Bijektion zwischen R und R^2?

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Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektion zwischen R und R^2?
Hi.
Ich wollte mal fragen, ob es eine bijektive Abbildung von nach gibt?
Falls nein: warum nicht? Beweis?
Falls ja: Auch von nach und damit per Induktion wohl auch von nach ?

Danke
Gruß
Philipp
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, also eine abbildung der form



ist gesucht. Dürfte schwer sein da eine Bijektive zu finden da ja die Surjektivität gewährleistet sein muss und das ist schon schwierig wenn man von einem weniger dimensionalen Raum in einen höherdimensionierten Raum abbildet.

edit mal gugn ob des so geht

Sei f eine Abbildung von R -> R², wir bilden die Quotientenmenge
Ker(f), es existiert eine surjektive Abbildung e von R -> Ker(f) des weiteren eine injektive Abbildung m von Ker(f) -> R². (Abbildungssatz)

Es gilt e o m = f

Nun meine Frage gilt auch die Umkehrung von folgendem Satz?

Sei P = S o T bijektiv

=> S surjektiv und T injektiv

Wenn die Umkehrung gelten sollte könnte man den Sachverhalt darüber beweisen. Wenn nicht wars n Schuss in Ofen.

edit 2

Die Umkehrung wird wohl im allgemeinen nicht gelten unglücklich
Um genau zu sein, sie gilt nicht. :P
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es gibt eine bijektive Abbildung wie gewünscht. Das hat die Mathematiker um 1900 herum ziemlich verblüfft. Es gibt allerdings keine solche Abbildung, die zugleich stetig ist.

Man kann I²=(0,1]×(0,1] folgendermaßen auf I=(0,1] abbilden.
Es sei (x,y) aus I². Für x,y gibt es eindeutig bestimmte nicht abbrechende Dezimalbruchdarstellungen, z.B.

x=0,3 06 007 8 9 ...
y=0,001 2 3 004 6 ...

Hierin sind die Ziffernkomplexe so abgegrenzt, daß man immer bis zur nächsten von 0 verschiedenen Ziffer geht. Jetzt werden diese Ziffernkomplexe von x,y abwechselnd hintereinandergesetzt. Man erhält so ein z aus I:

z=0,3 001 06 2 007 3 8 004 9 6 ...

Die Abbildung (x,y)->z ist die gesuchte Bijektion zwischen I² und I, denn aus dem z kann man die x,y eindeutig zurückgewinnen.

(nach Erich Kamke, Mengenlehre, de Gruyter 1971)

Wie man die Intervalle (0,1) und (0,1] bijektiv aufeinander abbildet, wurde neulich hier schon einmal erörtert (siehe Bijektion von P(N) und R). Und daß (0,1) und R sowie (0,1)×(0,1) und R² aufeinander abbildbar sind, ist bekannt.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und daß (0,1) und R sowie (0,1)×(0,1) und R² aufeinander abbildbar sind, ist bekannt


Da kam mir spontan die Frage ob es Mengen gibt auf die man nicht abbilden kann?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du kannst z.B. die leere Menge ø nicht bijektiv auf die Menge {1} abbilden. Big Laugh
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Für sowas wird immer die leere Menge missbraucht. Big Laugh
Schränkt man die Frage darauf ein das man NICHT die leere Menge verwenden darf sollte zwischen allen Mengen dann in irgendeiner Form eine Abbildung existieren?
 
 
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Leopold, das ist genau das, was ich wissen wollte.
Weißt du auch etwas zu der Zusatzfrage, also R^n -> R^{n+1}? Kann man da vielleicht direkt etwas konstruieren, indem man R^n=R^{n-1} X R und R^{n+1}=R^{n-1} X R^2 zusammen mit der Bijektion zwischen R und R^2 ausnutzt?

@Mazze:
Du meinst, auf die man nicht bijektiv abbilden kann?
Da hätten wir zum Beispiel N und R, zwischen denen gibt es keine bijektive Abbildung.

Oder auch R und P(R), also die Potenzmenge von R, bzw allgemein M und P(M), denn man kann zeigen, dass eine Abbildung von einer Menge in ihre Potenzmenge niemals surjektiv (und damit natürlich auch nicht bijektiv) sein kann.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
in irgendeiner Form


Das heißt egal wie, surjektiv, injektiv, bijektiv oder nix von den 3en.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mazze,

Was meinst du denn mit Ke(R)/f?
Und: Ist A eine beliebige Menge und B eine nichtleere Menge. Dann gibt es eine Abbildung von A nach B. A darf dabei leer sein, nur B im allgemeinen nicht. Ist aber A die leere Menge, dann darf auch B leer sein. :P



Hallo Philipp,

guck mal hier: http://matheboard.de/thread.php?threadid=4704

Liebe Grüsse,
Irrlicht
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte natürlich Ker(f). Habs verbessert

Ker(f) = {(x,y)| f(x) = f(y)} und ist Äquivalenzrelation.

Übrigens ist mir jetzt auch klar waurm die Umkehrung (oben genannt) nicht gilt, weil nämlich der Abbildungssatz für alle Abbildungen gilt und würde die Umkehurng gelten wäre jede Abbildung bijektiv :P

Ich darf also die leere Menge auf die leere Menge abbilden, brilliant :P
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Philipp-ER
Kann man da vielleicht direkt etwas konstruieren, indem man R^n=R^{n-1} X R und R^{n+1}=R^{n-1} X R^2 zusammen mit der Bijektion zwischen R und R^2 ausnutzt?


Wenn du die Bijektion zwischen R und R² irgendwie hingeschrieben hast, kannst du für den Rest doch die Identität verwenden, oder nicht?

Gruß vom Ben
MB Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir leid, aber die Sache hat einen Haken. Die Dezimaldarstellung ist für nicht rat. Zahlen nicht eindutig (Stichwort Periode 9...).
In diesem fall muss man sich noch was einfallen lassen, da die Bilder verschieden sind...
_ _
Bsp: 0,1 = 0,09 und 0,4 liefern
0,14040404... bzw. 0,049494.....

Damit wäre diese Abb nicht wohldefiniert.... traurig
Sora Auf diesen Beitrag antworten »
Wohldefiniertheit
Diese Abbildung ist sehr wohl wohldefiniert.
Es war nämlich die Rede von eindeutigen nicht abbrechenden Darstellungen.
Es gilt zwar 0.1=0.09999999..., jedoch ist die nicht abbrechende Darstellung hier eindeutig 0.099999999999, womit 0.1 und 0.4 eindeutig auf 0.0949494949494... abgebildet werden.
Sora Auf diesen Beitrag antworten »
Wohldefiniertheit
Merke - anscheinend funktioniert der Unicode-Oberstrich im Forum nicht. Schade.
Dann eben so:
Es gilt zwar , jedoch ist die nicht abbrechende Darstellung hier eindeutig , womit und eindeutig auf abgebildet werden.
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