Komission Abstimmung

27.10.2013, 00:29

Emili

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Komission Abstimmung

Meine Frage:
Gutes Nächtle. Wir schlafen eine Std länger also kann man bisschen mehr lernen :P. In einer vierzehnköpfigen Kommission kommt es zu einer Abstimmung. Auf wie viele Arten kann sich eine Mehrheit (mindestens acht Personen) zusammensetzen?

Tipp: Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}=2^n \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wir haben 14 Personen; die Mehrheit bilden 8 Personen

Die Möglichkeit für Person 1 ist 1 zu 14, für die restlichen doch genauso?

Ich kann den Tipp nicht wirklich verarbeiten/verwenden, weil ich nicht weiß was für eine Aussage er enthält? Wie der Binomialkoeffizient funktioniert weiß ich, nur was ist der Aussagewert von ihm?

Ich wüsste auch nicht wie ich das mit Mengen machen soll? Ich habe ja 14 Personen, dass wäre die "Grundmenge" und 8 davon werden ja zur Mehrheit gewählt. Ich habe keine weitere Ideen, wenn man das was ich hier fabriziert habe überhaupt Ideen nennen darf.

Danke euch schon mal.

Emili

27.10.2013, 00:50

10001000Nick1

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Um eine Mehrheit zu bilden, braucht man dazu entweder 8 von 14 oder 9 von 14 oder ... oder 14 von 14 Leuten.
Wieviel Möglichkeiten gibt es, 8 aus 14 Personen auszuwählen? Und wieviele, um 9 aus 14 auszuwählen? ... Und wie viele, um 14 aus 14 auszuwählen?
Die einzelnen Anzahlen dann addieren.

Übrigens: Ist diese Zeit nicht an einem Samstagabend ganz normal, um zu lernen; auch ohne Zeitumstellung? Big Laugh

Big Laugh

27.10.2013, 01:04

Emili

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Um eine Mehrheit zu bilden, braucht man dazu entweder 8 von 14 oder 9 von 14 oder ... oder 14 von 14 Leuten.
Wieviel Möglichkeiten gibt es, 8 aus 14 Personen auszuwählen? Und wieviele, um 9 aus 14 auszuwählen? ... Und wie viele, um 14 aus 14 auszuwählen?
Die einzelnen Anzahlen dann addieren.

Das klingt irgendwie seltsam. 8 von 14 oder 9 von 14... oder 14 von 14 hö verwirrt

verwirrt

Verstehen tun, tue ich auch nicht wieso. Ah also darf auch eine Mehrheit 8+ Personen sein? Ahso ja jetzt leuchtet es ein.

Wie viele Möglichkeiten 8 aus 14 Personen auszuwählen? 8 über 14? usw. Und das dann addieren?

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Übrigens: Ist diese Zeit nicht an einem Samstagabend ganz normal, um zu lernen; auch ohne Zeitumstellung? Big Laugh

Big Laugh

Naja für die heutige "normale" Jugend wäre um diese Uhrzeit Alkohol und Diskothek angesagt. Prost

Prost

Big Laugh

27.10.2013, 01:11

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Emili
Wie viele Möglichkeiten 8 aus 14 Personen auszuwählen? 8 über 14?

Fast. 14 über 8 trifft es schon eher. Also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}14\\8\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Emili
Naja für die heutige "normale" Jugend wäre um diese Uhrzeit Alkohol und Diskothek angesagt. Prost

Prost

Big Laugh

Was hast du denn für ein Bild von der "heutigen Jugend"? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich fang um diese Zeit meistens an mit meinen Übungsaufgaben für die Uni. Na gut, jetzt frag mal die heutige Jugend, ob sie Mathestudenten als "normale" Leute bezeichnen würden. Für viele Leute sind das alles Mathefreaks, die in ihrer eigenen (Zahlen-)Welt leben (für manche mag das vielleicht sogar zutreffen). smile

smile

27.10.2013, 01:27

Emili

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von Emili
Wie viele Möglichkeiten 8 aus 14 Personen auszuwählen? 8 über 14?

Fast. 14 über 8 trifft es schon eher. Also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}14\\8\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}14\\8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}14\\9\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}14\\10\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}14\\11\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}14\\12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}14\\13\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}14\\14\end{pmatrix}=3003+2002+1001+364+91+14+1=6476 \end{eqnarray*}$

Das wär's schon? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von Emili
Naja für die heutige "normale" Jugend wäre um diese Uhrzeit Alkohol und Diskothek angesagt. Prost

Prost

Big Laugh

Was hast du denn für ein Bild von der "heutigen Jugend"? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich fang um diese Zeit meistens an mit meinen Übungsaufgaben für die Uni. Na gut, jetzt frag mal die heutige Jugend, ob sie Mathestudenten als "normale" Leute bezeichnen würden. Für viele Leute sind das alles Mathefreaks, die in ihrer eigenen (Zahlen-)Welt leben (für manche mag das vielleicht sogar zutreffen). smile

smile

Joa das Bild der heutigen Jugend ist nicht allzu variabel Big Laugh

Big Laugh

Was ist heute schon normal, Menschen töten Menschen, Menschen nerven Menschen, aber zum Glück helfen Menschen auch anderen Menschen, was mir noch Hoffnung macht Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2013, 01:30

10001000Nick1

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Ich würde denken, dass es das war.
Was mich aber etwas stutzig macht, ist der Tipp in deinem ersten Post. Den haben wir ja gar nicht gebraucht, und ich wüsste auch nicht, was man damit machen soll. verwirrt

verwirrt

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27.10.2013, 01:37

Emili

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Hm. Joa ich frage mich da auf, die anderen Aufgaben waren kniffliger und für weniger Punkte, da ist ein Haken an der Sache wohl verwirrt

verwirrt

Habe gerade herumprobiert wie ich mit dem Tipp auf das Ergebnis kommen soll, aber erfolglos.

27.10.2013, 01:41

10001000Nick1

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Vielleicht mache ich auch gerade einen Denkfehler.

27.10.2013, 01:44

Emili

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Theoretisch, bzw. 100%tig kann ich alles von 14 über 0 bis 14 über 14 berechnen und dann davon von 14 über 0 bis 14 über 7 abziehen und dann komme ich auf das Ergebnis.

Würde dann Gebrauch von dem Tipp machen.

27.10.2013, 08:24

Huggy

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Wenn man beachtet

$\begin{eqnarray*} \binom n k= \binom n {n-k} \end{eqnarray*}$

kann man zusammen mit dem Tip

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=8}^{14} \binom {14} k \end{eqnarray*}$

berechnen, indem man nur einen Binomialkoeffizienten bestimmt.

27.10.2013, 09:00

Emili

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Zitat:

Original von Emili
Theoretisch, bzw. 100%tig kann ich alles von 14 über 0 bis 14 über 14 berechnen und dann davon von 14 über 0 bis 14 über 7 abziehen und dann komme ich auf das Ergebnis.

Das ich doch was ich meinte, richtig?

Zitat:

Original von Huggy
Wenn man beachtet

$\begin{eqnarray*} \binom n k= \binom n {n-k} \end{eqnarray*}$

kann man zusammen mit dem Tip

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=8}^{14} \binom {14} k \end{eqnarray*}$

berechnen, indem man nur einen Binomialkoeffizienten bestimmt.

Das ist die mathematische Form meiner in dem Zitat erwähnten Idee, richtig?

27.10.2013, 09:48

Huggy

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Noch nicht ganz. Bei deiner Form müsstest du ja noch immer 8 Binomialkoeffizienten berechnen, nämlich

$\begin{eqnarray*} \binom {14} k \end{eqnarray*}$

für k von 0 bis 7. Aber dieser Gedanke sollte dich auf die richtige Idee bringen.

27.10.2013, 09:52

Leopold

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Richtig schon, aber nicht vollständig, da du die von Huggy angesprochene Symmetrie nicht ausgenützt hast:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{{{14} \choose 0} + {{14} \choose 1} + \ldots + {{14} \choose 6}}_s + {{14} \choose 7} + \underbrace{{{14} \choose 8} + {{14} \choose 9} + \ldots + {{14} \choose {14}}}_s = 2^{14} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2s + {{14} \choose 7} = 2^{14} \end{eqnarray*}$

Zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ muß man daher nur einen Binomialkoeffizienten berechnen.

28.10.2013, 01:33

Emili

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Ich verstehe jetzt nicht mehr was die Lösung sein soll verwirrt

verwirrt

28.10.2013, 01:36

Emili

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Zitat:

Original von Emili
Also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}14\\8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}14\\9\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}14\\10\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}14\\11\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}14\\12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}14\\13\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}14\\14\end{pmatrix}=3003+2002+1001+364+91+14+1=6476 \end{eqnarray*}$

Ist jetzt falsch?

28.10.2013, 08:24

Huggy

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Ach Gott, das ist nicht falsch. Es ist aber nicht die gesuchte Lösung. Leopold hat es doch schon ausführlich hingeschrieben. Es sei

$\begin{eqnarray*} s=\sum_{k=8}^{14} \binom {14} k \end{eqnarray*}$

die gesuchte Zahl der Möglichkeiten. Wegen

$\begin{eqnarray*} \binom n k = \binom n {n-k} \end{eqnarray*}$

gilt

$\begin{eqnarray*} \binom {14} 0 = \binom {14} {14} \quad \binom {14} 1 = \binom {14} {13} \end{eqnarray*}$ usw.

Also ist

$\begin{eqnarray*} s=\sum_{k=8}^{14} \binom {14} k = \sum_{k=0}^{6} \binom {14} k \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} 2^{14}= \sum_{k=0}^{14} \binom {14} k =\sum_{k=0}^{6} \binom {14} k +\binom {14} 7 +\sum_{k=8}^{14} \binom {14} k =s +\binom {14} 7 +s \end{eqnarray*}$

Und aus dieser schon bei Leopold stehenden Gleichung kann das gesuchte s berechnet werden. Dazu muss man neben $\begin{eqnarray*} 2^{14} \end{eqnarray*}$ nur den einen Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray*} \binom {14} 7 \end{eqnarray*}$ berechnen.

28.10.2013, 10:19

Emili

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Zitat:

Original von Huggy
Also ist
$\begin{eqnarray*} s=\sum_{k=8}^{14} \binom {14} k = \sum_{k=0}^{7} \binom {14} k \end{eqnarray*}$

Bei der Berechnung beider Summen kommt nicht das Gleiche heraus es müsste bei der zweiten Summe nur bis 6 summiert werden. verwirrt

verwirrt

Ich verstehe jedoch bei der ganzen Sache nicht was das konkret mit der Bestimmung der Möglichkeiten eine Mehrheit zu bilden zu tun hat?

Es ist doch 6476 die Lösung.

$\begin{eqnarray*} s+\binom{14{7}+s=2^{14} \end{eqnarray*}$ die Gleichheit verstehe ich ja, nur das ist nicht die Endlösung, sondern da kommt meine Lösung als s vor?

Ich müsste also nach s umstellen dann hätte ich die Lösung?

28.10.2013, 10:39

Huggy

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Zitat:

Original von Emili

Zitat:

Original von Huggy
Also ist
$\begin{eqnarray*} s=\sum_{k=8}^{14} \binom {14} k = \sum_{k=0}^{7} \binom {14} k \end{eqnarray*}$

Bei der Berechnung beider Summen kommt nicht das Gleiche heraus es müsste bei der zweiten Summe nur bis 6 summiert werden. verwirrt

verwirrt

Richtig bemerkt. Schreibfehler von mir. Habe das in meiner vorigen Antwort korrigiert.

Zitat:

Ich verstehe jedoch bei der ganzen Sache nicht was das konkret mit der Bestimmung der Möglichkeiten eine Mehrheit zu bilden zu tun hat?

Na, du hast doch schon früh festgestellt, dass s die Antwort ist. Jetzt geht es nur noch darum, s mittels des Tips zu bestimmen, ohne die einzelnen Binomialkoeffizienten alle zu berechnen.

Zitat:

Ich müsste also nach s umstellen dann hätte ich die Lösung?

Ja!

28.10.2013, 10:54

Emili

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Alles klar. Dann danke ich euch mal ganz herzlich und schönen Tag noch Freude

Freude

28.10.2013, 10:55

Leopold

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$\begin{eqnarray*} 2s + {{14} \choose 7} = 2^{14} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s = 2^{13} - \frac{1}{2} \cdot {{14} \choose 7} = 2^{13} - \frac{1}{\color{red} 2} \cdot \frac{\color{red} 14 \color{black} \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot \color{blue} 10 \cdot 9 \color{black} \cdot \color{green} 8}{\color{red} 7 \color{black} \cdot \color{blue} 6 \cdot 5 \color{black} \cdot \color{green} 4 \color{black} \cdot \color{blue} 3 \color{black} \cdot \color{green} 2} = 2^{13} - 13 \cdot 12 \cdot 11 = 8192 - 1716 =6476 \end{eqnarray*}$

Nur mit Papier und Bleistift.

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