Abbildungsmatrix berechnen

23.10.2013, 14:33

Lizy

Abbildungsmatrix berechnen

Meine Frage:
Ich benötige die Abblidungsmatrix für folgende Funktion "F ist gegeben durch eine Drehung in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ im Uhrzeigersinn, so dass der Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP} = (1\,0)^T \end{eqnarray*}$ auf den Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP'} = (2/\sqrt(2)\;-2/\sqrt(2))^T \end{eqnarray*}$ abgebildet wird.

Diese benötige ich um zu bestimmen ob diese Funktion linear ist.

Meine Ideen:
Meine Idee war folgende:
$\begin{eqnarray*} A \cdot \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP'}\\ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt(2)} \\ \frac{-2}{\sqrt(2)} \end{pmatrix}\\ 1 \cdot a_{11} + 0 = \frac{2}{\sqrt(2)}\\ 1 \cdot a_{21} + 0 = \frac{-2}{\sqrt(2)}\\ a_{11} = \frac{2}{\sqrt(2)}\\ a_{21} = \frac{-2}{\sqrt(2)} \end{eqnarray*}$

Somit habe ich erst die erste Spalte der Matrix und ich weiss nicht wie ich zur zweiten Spalte der Matrix komme. Bin ich auf dem richtigen Weg oder komplett falsch?

Jede Hilfe wäre Willkommen.
Gruss Lizy

23.10.2013, 15:32

Elvis

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Der Weg ist richtig, jetzt musst du dir nur noch ansehen, wie eine Drehmatrix aussieht: http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix
Es ist ja von vornherein klar, dass es viele lineare Abbildungen gibt, die einen Vektor der Ebene auf einen anderen abbilden. Es gibt aber nur eine Drehung, die das leistet.

23.10.2013, 16:21

Lizy

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Ja denn habe ich gesehen aber das würde ja bedeuten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt(2)} \\ \frac{-2}{\sqrt(2)} \end{pmatrix}\\ 1 \cdot \cos(\alpha) + 0 = \frac{2}{\sqrt(2)}\\ 1 \cdot -\sin(\alpha) + 0 = \frac{-2}{\sqrt(2)}\\ \cos(\alpha) = \frac{2}{\sqrt(2)}\\ -\sin(\alpha) = \frac{-2}{\sqrt(2)} \end{eqnarray*}$

Und das kann nicht sein, da
$\begin{eqnarray*} \cot^{-1}(\frac{-2}{\sqrt(2)})\\ \sin^{-1}(-(\frac{-2}{\sqrt(2)}))\\ \end{eqnarray*}$
nicht definiert ist. Entweder ist das dann keine lineare Abbildung oder verstehe ich das ganze falsch?

Danke für Deine Antwort

23.10.2013, 16:54

riwe

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eventuell hast du ja bei den "gedrehten vektorkomponenten" jeweils zähler und nenner vertauscht Augenzwinkern

23.10.2013, 17:05

Lizy

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Nein hab ich nicht, genau so ist die Aufgabe geschrieben, wenn sie umgekehrt währen, dann wär klar das der winkel 45 grad beträgt und damit wäre es ja auch eine lineare Abbildung. Also entweder ist die Aufgabe falsch oder wo mache ich den Fehler?

23.10.2013, 18:13

Elvis

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Das "-"-Zeichen steht oben rechts, nicht unten links. Siehe nochmals wikipedia.

24.10.2013, 10:47

Lizy

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Danke für Deine Antwort, aber ist es im Uhrzeigersinn nicht unten links? In Wikipedia ist es doch gegen denn Uhrzeigersinn. Kannst Du mir sagen ob die Aufgabe so stimmt, da mit der Matrix und dem Vektor ( 1 0 )^T das Resultat nicht stimmen kann, oder?

24.10.2013, 18:22

Elvis

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Drehung ist Drehung, links oder rechts ist mir egal.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac 2 {\sqrt 2} & \frac 2 {\sqrt 2} \\ -\frac 2 {\sqrt 2} & \frac 2 {\sqrt 2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac 2 {\sqrt 2} \\ -\frac 2 {\sqrt 2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.10.2013, 23:21

Lizy

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Okay, das mit der Drehung habe ich kapiert, aber wieso geht dann die Umwandllung mit $\begin{eqnarray*} \cot^{-1}(\frac{2}{\sqrt{2}}) \end{eqnarray*}$ nicht? Also gibt es doch keinen Winkel der diesen Wert erzeugt oder? Sorry, das ich das nicht begreife, aber ich dachte das der arccos nur zwischen -1 und 1 definiert sei.

Kannst Du mir das begreiflich machen?
Danke bis jetzt für Deine Hilfe.

24.10.2013, 23:46

riwe

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Zitat:

Original von Lizy
Nein hab ich nicht, genau so ist die Aufgabe geschrieben, wenn sie umgekehrt währen, dann wär klar das der winkel 45 grad beträgt und damit wäre es ja auch eine lineare Abbildung. Also entweder ist die Aufgabe falsch oder wo mache ich den Fehler?

dann schau dir doch einmal die beträge der beiden Vektoren an unglücklich

25.10.2013, 10:42

Lizy

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@werner

Also der Betrag von
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$
und der Betrag von
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{2}}\\-\frac{2}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = 2 \end{eqnarray*}$
somit wäre der Vektor noch gestreckt worden, ich verstehe aber nicht was Du mir damit sagen wolltest.
Heisst das nun das die Aufgabe falsch sein muss oder das es keine lineare Abbildung ist?

Sry ich bin verwirrt

25.10.2013, 16:42

riwe

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Zitat:

Original von Lizy
@werner

Also der Betrag von
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$
und der Betrag von
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{2}}\\-\frac{2}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = 2 \end{eqnarray*}$
somit wäre der Vektor noch gestreckt worden, ich verstehe aber nicht was Du mir damit sagen wolltest.
Heisst das nun das die Aufgabe falsch sein muss oder das es keine lineare Abbildung ist?

Sry ich bin verwirrt

genau das wollte ich damit sagen: das ist keine drehung sonder eine drehstreckung (oder so).
wenn man allerdings zähler und nenner vertauscht, hat man eine drehung unglücklich

25.10.2013, 16:48

Lizy

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Okay, danke Euch für Eure Geduld und Hilfe. Gott

Ich denke ich komme somit mit der Aufgabe klar.

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