Relativer Fehler, Konditionszahl

27.10.2013, 13:02	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Relativer Fehler, Konditionszahl Ich möchte für folgende Funktion den relativen Fehler bei der Auswertung und die relative Konditionszahl $\begin{eqnarray} K(x) \end{eqnarray}$ bestimmen, wobei $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ eine Maschinenzahl ist: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1-cos(x)}{x} \end{eqnarray}$ Meine erste Frage: Was ist der relative Fehler bei der Auswertung? Ich dachte eigentlich, das wäre $\begin{eqnarray} \frac{f(\tilde x)-f(x)}{f(x)} \end{eqnarray}$ Da aber $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ eine Maschinenzahl, würde ja gelten $\begin{eqnarray} x=\tilde x \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \frac{f(\tilde x)-f(x)}{f(x)}=0 \end{eqnarray}$ Nehme ich dann $\begin{eqnarray} \frac{\tilde f(x)-f(x)}{f(x)} \end{eqnarray}$ als relativen Fehler bei der Auswertung? In diesem Fall komme ich auf folgendes: $\begin{eqnarray} \tilde f(x)=\frac{1-cos(x)}{x}(1-\epsilon) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} 0\leq \epsilon\leq 3\delta \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ Maschinengenauigkeit. $\begin{eqnarray} 3\delta \end{eqnarray}$ deshalb, weil bei jeder Grundrechenart und bei jeder Auswertung von trigonometrischen Funktionen der Computer einen relativen Fehler der Größe $\begin{eqnarray} \| \epsilon \| \leq \delta \end{eqnarray}$ macht und ich drei Operationen durchführe: $\begin{eqnarray} cos, -, / \end{eqnarray}$ Dann wäre der relative Fehler: $\begin{eqnarray} \frac{\tilde f(x)-f(x)}{f(x)} =-\epsilon \end{eqnarray}$ Das scheint mir nicht zu stimmen, da ich außerdem zeigen soll, dass der relative Fehler für $\begin{eqnarray} \|x\|\rightarrow0 \end{eqnarray}$ unendlich groß wird. Die Konditionszahl haben wir über die Taylorreihe eingeführt und zwar: $\begin{eqnarray} K(x)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial_{i}f(x)x_{i} }{f(x)} \end{eqnarray}$ Hier bin ich mir nicht ganz sicher welche partielle Ableitungen ich betrachten muss. Ich hätte folgende genommen: $\begin{eqnarray} x_{1} =cos (x) <br /> x_{2} =1- x_{1} <br /> x_{3}=\frac{x_{2}}{x} \end{eqnarray}$ Kann mir vielleicht jemand sagen, was von meinen Überlegungen bisher richtig ist und was nicht? Vielen Dank für eure Hilfe Biene
28.10.2013, 10:54	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relativer Fehler, Konditionszahl Hi, Was den relativen Fehler angeht: x ist eine Maschinenzahl, und daher muss ein exakter Wert durch eine solche approximiert werden: In $\begin{eqnarray} \frac{f(\tilde x)-f(x)}{f(x)} \end{eqnarray}$ ist daher $\begin{eqnarray} \tilde x = x + \epsilon \end{eqnarray}$ Zu berechnen ist nun $\begin{eqnarray} f(\tilde x) \end{eqnarray}$ Was die Konditionszahlen angeht: Du hast hier eine Funktion $\begin{eqnarray} f\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ , und daher vereinfacht sich die Formel für die Konditionszahl zu: $\begin{eqnarray} K(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\cdot x \end{eqnarray}$
28.10.2013, 21:13	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Leider komme ich noch nicht viel weiter: $\begin{eqnarray} f(\tilde x)=\frac{1-cos(\tilde x)}{\tilde x}= \frac{1-cos(x(1+\epsilon))}{x(1+\epsilon)} \end{eqnarray}$ Das sollte ich nun irgendwie als Vielfaches von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ umformen oder? Nur wie? Bekomme das $\begin{eqnarray} 1+\epsilon \end{eqnarray}$ nicht aus $\begin{eqnarray} cos(x(1+\epsilon)) \end{eqnarray}$ heraus
30.10.2013, 07:43	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir vielleicht noch jemand weiterhelfen ??? Gruß Biene
30.10.2013, 08:21	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der ersten Aufgabe weiß ich gerade auch nicht weiter, ich kann dir nur was zu den Konditionszahlen sagen.

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