Eindeutige Lösbarkeit

23.10.2013, 02:08

ZitrusFrucht

Eindeutige Lösbarkeit

Beweisen Sie, dass es keinen Vektor a:= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gibts, sodass:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eindeutig lösbar ist.

Also wenn ich das ganze per Gauß, in die Zeilenstufen Form bringe, dann bleiben ja nur zwei Köpfe übrig:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gäbe es nun einen Vektor

a:= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} A\cdot x=a \end{eqnarray*}$ eindeutig lösbar wäre,

so wäre die Gleichung $\begin{eqnarray*} x_1\cdot 0 + x_2 \cdot 0 + x_3 \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ ebenfalls eindeutig lösbar, ist Sie aber nicht also gibt es einen solchen Vektor nicht.

Nur das sieht mir nicht wirklich beweis konform aus.

Reicht dies als Beweis aus ?

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, zweiten Beitrag gelöscht. Steffen

23.10.2013, 13:17

mYthos

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Lösbar kann ein Gleichungssystem sein, aber was du hingeschrieben hast, ist nur eine Matrix. Dort ist die Frage nach einer Lösbarkeit absurd.
Also sollte, wenn es um die Lösbarkeit geht, dort wenigstens eine Matrixgleichung stehen.

Wie schon so oft: Es fehlt der vollständige Aufgabentext im Original.
Hilfe ist in diesem Falle nicht oder nur begrenzt möglich.

Die Vektoren der Matrix sind übrigens linear abhängig ...

mY+

23.10.2013, 14:39

ZitrusFrucht

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Okay, also hier der Aufgabentext:

Beweisen Sie, dass es keine Vektoren $\begin{eqnarray*} a=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} 2x_1+2x_2+2x_3=a_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1+3x_2+4x_3=a_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=a_3 \end{eqnarray*}$

genau eine Lösung hat.

Ich habe das ganze dann innerhalb einer Matrix geschrieben, und wollte das per Gauß in die Zeilenstufenform bringen.

Da sieht man, dass es entweder unendlich viele oder eben garkeine Lösung gibt.

Gäbe es genau eine Lösung dann müsste ja eben $\begin{eqnarray*} x_1\cdot 0 + x_2 \cdot 0 + x_3 \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ eindeutig lösbar sein.

Die Variable $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ist allerdings frei.

Zitat:

Die Vektoren der Matrix sind übrigens linear abhängig ...

Vielen dank für den Hinweis, allerdings weiss ich nicht wirklich was das zu bedeuten hat, da wir lineare Unabhängigkeit noch nicht hatten :/

23.10.2013, 23:45

mYthos

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Ok, deine Überlegung ist im Wesentlichen richtig.
Mit der linearen Abhängigkeit ist gemeint, dass hier der 1. Zeilenvektor genau das doppelte des 3. ist*.
Dadurch entsteht bei der Anwendung von Gauß eine Nullzeile für die Koeffizienten der Variablen, wie du sie richtig geschrieben hast. In dieser Konstellation gibt es entweder unendlich viele Lösungen (wenn a1 = 2*a3 ist) oder keine (ansonsten).

Damit ist der Beweis bereits geführt.

(*) Der Rang (r) der Matrix ist kleiner als 3, r = 3 ist aber Voraussetzung für die eindeutige Lösbarkeit.

mY+

24.10.2013, 12:14

wumme

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Vielleicht hilft Dir folgendes zum Verständnis, wann es genau eine Lösung für ein Gleichungssystem gibt:

Wenn alle Zeillen der (Koeffizienten-)Matrix linear unabhängig sind, so ist die Matrix ja invertierbar. Also gibt es eine Matrix $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} AA^{-1}=I \end{eqnarray*}$ . In der Situation (und NUR dann) kannst Du das Gleichungssystem einfach umstellen:

$\begin{eqnarray*} Ax=b \Leftrightarrow x=A^{-1}b \end{eqnarray*}$

und da A und b für das Lösen des System auf jeden Fall bekannt sein müssen, kannst Du x eindeutig bestimmen.

Bezogen auf Deine Aufgabe: Das Zeile 1 und 3 linear abhängig sind, sind gerade alle Zeile lin. abh., also ist A nicht invertierbar (gleichbedeutend mit singulär bzw. nich regulär).

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