Polynome mit Koeffizienten

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26.10.2013, 14:23	TaA_9	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome mit Koeffizienten hi ich habe hier eine Aufgabe und weiss nicht wie ich anfangen soll. Sei K ein Körper und K[t] die Menge von Polynomen mit Koeffizienten in K. Wir definieren der Grad deg(f) von einem Polynom f= $\begin{eqnarray} a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+...+a_{n}t^{n} \end{eqnarray}$ in K wie folgt: deg(f)= - $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ falls f=0 max{k $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ \| $\begin{eqnarray} a_{k} \neq \end{eqnarray}$ 0} sonst Für jedes d $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ definiert man $\begin{eqnarray} K[t]_{d} \end{eqnarray}$ = {f $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ K[t] \| deg(f) $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ d} Aufgabe: Ist $\begin{eqnarray} K[t]_{d} \end{eqnarray*}$ ein K-Unterraum von K[t]?
26.10.2013, 14:34	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome mit Koeffizienten Magst du ein bisschen präzisieren, wo es hängt? Du musst ja nur die Unterraumkriterien abarbeiten. Wie lauten die denn? Und dann 1 zu 1 anwenden.
26.10.2013, 15:33	TaA_9	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome mit Koeffizienten also zuerst einmal kann ich mit der definition von deg nichts anfangen. also ich verstehe nicht was das bedeuetet. andererseit ich weiss wie die kriterien lautet für ein unterraum, aber präzise hier in dieser aufgabe weiss icht nicht wie man es anwendet die kriterien für ein unterraum lautet: 1. 0 liegt in W 2. x+y liegt in W 3. lambda mal x liegt in W
26.10.2013, 15:37	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome mit Koeffizienten Deg ist einfach nur der Grad des Polynoms. Genau so, wie du das auch in der Schule gelernt hast. $\begin{eqnarray} f(x)=4x^3+5x^2-x+6 \end{eqnarray}$ zum Beispiel hat Grad 3 (höchste vorkommende Potenz von x). Das ist eigentlich nichts neues für dich. Und im Sonderfall, dass f das Nullpolynom ist, setzt man einfach den Grad als minus unendlich. Und hier ist nun gefragt, ob die Menge der Polynom vom Grad kleinergleich d eben einen Unterraum des Vektorraums aller Polynome darstellt. Und jetzt die drei Kriterien ganz stur abarbeiten. Das ist viel einfacher, als du im Moment offenbar denkst.
26.10.2013, 15:51	TaA_9	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome mit Koeffizienten ok. und was ist denn mein d? irgendeine Zahl oder als was kann ich es ansehen? und vielen dank für die schnelle Antwort !!
26.10.2013, 16:24	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome mit Koeffizienten d ist einfach irgendeine natürliche Zahl. Welche, wird nicht genau festgelegt, aber das ist auch gar nicht nötig. Man könnte beispielsweise wohl d=2 setzen, aber hier soll man's eben allgemein machen. Ist ja auch viel sinnvoller, weil man es dann gleich für alle natürlichen Zahlen bewiesen hat und nicht nur für eine einzige Zahl.
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26.10.2013, 16:44	TaA_9	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome mit Koeffizienten manchmal geht es mit zahlen einfacher etwas zu verstehen (: ok danke. ich probiers mal wenn ich noch frage habe, werde ich morgen schreiben !
27.10.2013, 12:02	TaA_9	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome mit Koeffizienten Ich komme doch nicht ganz weiter. Das erste Kriterium ging aber der das zweite und dritte nicht mehr Ich habe mir überlegt ich definiere x:= $\begin{eqnarray} a_{0}+a_{1}t+...+a{n}t^{n} und y:=b_{0}+b_{1}t+...+b_{m}t^{m} \end{eqnarray}$ dann rechne ich x+y zusammen und erhalte drei verschiedene Fälle 1. n = m 2. n < m 3. n > m Dann weiss ich ok, x+y sind in K[t] aber sie müssen in $\begin{eqnarray} K[t]_{d} \end{eqnarray}$ sein wenn gilt $\begin{eqnarray} deg(f)\leq d \end{eqnarray}$ wie zeige ich das, dass mit dem deg(f) ??
27.10.2013, 13:00	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome mit Koeffizienten Du nimmst dir zwei Polynom, die in K[t]_d liegen und willst zeigen, dass die Summe auch in K[t]_d liegt. Wenn die beiden Polynome Grad kleinergleich d haben (sonst lägen sie ja nicht in K[t]_d), wie soll die Summe denn dann plötzlich einen größeren Grad haben? Wo soll die höhere Potenz von t denn herkommen? Ist doch überhaupt nicht möglich. Wie gesagt: Das im Grunde alles aus der Schule bekannt, also denk nicht so kompliziert. Du musst es nur sauber aufschreiben, "beweisen" oder rechnen muss man da eigentlich rein gar nichts. Es ist auch nicht nötig, da mit zig Fallunterscheidungen ranzugehen. Schreib dir die Polynome einfach als $\begin{eqnarray} f(t) = \sum_{i=0}^d a_it^i \quad , \quad g(t) = \sum_{i=0}^d b_it^i \end{eqnarray}$ So ist der Grad doch kleinergleich d bei beiden Polynomen. Auch der Fall, dass der Grad kleiner als d ist, ist hier mit drin, denn es wird ja nirgends verlangt, dass die $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ ungleich 0 sind. Und jetzt schreib die Summe dieser beiden Polynome hin und fertig. Das dritte Kriterium ist genau so zu bewerkstelligen.
27.10.2013, 13:44	TaA_9	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome mit Koeffizienten ok, kann sein, dass ich wirklich zu kompliziert denke aber dann habe ich nur noch eine Frage du hast geschrieben nach den beiden Summen: So ist der Grad doch kleinergleich d bei beiden Polynomen warum ist es kleiner gleich? Leider sehe ich es nicht allgemein.
27.10.2013, 13:54	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome mit Koeffizienten Weil der Laufindex nur bis d geht. $\begin{eqnarray} f(t) = \sum_{i=0}^d a_it^i = a_0+a_1t + ...+a_dt^d \end{eqnarray}$ Ist dir die Summenschreibweise denn nicht vertraut?
27.10.2013, 15:07	TaA_9	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome mit Koeffizienten Doch doch. Ich hab mich eher gefragt wie du auf das kommst...

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