Gleitpunktarithmetik

21.10.2013, 12:25

Katy93

Gleitpunktarithmetik

Meine Frage:
Benennen Sie alle $\begin{eqnarray*} n\leq 6 \end{eqnarray*}$ für die die exakte Auswertung von $\begin{eqnarray*} S_{n}=\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ in F(2,6,4) realisiert werden kann. (Beachten Sie das Axiom der Gleitpunktarithmetik $\begin{eqnarray*} x\oplus y=rd(x+y) \end{eqnarray*}$ . Gleitpunktzahlen werden erst exakt addiert und dann der Rundungsoperator angewandt.)

Meine Ideen:
Hallo,

leider habe ich nicht wirklich einen Ansatz zur Lösung dieser Aufgabe. Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könntet.

Liebe Grüße

21.10.2013, 14:19

Math1986

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RE: Gleitpunktarithmetik
Ist hier wirklich
$\begin{eqnarray*} S_{n}=\sum\limits_{i=1}^n \frac 1n =1 \end{eqnarray*}$
oder nicht doch eher
$\begin{eqnarray*} S_{n}=\sum\limits_{i=1}^n \frac 1i \end{eqnarray*}$
gemeint? verwirrt

Erster Term wäre konstant 1, daher wäre es witzlos, nach verschiedenen n zu fragen.

Fang doch erstmal mit n=1 und n=2 an, und versuche, diese Zahlen als exakte Gleitkommazahl darzustellen. Was fällt dir auf?

21.10.2013, 17:02

Derive13

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Ich misch mich hier mal ein, da ich gerade ein Thema zur selben Frage erstellen wollte!

Die Summe ist tatsächlich so gemeint. Exakt wäre die Summe ja in jedem Fall 1. Hier geht es wohl darum, ob die Summe von n Summanden 1/n interpretiert in F(2,6,4) auch tatsächlich diese 1 ergibt.

Ich habe eine Frage dazu:

1/3 in dieser Art und Weise entwickelt ergibt ja

1/3 = 0.101010101010... * 2 ^-1 Jetzt darf die Mantisse ja aber nur 6 Stellen haben. Man würde also runden und sagen 1/3= 0.101011*2^-0001 (bei vierstelligem Exponenten, wenn man will)

Jetzt steht auf dem Zettel aber auch obiger Einwand zur Addition von Gleitpunktzahlen (bzgl der Reihenfolge Rundung <--> Addition exakter Werte). Wie soll man jetzt rechnen?

Soll man

a) Die Mantisse nach 6 Stellen abschneiden (und das als "exakt" interpretieren), 3 dieser Drittel schriftlich addieren und dann runden

oder

b) Mit dem gerundeten 1/3 eben jenes machen.

Also rechnet man 0.101010E-1+..+.. oder 0.101011E-1+..+..? Bei 1/5 entscheidet diese Frage darüber, ob S(n) für n=5 exakt darstellbar ist oder nicht.

Danke schonmal smile

21.10.2013, 17:07

HAL 9000

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Ich schätze mal, du musst bei dem Publikum hier die Nachsicht haben, dass nicht jeder gleich weiß, was $\begin{eqnarray*} F(2,6,4) \end{eqnarray*}$ bedeutet. Wobei "nicht jeder" vermutlich noch sehr defensiv formuliert ist. Big Laugh

Ich kann auch nur annehmen, dass das die Kodierung für irgendein Floating-Point-Format ist, aber welche Zahl was (Mantisse, Exponent, Zahlenbasis) bedeutet, weiß ich auch nicht.

21.10.2013, 17:11

Derive13

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Sowas kann ich natürlich nicht einschätzen, bei uns stehts auf dem ersten Übungszettel zur Numerik!

F(p,l,m) bezeichnet die Menge der Zahlen +-0.z1z2z3z4...zl * p^e, wobei e ein m-stelliger Exponent ist und z1 ungleich 0 (vielleicht etwas salopp).

Weißt du vllt wie das gemeint ist?

21.10.2013, 17:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Derive13
bei uns stehts auf dem ersten Übungszettel zur Numerik!

... der leider nicht an der Pinwand des Matheboards klebt. Oder doch? Big Laugh

21.10.2013, 17:27

Derive13

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Natürlich nicht smile

Ich dachte nur, dass diese F(p,l,m) - Geschichte etwas Gängiges in der Numerik wäre.

Aus dem Skript:

F(p,l,m) bezeichnet die Menge der Zahlen in normalisierter Gleitpunktdarstellung mit Basis p, l-stelliger Mantisse und m-stelligem Exponenten. Diese Zahlen werden auch Maschinenzahlen genannt. F(p,l,m) ist eine endliche Teilmenge von Q.
__

Bzgl. Addition zum Beispiel ist F aber nicht abgeschlossen. Das ist ja die Misere.

(Zur Aufgabe selbst gibt's nicht mehr als im Startpost)

21.10.2013, 17:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von Katy93
und dann der Rundungsoperator angewandt.

Wie lautet der im "Grenzfall", d.h. z.B. dezimal 0.5 bzw. binär 0.1 auf die nächste ganze Zahl runden? verwirrt

21.10.2013, 17:39

Derive13

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Bei l-stelliger Mantisse wird abgerundet, wenn die (l+1)-te Stelle der Mantisse echt kleiner als p/2 ist, sonst wird aufgerundet.

21.10.2013, 17:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Derive13
F(p,l,m) bezeichnet die Menge der Zahlen +-0.z1z2z3z4...zl * p^e, wobei e ein m-stelliger Exponent ist und z1 ungleich 0 (vielleicht etwas salopp).

Weißt du vllt wie das gemeint ist?

Ja:

$\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ... Zahlenbasis, bei dir $\begin{eqnarray*} p=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ... Mantisse, d.h. Anzahl Ziffern für die Genauigkeit, bei dir $\begin{eqnarray*} l=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ... Exponent mit maximal $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Stellen, bei dir $\begin{eqnarray*} m=4 \end{eqnarray*}$

D.h. es geht bei dir um Binärzahlen $\begin{eqnarray*} 0{,}z_1z_2\ldots z_6 \cdot 2^e \end{eqnarray*}$

Ich rechne dir mal den Anfang für $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ aus (dürfte der schwierigste Fall hier unter deinen $\begin{eqnarray*} n\leq 6 \end{eqnarray*}$ sein):

Es ist binär

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} = \frac{3}{15} = \frac{[11]_2}{[1111]_2} = \left[ 0{,}\overline{0011} \right]_2 = \left[ 0{,}001100110011\ldots \right]_2 \end{eqnarray*}$ .

In deinem $\begin{eqnarray*} F(2,6,4) \end{eqnarray*}$ rückt man die Ziffern nach vorn, so dass die erste Nachkommastelle ungleich 0 ist, d.h. man passt den Exponent dann dazu an:

$\begin{eqnarray*} \left[ 0{,}1100110011\ldots \right]_2 \cdot 2^{-2} \end{eqnarray*}$

Jetzt auf 6 Stellen runden ergibt

$\begin{eqnarray*} x := \left[ 0{,}110011 \right]_2 \cdot 2^{-2} \end{eqnarray*}$ ,

das wäre sozusagen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ in der bestmöglichen Approximation durch dein $\begin{eqnarray*} F(2,6,4) \end{eqnarray*}$ (wobei bei negativen Exponenten $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ noch zu klären wäre, was das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ bedeutet), das ist zugleich die erste Summe $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ . Nun addieren:

$\begin{eqnarray*} S_2 = S_1 \oplus x = \left[ 0{,}110011 \right]_2 \cdot 2^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_3 = S_2 \oplus x = \left[ 0{,}100110 \right]_2 \cdot 2^0 \end{eqnarray*}$

letzteres basierend auf der binären Rechnung 1100110 + 110011 = 10011001 und Wegstreichen der letzten beiden Ziffern infolge notwendiger Rundung auf 6 Stellen.

21.10.2013, 17:58

Derive13

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Erstmal vielen Dank für diesen ausführlichen Post!

Ich bin für 1/5 selbst auch auf diesen Wert gekommen. Bisher war mein Problem, ob man schon dieses 1/5 auf 6 Stellen rundet (die Teilsummen dann nochmal) oder hier mit einem (beliebig) exakten Wert rechnet und erst die Summe selbst rundet.

Rechnen kann ich mit diesen Zahlen eigentlich; diese Spitzfindigkeit war mir einfach unklar!

Aber jetzt kann ich die Aufgabe auch lösen smile

21.10.2013, 18:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Derive13
Ich bin für 1/5 selbst auch auf diesen Wert gekommen. Bisher war mein Problem, ob man schon dieses 1/5 auf 6 Stellen rundet (die Teilsummen dann nochmal) oder hier mit einem (beliebig) exakten Wert rechnet und erst die Summe selbst rundet.

Aus der Anwendungsperspektive: Da hat man auch nicht den Operanden mit beliebiger Genauigkeit vorliegen, deswegen würde ich für erste Variante plädieren, d.h. du rechnest nicht

$\begin{eqnarray*} S_k = S_{k-1} \oplus \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

sondern

$\begin{eqnarray*} S_k = S_{k-1} \oplus \operatorname{rd}\left( \frac{1}{5} \right) \end{eqnarray*}$ .

Scheint mir die plausiblere Variante für den realen Anwendungsfall.

21.10.2013, 18:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von Derive13
Rechnen kann ich mit diesen Zahlen eigentlich;

Dann hätte ich es nicht so ausführlich gemacht. Da hast du mir mit dem hilflos klingenden

Zitat:

Original von Derive13
Weißt du vllt wie das gemeint ist?

gleich bei der Defintion von F(p,l,m) ja einen hübschen Bären aufgebunden - na egal. Augenzwinkern

21.10.2013, 20:07

Derive13

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Das tut mir Leid.

Das war auch keine mustergültige Definition, die ich nicht verstanden habe, sondern eine saloppe Formulierung dessen, was mir von dieser Menge F noch im Kopf geblieben ist!

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