Zu zeigen Monoid/Gruppe

22.10.2013, 23:27

Matheversteher

Zu zeigen Monoid/Gruppe

Guten Abend Wink

Ich möchte für $\begin{eqnarray*} ((-1,+1),\circ) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \circ y := \frac{x+y}{1+xy} \end{eqnarray*}$ nachweisen, dass es ein Monoid bzw eine Gruppe ist.

Ich schaue zuerst ob es ein Monoid ist, dann schaue ich weiter ob es eine Gruppe ist. Denn ist das ganze kein Monoid, so ist es auch keine Gruppe. (Ist das richtig? verwirrt

)

Für eine Monoid muss gelten:

(1) - Assoziativität
$\begin{eqnarray*} \forall a,b,c \in G: ( a \circ b ) \circ c = a \circ ( b \circ c) \end{eqnarray*}$

(2) - Neutrales Element
$\begin{eqnarray*} \forall a \in G: e \circ a = a \circ e = a \end{eqnarray*}$

zu (1)

$\begin{eqnarray*} ( x \circ y ) \circ z = x \circ ( y \circ z ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \frac {x+y}{1+xy}+z + \frac {x+y}{1+xy}\cdot z = x + \frac{y+z}{1+yz}+ x \cdot \frac{y+z}{1+yz} \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} \frac{x+y+z+xz+yz+xyz}{1+xy}=\frac{x+y+z+xz+yz+xyz}{1+yz} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow 1+yz = 1+xy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow z = x \end{eqnarray*}$

Ist das so überhaupt richtig? Die Assoziativität wäre somit nur gegeben für x=z und das ganze kein Monoid.

zu (2)

$\begin{eqnarray*} e\circ x =x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \frac{e+x}{1+ex}=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e+x= x+ex^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1=x^2 \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} x=\pm 1 \end{eqnarray*}$ was aber ein Widerspruch ist, da $\begin{eqnarray*} \pm1 \end{eqnarray*}$ nicht in der Menge ist. Aber ist das richtig? Ich habe Zweifel verwirrt

Vielen Dank für eure Hilfe smile

22.10.2013, 23:35

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Denn ist das ganze kein Monoid, so ist es auch keine Gruppe.

Richtig.

Zitat:

Ist das so überhaupt richtig?

Nein. Ich hab keine Ahnung was du da überhaupt machst. Die erste Zeile ist richtig. Was die zweite Zeile damit zu tun haben soll weiß ich nicht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} e+x= x+ex^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1=x^2 \end{eqnarray*}$ -->

Du dividierst durch 0.

23.10.2013, 12:04

Matheversteher

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Zitat:

Nein. Ich hab keine Ahnung was du da überhaupt machst. Die erste Zeile ist richtig. Was die zweite Zeile damit zu tun haben soll weiß ich nicht.

Ich war der Überzeugung, dass

$\begin{eqnarray*} x\circ y := \frac{x+y}{1+xy} \end{eqnarray*}$ bekannt ist, also habe ich es für $\begin{eqnarray*} a \circ b \end{eqnarray*}$ in der Definition eingesetzt. Nun muss ich noch z damit verknüpfen. Einmal mit "+" und einmal mit "mal" . Und so komme ich auf die linke Seite des Gleichzeichens.

-->
$\begin{eqnarray*} (x\circ y) \circ z = \left( \frac{x+y}{1+xy} \right) \circ z = \left( \frac{x+y}{1+xy} \right) + z + \left( \frac{x+y}{1+xy} \right) \cdot z \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite setzt sich genauso zusammen. Nur eben, dass ich z und x vertausche, zumindest habe ich gedacht es funktioniert so.

Wie wende ich die erste Vorraussetzung richtig an?

Edit: Danke schonmal, dass du mir helfen möchtest Freude

23.10.2013, 12:24

Nofeykx

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Du solltest möglicherweise erstmal überprüfen, ob die Verknüpfung wohldefiniert ist.

23.10.2013, 13:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matheversteher
$\begin{eqnarray*} \left( \frac{x+y}{1+xy} \right) \circ z = \left( \frac{x+y}{1+xy} \right) + z + \left( \frac{x+y}{1+xy} \right) \cdot z \end{eqnarray*}$

Nein, vollkommen falsch: Es ist $\begin{eqnarray*} {\color{red}w} \circ z = \frac{{\color{red}w}+z}{1+{\color{red}w}z} \end{eqnarray*}$ und folglich auch

$\begin{eqnarray*} {\color{red}\left( \frac{x+y}{1+xy} \right)} \circ z = \frac{{\color{red}\left( \frac{x+y}{1+xy} \right)}+z}{1+{\color{red}\left( \frac{x+y}{1+xy} \right)}z} \end{eqnarray*}$ .

D.h. wirklich "einfach nur einsetzen". Was du dagegen machst, entzieht sich jeder vernünftigen Erklärung.

23.10.2013, 15:20

Matheversteher

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Hallo HAL,

ja ich habe mittlerweile auch gemerkt wo mein Fehler war.

Also für (1) habe ich

I
$\begin{eqnarray*} (x\circ y ) \circ z = \left( \frac {x+y}{1+xy} \right) \circ z = \frac{\frac{x+y}{1+xy}+z}{1+\frac{xy}{1+xy}z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{\frac{x+y+z+xyz}{1+xy}}{\frac{1+xy+xz+yz}{1+xy}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz} \end{eqnarray*}$

II
$\begin{eqnarray*} x \circ (y \circ z) = x \circ \left( \frac {y+z}{1+yz} \right) = \frac{x+\frac{y+z}{1+yz}}{1+x\frac{y+z}{1+yz}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{\frac{x+y+z+xyz}{1+yz}}{\frac{1+yz+xy+xz}{1+yz}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz} \end{eqnarray*}$

Somit ist (1) erfüllt.

Zu (2) habe ich folgende Frage: Kann ich das Neutrale Element wählen? Sprich ich behaupte e=0

Somit:

$\begin{eqnarray*} 0 \circ x =x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{0+x}{1+0x}=\frac{x}{1} = x \end{eqnarray*}$

Alternativ habe ich vorzuweisen:
$\begin{eqnarray*} \frac{e+x}{1+ex}= x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow e+x= x+ex^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow e= ex^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow 0= e \cdot (x^2-1) \end{eqnarray*}$ --> was nur erfüllt ist, wenn e=0 ist
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow 0= e \end{eqnarray*}$

Womit auch Bedingung (2) erfüllt ist und ich zumindest ein Monoid habe.
ISt das jetzt so richtig oder ist immer noch irgendwas falsch?

24.10.2013, 17:29

Matheversteher

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Könnte mir bitte jemand sagen ob das richtig ist?

24.10.2013, 17:49

Guppi12

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Edit: hier stand Blödsinn. Siehe Beitrag von Captain Kirk.

24.10.2013, 17:54

Captain Kirk

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@Guppi12:
$\begin{eqnarray*} (-1,1)=]-1,1[ \end{eqnarray*}$ ist ein Intervall und enthält -1 und 1 nicht.
$\begin{eqnarray*} (1,1)\neq \{-1,1\} \end{eqnarray*}$

@Matheversteher:
Der Rest sieht gut aus.
Wobei man durchaus die Wohldefiniertheit noch zeigen sollte.

24.10.2013, 18:01

Guppi12

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Ups, ich habe da irgendwie Mengenklammern gesehen LOL Hammer

Danke, Captain Kirk

25.10.2013, 18:22

Matheversteher

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Danke Captain! smile

Aber was beudet "Wohldefiniertheit"? Ist das sowas wie Abgeschlossenheit?

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