Metrische Räume

02.03.2007, 13:04

pelzor

Metrische Räume

Hi,

wir lernen gerade fürs Vordiplom "Mathe für Physiker" und sind auf folgenden Satz gestossen:

In jedem metrischen Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ (die leere Menge) und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, denn ihre Komplemente $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sind offen.

Also für mich macht dieser Satz überhaupt keinen Sinn. Das wiederspricht sich doch gegenseitig!?!

Danke und Gruss Pelle

02.03.2007, 22:56

Abakus

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RE: Metrische Räume

Zitat:

Original von pelzor
Also für mich macht dieser Satz überhaupt keinen Sinn. Das wiederspricht sich doch gegenseitig!?!

Wo genau siehst du den Widerspruch ? Eine Menge kann doch durchaus mehrere Eigenschaften haben.

Grüße Abakus smile

05.03.2007, 12:44

pelzor

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RE: Metrische Räume
Also für mich sagt dieser Satz aus, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ in jedem metrischen Raum immer offen und geschlossen sind! Wenn das richtig ist, hab ich kein Problem mit dem Satz.

Ich wäre zufriedener wenn der Satz so wäre:
In jedem metrischen Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ (die leere Menge) bzw. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, denn ihre Komplemente $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sind offen.

05.03.2007, 13:45

WebFritzi

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RE: Metrische Räume

Zitat:

Original von pelzor
Also für mich sagt dieser Satz aus, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ in jedem metrischen Raum immer offen und geschlossen sind! Wenn das richtig ist, hab ich kein Problem mit dem Satz.

Ja, das ist richtig, außer, dass es abgeschlossen heißt.

Zitat:

Original von pelzor
Ich wäre zufriedener wenn der Satz so wäre:
In jedem metrischen Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ (die leere Menge) bzw. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, denn ihre Komplemente $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sind offen.

Hmmm, und wo ist da jetzt der Unterschied?

05.03.2007, 14:59

pelzor

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RE: Metrische Räume

Zitat:

Ja, das ist richtig, außer, dass es abgeschlossen heißt.

Hmm dann sind also $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ (leere Menge) und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (ganzer metrischer Raum) immer abgeschlossen und offen zugleich, wirklich? Ich meine abgeschlossen ist doch das Gegenteil von offen, und meine beiden Mengen hier sind beides!?! Und was hab ich von dieser Aussage? unglücklich

Naja und wenns so wäre, macht es den Satz auch nicht Logischer, weil er ja eben besagt das $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ offen ist, weil $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ geschlossen ist, und umgekehrt!

Zitat:

Hmmm, und wo ist da jetzt der Unterschied?

Der Unterschied ist das "bzw.", wo vorher ein "und" stand.

Hmm ich kann das auch nich viel besser erklären, aber ich kann auch nich verstehen wie man den Wiederspruch nich sehen kann...

05.03.2007, 16:31

phi

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Angenommen X=IR, wobei IR:=(-oo, +oo). Abgeschlossen heißt, das die Ränder mit dazu gehören. Die Ränder des uneigentlichen Intervalls IR liegen aber im unendlichen, d.h. einerseits werden +/- Unendlich zu X=IR dazugezählt(abgeschlossen) , andererseits sind +/- Unendlich an sich aber offen, da man immer noch 1 addieren bzw. subtrahieren kann.

Schau dir mal die präzisen Definitionen von abg./offen an (mit den epsilon-Bällchen und so), dann wird' klarer.

mfg, phi Augenzwinkern

05.03.2007, 18:28

pelzor

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Hmmm ich bin immer noch nicht zufrieden! Hammer

Jede Teilmenge eines metrischen Raumes ist ja wieder ein metrischer Raum (mit der entsprechenden Metrik). Also wähle ich meinen metrischen Raum X=I, wobei I $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ IR und I:=[0, 1]. Dann ist ganz $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ schonmal abgeschlossen.

Die leere Menge $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist offen da es keinen Punkt gibt, zu dem es eine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung geben müsste.

---bis hier ist alles gut und schön! Jetzt das Problemkind:

"In jedem metrischen Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ (die leere Menge) und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ abgeschlossen,..."

---Nanu, ich dachte $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ wär offen... (s.o.)

Wenn $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ also abgeschlossen ist muss sein komplement offen sein. X=I, wobei I:=[0,1], wär also offen da $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.

---Hmm scheint für mich als wenn dann jeder metrische Raum offen und abgeschlossen sein muss. (ich weiss (hoffe), dass das nicht stimmt)

Ich hab hier irrgendwie nen Knoten im Kopf! unglücklich

Was mach ich Falsch?
-Müsste es vllt. heissen: "In jedem metrischen Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ (die leere Menge) -->>bzw.<<-- $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ abgeschlossen,..."

05.03.2007, 18:33

WebFritzi

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Zitat:

Original von phi
Angenommen X=IR, wobei IR:=(-oo, +oo). Abgeschlossen heißt, das die Ränder mit dazu gehören. Die Ränder des uneigentlichen Intervalls IR liegen aber im unendlichen, d.h. einerseits werden +/- Unendlich zu X=IR dazugezählt(abgeschlossen)

So ein Blödsinn...

05.03.2007, 18:44

Abakus

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Zitat:

Original von pelzor
---bis hier ist alles gut und schön! Jetzt das Problemkind:

"In jedem metrischen Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ (die leere Menge) und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ abgeschlossen,..."

---Nanu, ich dachte $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ wär offen... (s.o.)

Wenn $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ also abgeschlossen ist muss sein komplement offen sein. X=I, wobei I:=[0,1], wär also offen da $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.

---Hmm scheint für mich als wenn dann jeder metrische Raum offen und abgeschlossen sein muss. (ich weiss (hoffe), dass das nicht stimmt)

Du kannst \emptyset für die leere Menge schreiben, das liest sich dann besser.

Nochmal, sowohl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ sind sowohl offen als auch abgeschlossen.

Bei deinem Beispiel ist also $\begin{eqnarray*} I = [0, 1] \end{eqnarray*}$ auch offen, denn $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist Umgebung jedes seiner Punkte (teste es einmal mit $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Kugeln aus).

Ansonsten: offen bzw. abgeschlossen sind Eigenschaften von Mengen, nicht jedoch von metrischen Räumen (letztere bestehen aus einer Menge und einer Metrik usw.).

Grüße Abakus smile

05.03.2007, 22:49

WebFritzi

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Zitat:

Original von pelzor
---Hmm scheint für mich als wenn dann jeder metrische Raum offen und abgeschlossen sein muss. (ich weiss (hoffe), dass das nicht stimmt)

Komisch, dein Sinneswandel. Also nochmal für dich.

DEFINITION: Es sei (X,d) ein metrischer Raum. Zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ definiere $\begin{eqnarray*} B_\varepsilon(x) := \{y\in X : d(y,x) < \varepsilon\}. \end{eqnarray*}$ Eine Menge $\begin{eqnarray*} M\subset X \end{eqnarray*}$ heißt nun offen, wenn es zu jedem Punkt x aus M ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} B_\varepsilon(x)\subset M. \end{eqnarray*}$ Eine Menge $\begin{eqnarray*} M\subset X \end{eqnarray*}$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement X\M offen ist.

So, und nun zeig mal, dass X und die leere Menge offen sind. Wenn du das getan hast, überlege dir, dass diesebeiden Mengen dann auch abgeschlossen sind.

P.S.: Der gesamte Raum und die leere Menge sind übrigens die einzigen Teilmengen des metrischen Raums, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

06.03.2007, 11:26

pelzor

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Zitat:

Nochmal, sowohl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ sind sowohl offen als auch abgeschlossen.
Bei deinem Beispiel ist also $\begin{eqnarray*} I = [0, 1] \end{eqnarray*}$ auch offen, denn $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist Umgebung jedes seiner Punkte (teste es einmal mit $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Kugeln aus).

Was ist denn mit den Punkten 0 und 1? Da kann man doch sofort sagen das I nicht Umgebung von ihnen ist, da da halt kein Bällchen mehr rumpasst...

Zitat:

P.S.: Der gesamte Raum und die leere Menge sind übrigens die einzigen Teilmengen des metrischen Raums, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Find ich gut, wiederspricht aber dem ersten Zitat! verwirrt

06.03.2007, 12:01

WebFritzi

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Ich zeige dir, dass die Menge [0,1] offen ist im metrischen Raum ([0,1], d), wobei d die euklidische Metrik sei. Sei also x ein Punkt aus [0,1]. Zu zeigen ist, dass um x eine eps-Umgebung existiert, die vollständig in [0,1] enthalten ist. Für x aus ]0,1[ sollte das klar sein. Sei jetzt z.B. x = 0. Wir wählen epsilon = 1. Es ist

$\begin{eqnarray*} B_\varepsilon(x) = B_1(0) = \{t\in [0,1] : |t| < 1\} = [0,1[. \end{eqnarray*}$

Und diese Menge ist in [0,1] enthalten. Also ist [0,1] nach Definition offen.

Zitat:

Original von pelzor

Zitat:

P.S.: Der gesamte Raum und die leere Menge sind übrigens die einzigen Teilmengen des metrischen Raums, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Find ich gut, wiederspricht aber dem ersten Zitat! verwirrt

Nö. Verstehe ich nicht, wieso sich da was widersprechen sollte.

06.03.2007, 14:16

Abakus

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Zitat:

Original von pelzor

Zitat:

Was ist denn mit den Punkten 0 und 1? Da kann man doch sofort sagen das I nicht Umgebung von ihnen ist, da da halt kein Bällchen mehr rumpasst...

Du musst dir die Frage stellen, wie die Kugeln in diesem Raum genau aussehen: sie entstehen aus den "euklidischen Kugeln" durch "Herunterschneiden" auf das Intervall.

D.h. eine offene Kugel sieht so aus: $\begin{eqnarray*} K_{\epsilon}(x_0) \cap [0, 1] \end{eqnarray*}$

Ansonsten können offene Kugeln auch eine recht ungewöhnliche Struktur haben, du musst dich hier von der Vorstellung bei der euklidischen Topologie lösen.

Grüße Abakus smile

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