Linearität beweisen

20.10.2013, 19:58

Eisbergsalat

Linearität beweisen

Tut mir erstmal leid das ich hier eine Frage aufwerfe die mit Sicherheit schon geklärt worden ist, doch hab ich noch keine für mich passende Antwort gefunden.
Vielleicht ist ja jemand so gütig und erklärt mir die Grundzüge der Beweisführung zur linearität!

Also, ist die Abbildung f : R → R^2 mit f(x) := (x, x)
linear? Beweisen Sie!

Wo fang ich an, wie beweise ich??

DANKEEEEÉ !

Sandy

20.10.2013, 20:00

10001000Nick1

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Meinst du $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2, f(x):=(x,x) \end{eqnarray*}$ ?

20.10.2013, 20:01

Eisbergsalat

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Genau das! Augenzwinkern

sollte mir mal latex laden

20.10.2013, 20:03

10001000Nick1

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Brauchst du nicht. Du kannst das direkt hier im Board mit dem Formeleditor machen.

Wie ist denn eine lineare Abbildung/Funktion definiert?

20.10.2013, 20:09

Eisbergsalat

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Sie muss (1) homogen sein, d.h. f(a*y) = a*f(y)
und (2) additiv sein, d.h. f(x1+x2) = f(x1) + f(x2).

Das ist alles was ich bisher begriffen hab!

20.10.2013, 20:15

10001000Nick1

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Genau das musst du jetzt für die Funkiton f überprüfen.
D.h. du guckst, ob $\begin{eqnarray*} f(a\cdot y)=a\cdot f(y) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (ay, ay)=a(y,y) \end{eqnarray*}$ ist, und ob $\begin{eqnarray*} f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (x_1+x_2, x_1+x_2)=(x_1, x_1)+(x_2, x_2) \end{eqnarray*}$ ist.

20.10.2013, 20:30

Eisbergsalat

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also hab ich zur homogenität
=f(a*y)
=(ax, ax)
=a(x,x)
=af(x)

und zur additivität
=f(x) + f(y)
=f(x,x) + f(y,y)
=(x+y, x+y)
=f(x+y)

????

ist das denn dann schon alles??

Was bedeutet genau die R^2? Im grunde doch nur das in dieser Funktion nur mit der Zahl zwei als x gerechnet wird?!

20.10.2013, 20:39

10001000Nick1

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Fast richtig. Hier ist jedoch ein kleiner Fehler:

Zitat:

Original von Eisbergsalat
und zur additivität
=f(x) + f(y)
=f(x,x) + f(y,y)
=(x+y, x+y)
=f(x+y)

In der zweiten Zeile muss nur $\begin{eqnarray*} =(x,x)+(y,y) \end{eqnarray*}$ stehen, ohne f.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ist der Wertebereich. Das bedeutet, dass alle Funktionswerte zweidimensionale Vektoren sind.

Zitat:

Original von Eisbergsalat
Im grunde doch nur das in dieser Funktion nur mit der Zahl zwei als x gerechnet wird?!

Was meinst du damit?

20.10.2013, 20:46

Eisbergsalat

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je länger ich darüber nachdenke umso klarer wird es mir (noch immer trüb aber anwenden hilft zu verstehen)

d.h. wenn dort R^3 stehen würde hätte ich z.B.

f(x) + f(y) + f(z) = f(x+y+z) beweisen müssen??

20.10.2013, 21:22

10001000Nick1

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Nein. Das, was du zeigen musst, bleibt immer das gleiche. Der Wertebereich bezieht sich nur auf die Funktionswerte.
Eine Funktion mit Wertebereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ wäre z.B. $\begin{eqnarray*} g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3, g(x):=(x, 0, 2x). \end{eqnarray*}$ Da sind die Funktionswerte Vektoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ .

26.10.2013, 16:51

Eisbergsalat

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ich habs leider immer noch nicht ganz drin....

meine Frage jetzt: was ist wenn ich zwei x nach dem f stehen habe...z.B.:

f(x1,x2) := x1

wie beweise ich homogenität und additivität [f(x1+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ x2

26.10.2013, 20:10

10001000Nick1

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Für die Homogenität prüfst du $\begin{eqnarray*} f(\lambda(x_1, x_2))=\lambda f(x_1, x_2). \end{eqnarray*}$
(Es gilt $\begin{eqnarray*} \lambda(x_1, x_2)=(\lambda x_1, \lambda x_2) \end{eqnarray*}$ ).

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