Beweis einer Aussage

20.10.2013, 17:21

Geminio

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Beweis einer Aussage

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist ein Mengensystem mit $\begin{eqnarray*} \cap_{M\in F} M= \varnothing \end{eqnarray*}$ . Nun soll man beweisen oder widerlegen, dass es stets zwei Mengen $\begin{eqnarray*} M_{1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} M_{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M_{1} \cap M_{2}= \varnothing \end{eqnarray*}$ gibt.

Meine Ideen:
So weit ich das verstanden habe, gibt es also einen Schnitt aller Mengen M aus dem Mengensystem F, der eine leere Menge ist. Folglich sollte es doch logisch sein, dass der Schnitt von M1 und M2 auch eine leere Menge ist... oder?
Und wie stellt man das mathematisch dar?

Danke für Hilfen!

20.10.2013, 18:15

Lithiesque

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Klingt auf den ersten Blick logisch, ist aber nicht so. Das Problem ist, dass etwas schiefgehen kann, wenn das Mengensystem $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ unendlich ist...

20.10.2013, 18:21

Che Netzer

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Schon für drei Mengen in $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ muss die Aussage nicht gelten.

20.10.2013, 18:24

Lithiesque

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Achja, stimmt natürlich... das erste Gegenbeispiel, das mir einfiel, war komischerweise eines mit unendlichem $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , daher dachte ich über den endlichen Fall zunächst nicht weiter nach.

20.10.2013, 20:14

Geminio

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Aber es geht ja nur um zwei Mengen...?

20.10.2013, 21:59

Geminio

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Also der Schnitt von M1 und M2 ergibt eine leere Menge (das heißt, sie haben keine gemeinsamen Elemente?), da sie sich in dem Mengensystem F befinden...
Was genau sagt $\begin{eqnarray*} \cap_{M\in F} M= \varnothing \end{eqnarray*}$ eigentlich aus? Ich dachte so was wie "Der Schnitt aller Mengen des Mengensystems F", also jede Menge geschnitten mit irgendeiner anderen ergibt eine leere Menge. Aber dem scheint ja nicht so zu sein, wenn ihr sagt, dass dies bei 3 Mengen schon nicht mehr stimmt. Aber wieso?
verwirrt

verwirrt

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20.10.2013, 22:23

Lithiesque

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$\begin{eqnarray*} \cap_{M\in F} M=\{x|\forall M\in{F}:x\in{M}\} \end{eqnarray*}$
In "Worten": Gilt $\begin{eqnarray*} x\in\cap_{M\in F} M \end{eqnarray*}$ , so liegt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in allen Mengen $\begin{eqnarray*} M\in{F} \end{eqnarray*}$ . Dein Ziel ist also, (beispielsweise) drei Mengen zu finden, derart, dass es kein Element gibt, das in allen drei Mengen zugleich liegt. Weiter sollen die drei Mengen paarweise (!) nichtleeren Schnitt haben. Damit hättest du ein Gegenbeispiel.

20.10.2013, 23:01

Geminio

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Dann könnte ich sagen, M_1 hat die Elemente 1,2,3 und M_2 4,5,6. Dann hätten zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente, wodurch der Schnitt die leere Menge ist... nee, oder?

20.10.2013, 23:29

Lithiesque

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Wählst du $\begin{eqnarray*} F=\{M_1,M_2\} \end{eqnarray*}$ mit den von dir definierten Mengen $\begin{eqnarray*} M_1,M_2 \end{eqnarray*}$ , so gilt zwar $\begin{eqnarray*} \cap_{M\in F} M= \varnothing \end{eqnarray*}$ , aber man findet auch zwei disjunkte Mengen in $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ : nämlich gerade $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ .

Insofern ist das kein Gegenbeispiel, denn dafür musst du $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ derart finden, dass $\begin{eqnarray*} \cap_{M\in F} M= \varnothing \end{eqnarray*}$ und gleichzeitig $\begin{eqnarray*} M_1\cap M_2 \neq \varnothing \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} M_1,M_2\in F \end{eqnarray*}$ .

21.10.2013, 09:10

Geminio

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Was mich immer verwirrt, ist, dass wenn die Schnittmenge aller Mengen aus F leer ist, was ja als Voraussetzung gilt (?), wie kann es dann zwei Mengen geben, die keine leere Menge als Schnittmenge besitzen?
Oder anders: Wähle ich für $\begin{eqnarray*} M_{1} = \left\{1,2,3\right\} , M_{2} = \left\{ 3,4,5\right\} \end{eqnarray*}$ dann wäre die Schnittmenge dieser beiden Mengen 3 und somit nicht leer. Aber dann würde ja, so weit ich das durchblicke, $\begin{eqnarray*} \cap_{M\in F} M= \varnothing \end{eqnarray*}$ nicht mehr stimmen, oder?

21.10.2013, 09:24

HAL 9000

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Selbstverständlich wirst du kein Gegenbeispiel eines Mengensystems F finden, wenn dieses Mengensystem nur zwei Mengen enthält: Denn diese beiden Mengen sind ja nach Voraussetzung durchschnittsfrei, und es sind die einzigen beiden Mengen, die nun für die Auswahl von zwei Mengen zur Verfügung stehen!!!

Aber wie oben schon von Che erwähnte, bereits bei drei Mengen findest du ein passendes F. Ganz einfach denken, es genügt schon, wenn die drei Mengen jeweils nur zwei Elemente enthalten.

21.10.2013, 09:25

Huggy

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Zitat:

Original von Geminio
Was mich immer verwirrt, ist, dass wenn die Schnittmenge aller Mengen aus F leer ist, was ja als Voraussetzung gilt (?), wie kann es dann zwei Mengen geben, die keine leere Menge als Schnittmenge besitzen?

Du musst $\begin{eqnarray*} \cap_{M\in F} M \end{eqnarray*}$ richtig interpretieren. Sei z. B. $\begin{eqnarray*} F=\{M_1,M_2,M_3\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} \cap_{M\in F} M= M_1 \cap M_2 \cap M_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cap_{M\in F} M= \varnothing \end{eqnarray*}$ bedeutet also $\begin{eqnarray*} M_1 \cap M_2 \cap M_3=\varnothing \end{eqnarray*}$

Es ist nicht gefordert, dass die die M-Mengen paarweise disjunkt sind.

21.10.2013, 18:45

Geminio

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Ich weiß nicht so ganz, ob man wirklich drei Mengen betrachten sollte, denn es geht ja im Prinzip nur um $\begin{eqnarray*} M_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_{2} \end{eqnarray*}$ ...?
Was mir noch eingefallen ist: Wenn beide Mengen das Element $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ besitzen, dann ist der Schnitt ja auch eine leere Menge, oder?

21.10.2013, 20:45

Geminio

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Kann mir jemand sagen, ob die Aussage überhaupt wahr ist? Also muss ich sie beweisen oder versuchen, sie zu widerlegen?
Ich dachte eigentlich, dass sie wahr ist, aber dann verstehe ich nicht, wie ich das beweisen kann - es steht ja irgendwie schon da.
Danke smile

smile

21.10.2013, 21:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Geminio
Ich weiß nicht so ganz, ob man wirklich drei Mengen betrachten sollte, denn es geht ja im Prinzip nur um $\begin{eqnarray*} M_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_{2} \end{eqnarray*}$ ...?

Wenn du wirklich immer noch meinst, ein Mengensystem mit nur zwei Mengen zu finden, das als Gegenbeispiel taugt, dann war mein Beitrag oben völlg für die Katz. unglücklich

unglücklich

21.10.2013, 21:17

Geminio

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Tut mir leid, ich versuche, es zu verstehen. Hammer

Hammer

M_1 und M_2 ergeben geschnitten eine leere Menge, wenn z.B. M_1={1,2} und M_2={3,4}.
Eine dritte Menge M_3={1,3} enthält Elemente von beiden Mengen, sodass der Schnitt mit M_1 oder M_2 keine leere Menge ergibt.
Aber darf M_3 Elemente besitzen, die auch in anderen Mengen vorhanden sind? Weil dadurch würde es ja $\begin{eqnarray*} \cap_{M\in F} M= \varnothing \end{eqnarray*}$ widerlegen. Oder widerlegt man damit schon das Ganze?

Und tut mir leid, wenn meine Fragen so klingen, als würde ich nichts kapieren, das ist zum einen recht wahr und zum anderen würde ich das gern ändern, also bin ich für eure Antworten 1000x dankbar!!

21.10.2013, 21:27

HAL 9000

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Ich glaub langsam, das wird nix, du drehst dich nur im Kreis und nimmst auch die diversen Anregungen nicht auf. Deshalb nenn ich jetzt mal ein nahezu minimales Beispiel für $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} M_1 = \{1,2\},\quad M_2 = \{1,3\},\quad M_3 = \{2,3\} \end{eqnarray*}$

Je zwei der drei Mengen haben einen nichtleeren Durchschnitt, aber der Gesamtdurchschnitt $\begin{eqnarray*} M_1\cap M_2\cap M_3 \end{eqnarray*}$ ist leer.

21.10.2013, 22:28

Geminio

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Ok, mir geht gerade ein Licht auf...
Jetzt kapier ich es, ist ja eigentlich gar nicht so schwer, hehe.

Vielen Dank HAL 9000 und alle anderen!

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