ich multipliziere mit , aber darf man das verwirrt


Was sollte deiner Meinung nach daran nicht richtig sein?
Kürzen und Erweitern verändern einen Bruch so lange nicht, als Zähler und Nenner mit dem gleichen Faktor behandelt werden. Das kann auch mit gemacht werden, hier kann also durch diese Wurzel dividiert werden.
Das Ergebnis des Bruches ist hiermit richtig. Wenn man nicht will, dass im Nenner eine Wurzel steht, wird nur durch 2 gekürzt.

Zu der exakten Gleichung der Ortskurve (y = 1/x stimmt) kommt man, indem man von den mit dem Scharparameter behafteten Koordinaten des Ortspunktes (dieser ist hier der Extrempunkt) ausgeht. Genaugenommen steht in den parametrisierten Koordinaten des Ortspunktes auch schon die Gleichung der Ortskurve in Parameterform.
Was man also noch zu tun hat, ist, den Parameter zu eliminieren. That's it!

Es ist immer wieder erstaunlich, dass gerade dieser Zusammenhang oftmals Schwierigkeiten bereitet. Möglicherweise, weil er so einfach ist. Big Laugh

Für den Extrempunkt gilt also:




__________________

Eliminiert man aus diesem System den Parameter a, so resultiert daraus eine Beziehung in x, y und diese stellt nichts anderes als die Gleichung der Ortskurve dar.

mY+
Toddy Auf diesen Beitrag antworten »

Damit kann man es beweisen oder?







Gibt es irgendeine Regel bei der Vernichtung des Parameters a ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss das am Besten gleich wieder, das ist vollkommener Mumpitz.
Es wird auch außerdem nichts "vernichtet".
Dein anderer Ansatz war ja gar nicht so schlecht, du hattest dort halt einen Rechenfehler (falsch dividiert!).



anstatt wie du geschrieben hast ...

So, und nun lasse x über alle Grenzen gehen, was passiert dabei mit a/x ?
Und der übrig bleibende Bruch ist nochmals analog der Grenzwertberechnung zu unterziehen ...

mY+
Toddy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss mir das nochmal mit der Limesberechnung ankucken^^ Aber das wesentliche habe ich verstanden smile

Wenn ich irgendwelche Probleme habe, dann werde ich wahrscheinlich wieder einen Thread erstellen smile

Ich bereite mich jetzt schon auf die zentrale Abiturklausur vor smile Ich habe noch 2 Jahre Zeit und deshalb waren viele Dinge dabei, die ich nicht hatte, aber ich habe sie verstanden. Danke, dass Sie soviel Geduld mit mir hatten smile ))

Danke Freude Freude Freude
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, dass du es letztendlich verstanden hast!
Übrigens duzen wir uns hier im Forum, da spielt das Alter keine Rolle, auch wenn man ihm mit Respekt begegnen sollte Big Laugh

mY+
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