vollständige Induktion bei folgender Ungleichung

20.10.2013, 20:02	Bexy	Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Induktion bei folgender Ungleichung Hallo, mein Ziel ist folgende Behauptung zu beweisen: $\begin{eqnarray} 2^{s-1} \leq s! \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} s \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Das muss nicht durch vollständige Induktion sein, aber ich denke die ist in diesem Fall am sinnvollsten, oder? Ich habe wiefolgt angefangen: Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} s=1<br /> 1\leq 1 \end{eqnarray}$ wahre Aussage Induktionsvoraussetzung: Für alle $\begin{eqnarray} s \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} 2^{s-1} \leq s! \end{eqnarray}$ Induktionsschluss:Zu zeigen ist $\begin{eqnarray} 2^{(s+1)-1}\leq (s+1)! \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2^{s}\leq (s+1)!<br /> 2^{s}\leq s! +s+1<br /> 2\frac{2^{s} }{2} \leq s! +s+1<br /> 22^{s-1} \leq s! +s+1<br /> 2^{s-1} + 2^{s-1} \leq s! +s+1 \end{eqnarray}$ nun ja...irgendwie komme ich nicht dazu das es eindeutig sichtbar ist, dass es stimmt. Vielleicht habe ich auch irgendwo einen Fehler oder habe einen Weg eingeschlagen, der nicht zum Ziel führt!? Kann mir vielleicht bitte jemand helfen? Liebe Grüße Bexy
20.10.2013, 21:02	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Seit wann ist (s+1)!=s!+s+1 ?
20.10.2013, 21:52	Bexy	Auf diesen Beitrag antworten »
ist es das nicht?
20.10.2013, 22:06	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht wirklich. $\begin{eqnarray} s!=1 \cdot 2 \cdot ... \cdot s \end{eqnarray}$
20.10.2013, 22:10	Bexy	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, stimmt du hast Recht...ich war bei 1+2+... mein Kopf ist offensichtlich noch auf Semesterferien eingestellt
20.10.2013, 22:13	Bexy	Auf diesen Beitrag antworten »
also muss es heißen $\begin{eqnarray} (s+1)!=s!(s+1) \end{eqnarray*}$ !?
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20.10.2013, 22:25	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es
20.10.2013, 22:32	Bexy	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komme aber leider trotzdem nicht weiter
20.10.2013, 23:47	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schreib doch mal auf, wie weit Du kommst. Orakeln kann ich leider nicht und mit obigen Schritten solltest Du (unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung) recht schnell zur Lösung kommen.
21.10.2013, 21:22	Bexy	Auf diesen Beitrag antworten »
achso..also $\begin{eqnarray} 2^{s}\leq (s+1)!<br /> 2^{s}\leq s!(s+1)<br /> 2\frac{2^{s} }{2} \leq s!(s+1)<br /> 22^{s-1} \leq s!(s+1)<br /> 2^{s-1} + 2^{s-1} \leq s!(s+1) \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} 2^{s-1} \leq s! \end{eqnarray}$ ist ja durch die Induktionsvorraussetzung gegeben, also muss ich noch zeigen, dass gilt $\begin{eqnarray} 2^{s-1} \leq s!(s+1) \end{eqnarray}$ und wenn $\begin{eqnarray} 2^{s-1} \leq s! \end{eqnarray}$ gilt dann muss auf jeden fall ja auch $\begin{eqnarray} 2^{s-1} \leq s!(s+1) \end{eqnarray}$ gelten, oder!? (bin nicht ganz sicher, ob das jetzt so richtig war!?) Aber wie schreibe ich das jetzt mathematisch korekt auf? kann man das so schreiben: da $\begin{eqnarray} s \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} s! \leq s!(s+1) \end{eqnarray}$ also gilt $\begin{eqnarray} 2^{s-1} \leq s! \leq s!(s+1) \end{eqnarray}$ also gilt $\begin{eqnarray} 2^{s-1} + 2^{s-1} \leq s!(s+1) \end{eqnarray*}$ damit ist die Behauptung bewiesen. Fals das jetzt so richtig ist, danke ich dir schonmal vielmals für deine Hilfe

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