Achsenschnittpunkte und Extrempunkte einer gebrochenrationalen Funktion

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134340 Auf diesen Beitrag antworten »
Achsenschnittpunkte und Extrempunkte einer gebrochenrationalen Funktion
Moin Wink

Als ob eine gebrochenrationale Funktion nicht schon schwer genug wäre, liegt in dieser Funktion auch noch ein e vor unglücklich . Ich bin bei dieser Aufgabe am verzweifeln, da ich nicht weiß, welche e-Potenzen ich zusammenfassen kann und welche nicht; somit hab ich eine riesige Ableitung bei der ich den Überblick verliere. Die Lösung liegt mir zwar vor, aber trotzdem verstehe ich es nicht :'(

Hier die Aufgabe:
Für jedes ist eine Funktion gegben durch mit .

Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen von mit den Koordinatenachsen
Untersuchen Sie den Graphen von auf Extrempunkte.
Entscheiden Sie für welches c Hochpunkte vorliegen.
Geben Sie c so an, dass Hochpunkt des Graphen von ist.

Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen habe Ich, denke Ich, richtig berechnet. Hier mein Rechenweg:
Schnittpunkt mit der x-Achse:
Da nie Null wird liegt kein Schnittpunkt mit der x-Achse vor.

Schnittpunkt mit der y-Achse:
Durch x=0 setzen ergibt sich

Extrempunkte:
Hier habe ich die erste Ableitung durch die Quotientenregel gebildet, kann diese aber leider nicht zusammenfassen, ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und Extrempunkte einer gebrochenrationalen Funktion bere
Als erstes kannst du durch (e^x + 10) kürzen. Danach kannst du c*e^x ausklammern. smile
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ist alles richtig. Du musst ja nicht unbedingt was zusammenfassen, sondern nur herausfinden, wann die Ableitung 0 ist. Dazu würde ich den Zähler in ein Produkt verwandeln...

edit: zu spät
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

@Stefan03: Gute Idee, aber ich denke das ist schwieriger als die Methode von klarsoweit

@klarsoweit: Wenn ich mit kürze, sind dann beide im Zähler weg und im Nenner steht dann nur noch die zweite Potenz?
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

@134340,

die Idee von klarsoweit und mir sind vom Prinzip her die gleichen, nur dass ich einen Schritt einbaue, indem du erst e^x+10 ausklammerst und somit hast du ein Produkt.

e^x+10 kannst du nur in einfacher Potenz kürzen, d.h. es bleibt im Zähler (so wie es jetzt aufgeschrieben ist) bei einem Summanden e^x+10 in einfacher Potenz übrig und im Nenner in 3.
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stefan03
@134340,

die Idee von klarsoweit und mir sind vom Prinzip her die gleichen, nur dass ich einen Schritt einbaue, indem du erst e^x+10 ausklammerst und somit hast du ein Produkt.

e^x+10 kannst du nur in einfacher Potenz kürzen, d.h. es bleibt im Zähler (so wie es jetzt aufgeschrieben ist) bei einem Summanden e^x+10 in einfacher Potenz übrig und im Nenner in 3.


Wieso darf ich das denn nur einmal im Zähler kürzen? Da steht doch zweimal
 
 
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und Extrempunkte einer gebrochenrationalen Funktion bere
Zitat:
Original von 134340


Das ist eine Summe!!! Und aus Summen darf man nicht kürzen. Du meinst evlt. mit 2-mal das Richtige, aber es ist halt unsauber....

Wenn du es in ein Produkt verwandelst, dann kannst du es 1-mal kürzen. Mit deinem 2-mal könnte man auch das "Quadrat" meinen...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und Extrempunkte einer gebrochenrationalen Funktion bere
Zitat:
Original von Stefan03
Und aus Summen darf man nicht kürzen.

Natürlich darf man aus Summen kürzen, man muß nur die richtige Regel nehmen:
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das meinte ich klarsoweit, aber ich bin mir nicht sicher wie ich das hier anwenden kann.
Ich hab jetzt folgende Zusammenfassung: Ist das richtig und kann man jetzt hier das noch weiter kürzen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 134340
Ich hab jetzt folgende Zusammenfassung:

Egal, welche Regel du anwendest, du mußt es richtig tun. Und rauskommen muß:

Im Zähler kannst du noch etwas zusammenfassen.
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du so?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bist du jetzt darauf gekommen? verwirrt
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ich hab das in der Klammer zusammengefasst
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist aber mächtig in die Hose gegangen. Da steht ein Minus hinter der Klammer, kein Multiplikationszeichen. Wink
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer du hast recht; ouh man, wie konnte mir sowas nur passieren?
Aber was kann man denn sonst noch zusammenfassen, ich seh da nichts.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es mit ? smile
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, also hab ich dann
Da wär ich niemals von alleine drauf gekommen unglücklich

Dann brauch ich jetzt aber noch die zweite Ableitung um die Extrempunkte zu finden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 134340
Dann brauch ich jetzt aber noch die zweite Ableitung um die Extrempunkte zu finden.

Vorher würde ich noch im Zähler die Klammer ausmultiplizieren, um beim Ableiten die Produktregel zu sparen.
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dem auflösen der Klammer ergab sich

Und das ganze abgeleitet ergibt:

Aber wie ich das jetzt zusammenfassen kann weiß ich nun wirklich nicht Big Laugh
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Auch hier kann man wieder kürzen, z.B. . smile
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dem Kürzen hab ich:
Kann ich sonst noch was kürzen oder muss ich jetzt zusammenfassen?

(Ich bekomm in latex die beiden Klammern ganz rechts im Zähler nicht weg Augenzwinkern )
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne die überflüssige Klammer:



Wenn du willst, kannst du noch zusammenfassen. Allerdings fragt sich, ob sich das rentiert. Du brauchst ja für Extemwerte nur das Vorzeichen der 2. Ableitung.
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Um jetzt die Extrempunkte zu berechnen benötigt man die Nullstellen der ersten Ableitung. Die erste Ableitung hat doch aber garkeine Nullstellen oder nicht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da schauen wir uns mal den Plot für den Zähler und für c=1/10 an:



Also das sieht mir doch sehr nach einer möglichen Nullstelle aus. Augenzwinkern
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm, gutes Argument Big Laugh

Wenn ich jetzt nach x umstellen möchte, kann der Nenner zuerst einmal vernachlässigt werden, da wenn ich mit multipliziere habe ich aber ich weiß leider nicht wie man hier weiter vorgehen soll. Muss ich hier irgendwas logarithmieren?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wär's mit c und exp(x) ausklammern?

mY+
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es, wenn du die Gleichung einfach mal durch dividierst? Augenzwinkern
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit dividiert ergibt und somit ist ; stimmt das?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Freude
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Um jetzt zu prüfen ob ein Extremwert vorliegt setze ich einfach in ein und damit ergibt sich . Das ganze jetzt in die Anfangsgleichung eingesetzt und somit ist der y-Wert . Stimmt das so?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 134340
Um jetzt zu prüfen ob ein Extremwert vorliegt setze ich einfach in ein und damit ergibt sich .

Hm, ich komme auf . (Kann mich aber auch verrechnet haben.)

Zitat:
Original von 134340
Das ganze jetzt in die Anfangsgleichung eingesetzt und somit ist der y-Wert . Stimmt das so?

Ja.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
...
Hm, ich komme auf . (Kann mich aber auch verrechnet haben.)
...


Weder -1/80 noch -1/1600 stimmen, sondern es ergibt sich -c/80
[Das c kann nicht einfach so verschwinden]

Außerdem wird nur dann ein Maximum vorliegen, wenn c > 0 ist, andernfalls sind die Fälle c = 0 und c < 0 auch noch zu untersuchen.

mY+
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, mYthos, für deinen Hinweis. Ich hab auch meinen Fehler gefunden (muß mal wieder mehr Kopfrechnen üben. smile )

Übrigens: der Fall c=0 ist durch die Aufgabenstellung ausgeschlossen.
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Mythos, ich hab nochmal durchgerechnet und komm auf .

Das bei c=0 kein Extremwert vorliegt ist leicht nochvollziehbar, aber wie sieht es mit c<0 aus? Wie kann ich das denn überprüfen?

Bei der letzten Frage:
Zitat:
Geben Sie c so an, dass Hochpunkt des Graphen von ist.

dahcte ich mir, dass ich die Anfangsgleichung =11 setze und dann den bekannten wert ln10 für x einsetze: somit ergibt sich c=440. Stimmt das?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Welches Vorzeichen wird wohl -c/80 haben, wenn c < 0 ist? Welche Art des Extremums liegt dann vor?
Da nach einem Maximum gefragt ist, wird man eben die Definitionsmenge von c entsprechend einschränken müssen.

Übrigens, c = 440 ist richtig.

mY+
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