Überprüfung Gruppe mit Matrizen

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KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Meine Frage:
Zeigen Sie, dass die Matrizen
E=(1 0)
(0 1)

I=(0 i)
(-i 0)

J=(0 1)
(-1 0)

K=(-i 0)
(0 i)

zusammen mit -E, -I, -J, -K bezüglich der üblichen Multiplikation komplexer Zahlen und der üblichen Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.
Ist diese Gruppe kommutativ?

Meine Ideen:
Ich muss überprüfen, ob es ein neutrales Element und ein inverses Element exisert. Dazu muss ich ein Element der Gruppe definieren. Doch wie sieht ein Element meiner Gruppe aus?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Zitat:
Original von KeineAhnung12
Ich muss überprüfen, ob es ein neutrales Element und ein inverses Element exisert.

Was soll das heißen, dass "ein inverses Element existiert"?

Zitat:
Dazu muss ich ein Element der Gruppe definieren.

Nein, die acht Elemente sind vorgegeben. Du sollst zeigen, dass diese achtelementige Menge mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung eine Gruppe bildet.

Zitat:
Doch wie sieht ein Element meiner Gruppe aus?

Die sind allesamt in der Aufgabenstellung genannt. Wobei du die gegebene Menge aber noch nicht als Gruppe bezeichnen solltest.
KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Also verstehe ich das richtig, dass ich zeigen muss, dass
E*E=E, I*E=I, J*E=J, K*E=K E=Einheitsmatrix
und
E-E=O, I-I=O, J-J=O, K-K=O O=Nullmatrix

gilt?

Wenn dies falsch ist, dann weiß ich immer noch nicht wie die Aufgabe zu lösen ist unglücklich
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Zitat:
Original von KeineAhnung12
Also verstehe ich das richtig, dass ich zeigen muss, dass
E*E=E, I*E=I, J*E=J, K*E=K E=Einheitsmatrix

Ja, die Aussagen brauchst du.

Zitat:
und
E-E=O, I-I=O, J-J=O, K-K=O O=Nullmatrix

gilt?

Wozu sollte das gut sein?

Schreibe aber als erstes mal auf, um welche Menge es geht.
KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Meine Menge ist {E; I; J; K; -E; -I; -J; -K}

Ich habe gelernt, wenn man überprüfen soll, ob eine Menge eine Gruppe ist, dass ein neutrales Element existieren muss und zu jedem Element ein inverses Element.

Was muss ich jetzt tun?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Zitat:
Original von KeineAhnung12
Meine Menge ist {E; I; J; K; -E; -I; -J; -K}

Genau. Nennen wir die Menge mal .

Zitat:
Ich habe gelernt, wenn man überprüfen soll, ob eine Menge eine Gruppe ist, dass ein neutrales Element existieren muss und zu jedem Element ein inverses Element.

Die Formulierung klingt ja schon viel besser. Aber was sollen denn neutrales und inverses Element sein? Dazu brauchst du irgendeine Verknüpfung auf . Diese soll die Matrixmultiplikation sein. Aber ist das Produkt zweier Matrizen aus wirklich immer in ?
 
 
KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
um dies zu überprüfuen könnte ich ja alle Matrizen miteinander mutiplizieren und dann schauen, ob die einzelnen Ergebnisse wieder in H liegen, oder?
KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Das sind ja 64 Rechnungen?! Geht das auch anderst?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Es gibt ein paar Abkürzungen.
Z.B. brauchst du nur Produkte der ersten vier Elemente , , und zu berechnen, denn ist abgeschlossen unter Vorzeichenwechsel.
KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Also ich habe jetzt:
E*E; I*E; J*E; K*E;

E*I; I*I; J*I; K*I;

E*J; I*J; J*J; K*J;

E*K; I*K; J*K; K*K;

errechnet und für all diese Multiplikation ist das Ergebnis in H enthalten.
Da du meintest, dass H abgeschlossen unter Vorzeichenwechsel ist, habe ich die anderen Kombinationen nicht errechnet.

Die Gruppe ist nicht kommutativ, da z.B. K*J = J und J*K= -J

Habe ich jetzt schon die Aufgabe gelöst?
KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Warum ist H abgeschlossen unter Vorzeichenwechsel? Was bedeutet das?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Zitat:
Original von KeineAhnung12
Warum ist H abgeschlossen unter Vorzeichenwechsel? Was bedeutet das?

Wenn eine Matrix in enthalten ist, dann auch .
Naja, jedenfalls hast du jetzt gezeigt, dass die Matrixmultiplikation wirklich eine sinnvolle Verknüpfung auf ist.
Wie sieht es mit neutralem und inversen Elementen aus?
KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Ja das neutrale Element ist ja die Einheitsmatrix, welche auch in E enthalten ist.
Die jeweiligen Inversen Elemente sind -E, -I, -J, -K bzw. E, I, J, K.
Jedoch ist E-E=O und die Nullmatrix ist ja nicht in H.
Oder ist die Nullmatrix in jeder Matrix vorhanden?
Somit gäbe es Neutralelement und Inverse Element und die Menge wäre folglich eine Gruppe, oder?
KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
ich meine natürlich:

Ja das neutrale Element ist ja die Einheitsmatrix, welche auch in H enthalten ist.
KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
ich meine:

Oder ist die Nullmatrix in jeder GRUPPE vorhanden?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Zitat:
Original von KeineAhnung12
Die jeweiligen Inversen Elemente sind -E, -I, -J, -K bzw. E, I, J, K.

Wieso?

Zitat:
Jedoch ist E-E=O und die Nullmatrix ist ja nicht in H.

Na und?

Zitat:
Oder ist die Nullmatrix in jeder GRUPPE vorhanden?

Natürlich nicht. Die Symmetriegruppen enthalten ja auch keinerlei Matrizen.
KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Jetzt verstehe ich gar nichts mehr :'(
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Versuch doch einfach mal, deine Behauptung über die inversen Elemente zu begründen oder zu erläutern, wieso es ein Problem sein sollte, dass die Nullmatrix nicht enthält.
KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Also ich habe jetzt herausgefunden, dass
E das inverse Elment von E ist,
-I das inverse Elment von I ist,
-J das inverse Elment von J ist,
-K das inverse Elment von K ist.

Muss ich jetzt auch noch für -E, -I, -J, -K das inverse Elment errechnen oder kann ich mich da wieder darauf beziehen, dass H unter Vorzeichenwechsel abgeschlossen ist?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Zitat:
Original von KeineAhnung12
Also ich habe jetzt herausgefunden, dass
E das inverse Elment von E ist,
-I das inverse Elment von I ist,
-J das inverse Elment von J ist,
-K das inverse Elment von K ist.

Gut; auf die erste Zeile hättest du aber verzichten können – das inverse Element des neutralen Elements ist ja uninteressant.

Zitat:
Muss ich jetzt auch noch für -E, -I, -J, -K das inverse Elment errechnen

Du brauchst nur noch das inverse Element von anzugeben. Überleg dir auch, wieso.
KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Ich würde sagen, da
I*-I = I* (-1)*I = (-1)*I*I=-I*I gilt,
(folglich auch für -J und -K) muss man nur noch für -E das inverse Element berechnen.

Habe ich dann nun die Aufgabe gelöst? Oder muss man sonst noch etwas beweisen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Naja, wenn ein Element das inverse Element hat, dann weiß man schon, dass das inverse Element zu ist.

Ob die Aufgabe nun vollständig gelöst ist, solltest du selbst wissen. Welchen Anforderungen muss eine Gruppe genügen und welche davon hast du überprüft?
KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Laut Wikipedia soll noch die Assoziativität für alle Gruppenelemente gelten. Dies habe ich jedoch noch nicht geprüft.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Statt Wikipedia hättest du lieber deine Unterlagen befragen sollen Augenzwinkern

Und was lässt sich über die Assoziativität sagen?
KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Die Matrizenmultiplikation ist immer assoziativ.
Also giltet diese Bedingung auch für die Menge H.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Genau.
KeineAhnung12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Vielen Dank für deine Hilfe!!!
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