Erzeugendensystem

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Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem
Meine Frage:
Seien und V ein R-Vektorraum mit Erzeugendensystem . Finden Sie den grössten möglichen Wert von dim(V) (als Funktion von n) unter der Annahme, dass das Paar linear abhängig ist für jedes

Meine Ideen:
Ich habe also n Vektoren und zwei davon sind linear abhängig.
Dh. Wenn ich nun ein Vektor davon weglasse, hab ich noch n-1 Vektoren. Diese sind linear unabhängig. Daher ist der grösstmögliche Wert der Dimension von V gleich n-1.

Ich bin mir ziemlich unsicher. Vorallem "als Funktion von n" verwirrt mich etwas.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht zwei der Vektoren sind linear abhängig. Sondern sind linear abhängig.
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nicht zwei der Vektoren sind linear abhängig. Sondern sind linear abhängig.

sowas dachte ich mir schon. Verwirrend, dass es in der Aufgabe "das Paar" heisst.

Dann müsste aber die maximale Dimension von V gleich sein. Weil ja immer zwei Vektoren linear abhängig sind.
aber was, wenn n nicht gerade ist verwirrt
Wie muss ich hier vorgehen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst zuerst nur den geraden Fall behandeln.

In der Tat ist die maximale Dimension dann .

Am leichtest zeigt man dies, in dem man die Erzeuger in Paare aufteilt.

Nach Vorraussetzung gibt es hier zu jedem Paar einen einzelnen Erzeuger .

Den ungeraden Fall löst du dann wie folgt:

Nimm den letzten Vektor weg, dann bist du im geraden Fall. Weil dann noch ein Vektor dazu kommt, kann die Dimension halt noch mal eins mehr sein.

Wichtig ist danach aber auch noch, dass du diese maximalen Fälle wirklich konstruierst, d.h. zeigst, dass sie tatsächlich angenommen werden (Das ist ohne die richtige Idee nämlich gar net so einfach. Mit der richtigen Idee jedoch trivial Augenzwinkern ).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nun nicht mehr ... mir fehlt die Idee ... ich dachte und die Dimension von V wäre dann 1.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Lineare Abhängigkeit zwischen zwei Vektoren besteht auch, wenn einer der Nullvektor ist, etwa im die Vektoren



Sie erzeugen einen zweidimensionalen Raum.
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
(Das ist ohne die richtige Idee nämlich gar net so einfach. Mit der richtigen Idee jedoch trivial Augenzwinkern ).


Genau das mit dem Nullvektor meinte ich damit smile
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komm auch nicht ganz mit.

Zitat:
Weil dann noch ein Vektor dazu kommt, kann die Dimension halt noch mal eins mehr sein.


Es kommt nochmal ein Vektor dazu, weil wir den ungeraden Fall betrachten, oder? Aber warum kann die Dimension dann noch grösser werden?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold
Vielen Dank, das ist ein sehr schönes Beispiel, und verstanden habe ich es nun auch.
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