Gerade durch genau zwei Punkte |
| 28.10.2013, 10:14 | Mathelehrer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Gerade durch genau zwei Punkte Hallo bei der Aufgabe habe ich einige Probleme. Für Hilfe bin ich sehr dankbar. Aufgabe: Sei T eine endliche Menge von Punkten in E2 die nicht kollinear ist. Zeigen Sie, dass es eine Gerade gibt die durch genau zwei Punkte von T läuft. Hinweis: Betrachten Sie die Menge aller Paare (P,G) mit P Element von T und einer Gerade G, die durch mindestens zwei Punkte in T läuft und P kein Element von G erfüllt. Betrachten Sie ein Paar (P0,G0), wobei P0 minimalen Abstand zu G0 hat. Meine Ideen: Ehrlich gesagt verstehe ich den Hinweis nicht so ganz. soll der darauf abzielen, dass jeder Punkt P nicht Element von G einen Abstand zu G hat??? Meine Idee wäre, zu zeigen, dass jeder Vektor in T aus zwei Punkten ungleich eines Vielfachen eines anderen Vektors aus zwei Punkten in T also irgendwie so: |
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| 30.10.2013, 18:50 | Mathelehrer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Gerade durch genau zwei Punkte Hallo, hat denn keiner eine Idee oder Vorschläge??? Ich zergrübel mir echt das Hirn darüber... |
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| 02.11.2013, 17:58 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Gerade durch genau zwei Punkte
Ich nehme an, dass mit »E2« eine zweidimensionale ungekrümmte Ebene gemeint ist. Kollinearität ist eine Eigenschaft, die zwei oder mehrere Objekte betrifft. Eine einzelne Menge ist nur ein Ding und kann daher nicht kollinear sein. Sehr wohl könnte das aber auf die Elemente der Menge zutreffen, die praktischerweise sogar Punkte sind. Als nächstes stellt sich die Frage, ob paarweise Kollinearität oder gesamthafte Kollinearität gemeint ist. Da zwei Punkte, die in einer sonst nicht näher beschriebenen Ebene liegen, immer Elemente einer gemeinsamen Geraden sind, macht ein Verbot paarweiser Kollinearität keinen Sinn. Da weiter unten stillschweigend davon ausgegangen wird, dass T mindestens zwei verschiedene Punkte enthält, können wir auch davon ausgehen, dass T nicht leer sein soll. Daher interpretiere ich diesen Satz wie folgt: T sei eine endliche nicht-leere Menge von Punkten die alle in derselben Ebene, aber nicht alle auf derselben Geraden liegen. Daraus folgt schon mal, dass T mindestens 3 Punkte enthält, die ein Dreieck aufspannen dessen Fläche größer als 0 ist.
Es ist also eine Gerade durch zwei Punkte von T gesucht, auf der kein dritter Punkt von T liegt. Genauer gesagt soll bewiesen werden, dass es so eine Gerade immer geben muss, egal wie viele Punkte T enthält und wie diese in der Ebene verteilt sind. Man kann diese Frage auch anders formulieren: Ist es möglich eine endliche Menge von Punkten so in einer Ebene zu verteilen, dass auf jeder Geraden, die durch ein beliebiges Punkte-Paar dieser Menge verläuft, automatisch auch (mindestens) noch ein weiterer Punkt dieser Ebene liegt? - Die vermutete Antwort ist »nein«. Die einfachste Lösung wäre, alle Punkte entlang einer einzigen Geraden anzuordnen, aber genau das ist ja verboten.
Das nix deutsches Satz! Aber ich glaube ich habe trotzdem verstanden was gemeint ist: Mach dir eine vollständige Liste aller Geraden, die du durch alle denkbaren Punkte-Paare von T legen kannst. Zu jeder dieser Geraden gibt es eine nicht-leere Menge von Punkten aus T, die nicht auf dieser Geraden liegen. Ich will die Punkte mit dieser besonderen Eigenschaft die »Komplementärpunkte der Geraden« nennen. Achtung: Jede Gerade hat ihre eigene Menge an Komplementär-Punkten! Bilde nun aus den Geraden und ihren jeweiligen Komplementärpunkten 2-Tupel (Paare). Jedes Tupel enthält eine Gerade und einen ihrer Komplementärpunkte. Die Menge aller Tupel muss jede mögliche Kombination aus einer Geraden und einem Komplementärpunkt enthalten.
Von jedem dieser Tupel kann man den (Normal-)Abstand des Punktes von der Geraden berechnen. Da die Tupel so konstruiert sind, dass der Punkt nicht auf der Geraden liegt, ist dieser Abstand immer größer als 0. Unter allen Abständen gibt es mindestens einen kleinsten. Es ist übrigens durchaus möglich, dass es mehrere verschiedene Tupel mit gleich großen Abständen gibt mit der Eigenschaft, dass kein anderer Abstand noch kleiner ist. Alle Abstände mit dieser Eigenschaft sind kleinste Abstände. Aber aus der Tatsache, dass alle Abstände reelle Zahlen sind die man der Größe nach ordnen kann, und der Tatsache, dass die Menge der Abstände endlich ist, folgt dass es mindestens einen kleinsten Abstand geben muss. Dieser kleinste von 0 verschiedene Abstand, den ein Punkt zu der ihm nächsten Geraden haben kann, sei d. Dieser Abstand d soll nun im Beweis eine tragende Rolle spielen. Ich kann mich übrigens erinnern, diese Aufgabe bereits einmal in einem Buch über Unterhaltungsmathematik gelesen zu haben, kann mich aber an die vollständige Lösung nicht mehr erinnern. Ich weiß nur noch so viel: Man kann links und rechts von jeder Geraden zwei Streifen der Breite d definieren, wobei d genau der oben beschriebene kleinste Abstand zwischen einer Geraden und einem ihrer Komplementärpunkte ist. Die Ränder dieser Streifen (insbesondere die Geraden selbst) sollen nicht zu den Streifen gehören. Das bedeutet: Kein Punkt aus T kann in einem dieser Streifen liegen. Denn jeder Punkt, der in einem dieser verbotenen Streifen liegt, hätte von der erzeugenden Geraden einen Abstand, der kleiner als der kleinste Abstand wäre. Ich erinnere mich an diesen Zusammenhang: Wenn jede Gerade durch mindestens drei Punkte aus T verlaufen würde, hätte das zur Folge, dass irgendwo in einem dieser Streifen ein zusätzlicher Komplementärpunkt einer Geraden liegen müsste. Da das nicht möglich ist, muss es mindestens eine Gerade geben, die nur durch zwei Punkte aus T geht. Ich weiß allerdings nicht mehr, wie dieser Zusammenhang hergeleitet werden kann. |
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