Summenformel bilden

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Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
Summenformel bilden
Meine Frage:
Kann man aus folgender Gleichung eine Summenformel bilden?



Meine Ideen:


Vielen Dank im Voraus! Augenzwinkern
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst also wissen, ob

Ja, das stimmt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich interessant ist dann erst die Lösung dieser Ungleichung. Augenzwinkern
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dieser Gleichung muss ich eine vollständige Induktion ausführen.
Während des Beweises komm ich leider nicht weiter, weil ich nicht weiß, wie man folgendes am besten umwandeln kann.


Wie kann ich diese Formel so umwandeln, dass ich im Term erhalte?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man aus machen?
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenformel bilden
Zitat:
Original von Lynn2



Was ist denn genau deine Aufgabe? Denn für n=1 gilt die Ungleichung schonmal nicht. Denn

geht schonma nicht.
 
 
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenformel bilden
Aufgabe: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle natürlichen Zahlen n>1 gilt
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Dann führe doch mal die Induktion vor und frage an der stelle wo es hakt.

Fang mit n=2 als Induktionsvoraussetzung an, dann Induktionsannahme "für n gelte die Annahme" und dann Induktionsschluss zeige dass es für n+1 gilt.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Induktionsanfang: n=2 einsetzen -> stimmt
Induktionsvoraussetzung:
Induktionsbehauptung:
Beweis:
Und nun komme ich nicht weiter. Ich möchte gern umwandeln, sodass ich meine Induktionsvoraussetzung anwenden kann.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lynn2
Induktionsbehauptung:


Verstehe nicht was da steht?! Die Summe geht jetzt eben bis n+1 also:

Behauptung:

nun beachte, dass bereits nach Induktionsvoraussetzung gilt.

Edit: habe unterm Bruch (n+1) vergessen.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Das (n+1), welches der Editor direkt hinter die Summe gesetzt hat, soll über der Summe stehen.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Doch schwieriger als ich dachte smile

Aber du kannst versuchen folgende Beziehung zu nutzen:



vielleicht siehst du so einen weg die Induktionsvoraussetzung anzuwenden.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT: sorry war falsch, dieser Post
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie komm ich damit dann auch nicht weiter. unglücklich
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »









Versuche diese Abschätzung nachzuvollziehen.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Bist du dir sicher, dass man das so machen kann mit der Summenformel?

Und woher holst du folgendes? und
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast etwas falsch verstanden.

Diesen Term möchte ich so umwandeln, dass ich in der Umformung habe.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Indunktionsvoraussetzung ist:



Einfach das erste Glied der Summe auf die rechte Seite ziehen.

betrachte nun mal die einzelnen Glieder von

An den Gliedern erkennst du nun, dass



Jetzt kannst du die obere Umformung anwenden um meine Abschätzung von vorher nachzuvollziehen.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir bitte mal zeigen, wie ich das mit dem Term, den ich 10:33 gepostet habe, mache?
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ganze lässt sich übrigens recht einfach ohne Induktion zeigen.

Eine kleine Rechnung zeigt zunächst, dass für alle gilt:



Die Partialsummenfolge rechts ist offenbar streng isoton.

Also gilt für alle

Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss es jedoch mit Induktion zeigen.
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Dann beachte dabei:

Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe aber doch erst aus meinen n das n+1 gemacht und dann kann ich das doch nicht einfach über die Summe ziehen.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Du ziehst nichts irgendwo hin. Die Summen sind gleich, dass habe ich dir oben gezeigt in dem man die einzelnen summanden betrachtet.

Grautvornix hat dir jetzt sogar eine Umformung gegeben, in der deine Indunktionsvoraussetzung vorkommt. (Ist nicht viel anders als meine, eben mit einer Nullerweiterung)
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für's kurze Einmischen. Bin jetzt wieder raus.
DerJFK macht weiter!
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist seine Gleichung überhaupt richtig? Ich muss doch einmal n+1 und einmal n+2 rausziehen.
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz nebenbei:
DerJFK macht weiter, weswegen ich mich nicht einmische, aber dafür

Zitat:
Original von Grautvornix
...
Eine kleine Rechnung zeigt zunächst, dass für alle gilt:


...


hätte ich gerne einen Beweis gesehen. Augenzwinkern
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, seine Gleichung ist Richtig.

Schreibe doch mal die Summe aus. Also wie vorher schonmal:





Jetzt sortieren wir die Summanden um





Wir formen um, in dem wir uns die einzelnen Summanden anschauen und sehen wie man die Summe noch schreiben kann.

Damit siehst du auch, dass die Umformung stimmt.
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jimmyt
... aber dafür ... hätte ich gerne einen Beweis gesehen. Augenzwinkern


Voilà

jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Grautvornix
Voilà



Ok, ok, akzeptiert. smile
Danke an Grautvornix und DerJFK für die schnellen Antworten. Für mich war das nicht so offensichtlich.

Aber was ich nicht verstehe:
DerJFK hat gestern um 22:47 Uhr den kompletten I.S. schon gepostet.
So what? Wo ist das Problem?
Und dieser I.S. ist schneller zu machen als diese Umformung. Augenzwinkern

******************************************************************

Zitat:
Original von HAL 9000
Wirklich interessant ist dann erst die Lösung dieser Ungleichung. Augenzwinkern


Du hast mich neugierig gemacht. Augenzwinkern
Kleiner Tipp wie ich drauf komme?

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

@ jimmyt: Ich wollte es verstehen und nicht nur abschreiben, was JFK schreibt. Aber nun habe ich es verstanden. Danke. :-)
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