Abbildung Linearität Beweis

19.10.2013, 21:59	Briti	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung Linearität Beweis Gegeben ist R -> R² mit f(x) := (x,x) Also mir ist klar, dass man Linearität prüft indem auf Homogenität und Additivität untersucht. In der Aufgabenstellung steht noch "Beweisen Sie!" Der f(0) = (0,0) weist auf Linearität hin. Kann ich denn jetzt in der Betrachtung die 2. Dimension außer Acht lassen? Also wäre der Beweis schon mit F(x+»y = F(x)+ »F(y) f(x+»y) = x+»y = f(x) + » f (y) Wie formuliere ich denn mathematisch, dass man nur ein x betrachten müsste? Bzw. ist das dann schon ein geltender Beweis? Vielen Dank
20.10.2013, 02:48	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung Linearität Beweis Du brauchst doch nur einzusetzen, z.B. zu zeigen f(a)+f(b) = f(a+b): f(a)+f(b) = (a,a)+(b,b) =(a+b,a+b) =f(a+b)
20.10.2013, 13:43	Briti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also wäre ein korrekter Beweis wenn ich (i) Additivität nachweise $\begin{eqnarray} f(x)+f(y)<br /> =(x,x) + (y,y)<br /> =(x+y,x+y)<br /> =f(x+y) \end{eqnarray}$ q.e.d (ii) Homogenität nachweise $\begin{eqnarray} \lambda f(x)<br /> =\lambda (x,x)<br /> =( \lambda x, \lambda x)<br /> =f(\lambda x)<br /> \end{eqnarray}$ q.e.d Für $\begin{eqnarray} \mathbb R \Rightarrow \mathbb R² mit f(x):=(x,x) \end{eqnarray}$ ist somit die Linearität nachgewiesen. Fehlt es da an irgendeiner Defintion oder etwas? Das kommt mir so wenig vor?
20.10.2013, 18:07	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wars! (Vorausgesetzt werden natürlich Additions- und Multiplikationsregeln im R2).

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