Verteilungsfunktion im engeren Sinne

23.10.2013, 18:36

SilverSelf

Verteilungsfunktion im engeren Sinne

Guten Abend,

Folgende Aufgabenstellung:
Man zeige, dass für deine Verteilungsfunktion F im engeren Sinne (ieS) auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \int \! (F(x+c)-F(x)) \, \lambda (dx) =c, \forall c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Für eine Verteilungsfunktion ieS gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } F(x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } F(x) = 1 \end{eqnarray*}$

Mir will leider kein guter Ansatz einfallen. Intuitiv hätte ich gar gesagt, dass das Integral null ergeben würde, da die Funktoon durch $\begin{eqnarray*} F(x+c) \end{eqnarray*}$ ja nur auf der x-Achse verschoben wird. Außerdem bin ich mir nicht sicher, wie man die Definition der Verteilungsfunktion ieS hier verwenden kann.

Bin für jede Hilfe dankbar!

23.10.2013, 18:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von SilverSelf
Für eine Verteilungsfunktion ieS gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } F(x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } F(x) = 1 \end{eqnarray*}$

Keine weiteren Voraussetzungen? Etwa Monotonie und Rechtsstetigkeit? verwirrt

In letzterem Fall könnte man über $\begin{eqnarray*} \mu_F((x,x+c]) = F(x+c)-F(x) \end{eqnarray*}$ sowie Fubini die Aussage nachweisen.

23.10.2013, 19:15

SilverSelf

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Zitat:

Original von HAL 9000
Keine weiteren Voraussetzungen? Etwa Monotonie und Rechtsstetigkeit?

Doch, ich meinte die obigen Definitionen zusätzlich zu den Eigenschaften der Verteilungsfunktion. Sorry, dass ich uneindeutlich war.

23.10.2013, 19:52

SilverSelf

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Ich weiß nicht wie mir der Satz von Fubini hier weiterhelfen soll... Wir haben hier ja gar keinen Produktraum.

23.10.2013, 20:39

HAL 9000

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Den kann man sich künstlich erzeugen. Ich fang mal an mit der Gleichungskette, anknüpfend an meinen letzten Beitrag: Für $\begin{eqnarray*} c\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \int (F(x+c)-F(x)) ~ \lambda(\dd x) = \int \mu_F((x,x+c]) ~ \lambda(\dd x) = \int \int 1_{(x,x+c]}(y) ~ \mu_F(\dd y) ~ \lambda(\dd x) = \ldots \end{eqnarray*}$

23.10.2013, 21:46

Kegorus

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Ich habe das gleiche Beispiel zu lösen..
Also der nächste Schritt wäre doch, die Integrale zu vertauschen und danach hat man stehen $\begin{eqnarray*} \int \! c \, µ_{F}(dy) \end{eqnarray*}$ .
Kann das stimmen?

23.10.2013, 22:49

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \int c \mu_{F}(\dd y) \end{eqnarray*}$ ist richtig. Das lässt sich natürlich noch weiter vereinfachen. Augenzwinkern

P.S.: Bitte schreibe \mu statt µ in der LaTeX-Umgebung, denn Firefox-Nutzer mussten bei dir folgendes lesen: geschockt

Zitat:

Original von Kegorus (Screenshot)
[attach]31885[/attach]

23.10.2013, 23:43

Kegorus

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Das letzte Integral (ohne hoch 5^^) sollte natürlich gleich c sein, aber mir ist nicht klar, wieso..Man integriert doch eine Konstante über den ganzen, zweiten künstlich erzeugten Raum oder? Wie kann da was endliches herauskommen?

24.10.2013, 07:42

HAL 9000

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Anscheinend hast du vergessen, dass hinter $\begin{eqnarray*} \mu_F \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ steht, es ist also

$\begin{eqnarray*} \mu_F(\mathbb{R}) = \lim_{x \to \infty } F(x) - \lim_{x \to -\infty } F(x) = 1-0 = 1 \end{eqnarray*}$ .

24.10.2013, 09:44

Kegorus

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Ich hab mir genau das überlegt, was du im letzten Beitrag geschrieben hast, mir war aber nicht klar, was mir das bringt..Aber ich glaube, ich habs jetzt verstanden: Weil
$\begin{eqnarray*} \mu_{F}(\mathbb R )=1 \end{eqnarray*}$ gilt, folgt (als Grenzen könnte man auch jedes andere Intervall mit Länge 1 nehmen):
$\begin{eqnarray*} \int_\mathbb R \! c \, \mu_{F}(dy) = \int_0^1 \! c \, dy \end{eqnarray*}$
Stimmt das so?

24.10.2013, 10:19

HAL 9000

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Die Zeile stimmt, weil auf beiden Seiten der Gleichung $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ steht - aber als Erklärung m.E. untauglich.

Ist dir denn die Beziehung zwischen Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ und zugehörigem Maß $\begin{eqnarray*} \mu_F \end{eqnarray*}$ derart ungeläufig, dass du dich so gegen die Erklärung

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \mu_F(\mathbb{R}) = \lim_{x \to \infty } F(x) - \lim_{x \to -\infty } F(x) = 1-0 = 1 \end{eqnarray*}$ .

sträubst? Es ist $\begin{eqnarray*} \mu_F((a,b]) = F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$ , und der beidseitige Grenzübergang $\begin{eqnarray*} a\to-\infty,b\to\infty \end{eqnarray*}$ liefert im Zusammenhang mit der Maßstetigkeit doch die eben nochmal zitierte Gleichung. unglücklich

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