Logarithmen miteinander multiplizieren bzw. vereinfachen

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20.10.2013, 11:45	ICS	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmen miteinander multiplizieren bzw. vereinfachen Hallo, folgende Aufgabe wird in Mathe 1 eines BWL-Studiums gestellt: Fassen Sie folgende Ausdrücke zusammen. $\begin{eqnarray} lg(\sqrt[]{50})lg(\sqrt[]{2})-2lg(5) \end{eqnarray}$ Zunächst hoffte ich, das ganze einfach umformen zu können, damit sich einige Logarithmen durch $\begin{eqnarray} lg(\sqrt[]{100})=1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} lg(\sqrt[]{10})=1/2 \end{eqnarray}$ vereinfachen, doch der Term wird dadurch nicht einfacher.... Aktueller Ansatz ist: $\begin{eqnarray} ((lg(\sqrt[]{5})+lg(\sqrt[]{5})+lg(\sqrt[]{2}))lg(\sqrt[]{2})-2lg(5) \end{eqnarray}$ Aber, auch nach dem ausrechnen führt das ganze nicht in einen einfacheren Term... $\begin{eqnarray} ((lg(\sqrt[]{5})+(1/2))lg(\sqrt[]{2})-2lg(5) \end{eqnarray}$ Hättet Ihr vielleicht noch einen Tipp in die richtige Richtung? Ich habe das Gefühl ich habe da etwas essentielles nicht gesehen, die Aufgabe steht unter diversen anderen, total einfachen, aber ich sehe einfach nicht durch... Vielen Dank, Gruß Christian
20.10.2013, 11:51	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmen miteinander multiplizieren bzw. vereinfachen Hier gibt es Logarithmengesetze: Also ich hab so angefangen: $\begin{eqnarray} lg \sqrt{50} =\frac{1}{2} lg 50 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} lg \sqrt{2} = \frac{1}{2} lg 2 \end{eqnarray}$ Es gilt $\begin{eqnarray} log (a b)= log (a) +log (b) \end{eqnarray}$ Und dann immer weiter vereinfacht ,das Ganze immer auf Ausdücke von lg 2 und lg5 gebracht und zusammengefaßt
20.10.2013, 13:24	ICS	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank soweit! Ich rechne also folgendermaßen: $\begin{eqnarray} lg\sqrt[]{50}lg\sqrt[]{2}-2lg5 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 0,5lg500,5lg2-2lg5 \end{eqnarray}$ Ok, nun teile ich den lg50 auf in mehrere lg-Summen: $\begin{eqnarray} 0,5(lg5+lg5+lg2)0,5lg2-2lg5 \end{eqnarray}$ Nach dem ausmultiplizieren erhalte ich (Ich gehe davon aus, dass ich die 0,5er Faktor ganz normal zusammenfassen darf!) $\begin{eqnarray} 0,25(lg5lg2+lg5lg2+lg2lg2)-2lg5 \end{eqnarray}$ Durch ausklammern bekomme ich u.a. einen lg10=1 $\begin{eqnarray} 0,25(lg2(lg2+lg5)+lg5lg2)-2lg5 \end{eqnarray}$ Was sich dann minimal vereinfacht zu: $\begin{eqnarray} 0,25(lg2+lg5lg2)-2lg5 \end{eqnarray*}$ Ab dem Schritt sehe ich aber keine weitere sinnvolle Vereinfachung mehr... Ich reflektiere hin- und her, finde aber einfach nix...
20.10.2013, 15:28	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Rechenweg ist richtig. es kann dann noch lg 2 ausgeklammert werden, aber mehr geht nicht. PS: 2 lg 5= lg 25 geht noch.
20.10.2013, 15:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte noch via $\begin{eqnarray} \lg(2)+\lg(5)=1 \end{eqnarray}$ das ganze so umformen, dass nur noch einer der beiden Logarithmenausdrücke $\begin{eqnarray} \lg(2) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \lg(5) \end{eqnarray}$ (und das dann mehrfach) in der Formel vorkommt, aber es ist letztendlich Geschmackssache, ob man das nun als "Vereinfachung" empfindet.
20.10.2013, 17:48	ICS	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichen Dank ihr beiden! Ich hatte nun noch in eine andere Richtung überlegt und hoffte das ganze zu einem Binom zu verwandeln: $\begin{eqnarray} (0,5lg2)^2+0,5lg5lg2-2lg5 \end{eqnarray}$ Leider macht dann der letzte Ausdruck einen Strich durch die Rechnung... Also wird das charmanteste Ergebnis wohl sein: $\begin{eqnarray} 0,25(lg2(1+lg5))-lg25 \end{eqnarray}$ Irgendwie hatte ich gehofft das es doch ein noch etwas eleganteres Ergebnis gäbe... Vielen Dank noch mal für die Hilfe!
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20.10.2013, 17:53	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja gern doch. Hast Du mal zur Kontrolle geschaut, ob Du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast. Außerdem hast Du dazu keine Lösungen, um zu vergleichen?
29.10.2013, 19:41	ICS_Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, hatte die Rückfrage übersehen, Verzeihung! Die Professorin hatte einen Tippfehler gemacht, die Aufgabe sollte lauten: $\begin{eqnarray} lg(\sqrt[]{50})+lg(\sqrt[]{2})-2lg(5) \end{eqnarray*}$
29.10.2013, 19:52	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich war mir eigentlich sicher, das hier etwas nicht stimmen kann, Besteht noch Bedarf, oder hast Du die Aufgabe schon gelöst?
29.10.2013, 21:53	ICS_Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, kein Hilfebedarf mehr, die Aufgabe ist So ja wirklich sehr einfach. Aber durch den Fehler im vorwege habe ich dennoch vieles gelernt und Rechenregeln vertieft. Also noch mal vielen Dank!

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