Extremwertaufgabe anhand eines Quaders |
28.10.2013, 19:25 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Extremwertaufgabe anhand eines Quaders habe mir zur Übung eine weitere Extremwertaufgabe herausgesucht. Die AUfgabenstellung lautet : Welche Abmessungen sind für einen Quader mit möglichst großem Volumen zu wählen, wenn folgende Einschränkungen zu beachten sind! Länge, Breite und Höhe dürfen zusammen max 90 betragen, die Breite muss 2/3 der Länge betragen. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Skizze: siehe Anhang Geg.: a=2/3b Ges.: V max Lös.: V = a*b*c u= 2a+2b Bin mir unsicher ob der Anfang richtig ist. |
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28.10.2013, 19:36 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwertaufgabe anhand eines Quaders Du brauchst den Umfang nicht. Abgesehen davon ist der Begriff "Umfang" bei einem Körper ehe ungewöhnlich. Du hast eine HB, die Volumenformel. Aus dem Text kannst du 2 NBs aufstellen. Die eine hast du schon in der Zeichnung angedeutet. |
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28.10.2013, 19:36 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwertaufgabe anhand eines Quaders a=Länge b=Breite c=Höhe Du kannst b und c durch a ausdrücken: b=(2/3)a a+b+c=90 c=90-a-b c=90-a-(2/3)a=90-(5/3)a |
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28.10.2013, 20:17 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nebenbedingungen : Bedingung 1 : b=2/3*a Bedingung 2 : V= a*b+*c , umgestellt nach c ---> c= V/b*a dann für das b die oben stehende Gleichung einsetzen, also c=V/2/3*a*a Wenn man das jetzt zusammenfassen würde könnte man auf 1,67V/a² =c kommen. Wäre das so in etwa richtig? |
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28.10.2013, 20:35 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hatte doch gesagt, dass die Volumenformel die HB ist. Die Größe, die den Extremwert haben soll, muss immer die HB sein. Hier ist es das Volumen, also ist die Volumenformel die Grundlage für die HB. Die zweite NB findest du hier:
edit: Deine Rechnung sieht zwar richtig aus, allerdings hast du da eben noch zu viele Variablen drin und du hast die Volumenformel schon mit verwendet. Als Grundlage für die Extremwertberechnung kannst du deine Umformung also nicht verwenden. |
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28.10.2013, 20:55 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das das Volumen die Hauptbedingung ist war mir schon klar, bloß ich dachte das dazu jetzt noch 2 Gleichungen für die Nebenbedingungen kämen. Deshalb habe ich versucht 2 Gleichungen aufzustellen. Könnte die Nebenbedingung dann so heißen: a+b+c=90 ? |
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28.10.2013, 21:04 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja klar, das ist die zweite NB. |
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28.10.2013, 21:14 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann muss man die NB a+b+c=90 ausrechnen. bc (90-b-c) hierbei bin ich mir unsicher |
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28.10.2013, 21:19 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ähm, was machst du da gerade? Um es noch mal klarzustellen: Wir haben - die HB: V = a · b · c (die zu maximierende Größe) - 1. NB: b=2/3*a (die Breite beträgt 2/3 der Länge) - 2. NB: a+b+c=90 Die 1. NB verwendest du, um das b in der HB durch einen Ausdruck mit a zu ersetzen. Die 2. NB kannst du nun verwenden, um das c zu eliminieren. Stelle sie also zunächst nach c um. |
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28.10.2013, 21:43 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mir ist gerade unklar wie ich die 1. NB - b in der HB durch einen Ausdruck mit a zu ersetze. Bei der 2.NB wäre c= -a-b+90 ? |
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28.10.2013, 21:47 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast: V = a · b · c Du weißt: b = 2/3 · a Das ergibt: V = a · 2/3 · a · c
Ja , oder eleganter: c = 90 - a - b Und auch hier kann das b durch den Ausdruck aus der 1. NB ersetzt werden. |
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28.10.2013, 21:59 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann würde die Gleichung daraufhin folgendermaßen aussehen: V=a*2/3a*90-a-2/3a ? |
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28.10.2013, 22:02 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sieht im Prinzip richtig aus, du hast allerdings die notwendige Klammer nicht gesetzt. Außerdem kannst du noch etwas zusammenfassen. |
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28.10.2013, 22:12 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
V=(2/3a²)*(90-a-2/3a) ? |
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28.10.2013, 22:28 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schon besser. (Die erste Klammer ist allerdings nicht notwendig, höchstens für die Optik. V=2/3a²*(90-a-2/3a) V=2/3a²*(90-5/3a) Ich würde jetzt noch die Klammer auflösen, also ausmultiplizieren, dann kann abgeleitet werden. |
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28.10.2013, 22:46 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kannst du mir erklären, wie man auf bei , im eingeklammerten Teil auf die 90- 5/3a kommt? Ausmultipliziert erhalte ich : |
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28.10.2013, 22:51 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
-a - 2/3 a = - 3/3 a - 2/3 a = -5/3 a Der Rest stimmt. |
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28.10.2013, 23:02 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bis zu -3/3a ist es bei mir noch nachvollziehbar, aber warum dann nichmal -2/3a f ' (x) = - 30/9a² -120a f ''(x) = -60/9a - 120 ? |
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28.10.2013, 23:07 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Ableitungen stimmen , auch wenn man kürzen könnte. edit: Die Ableitungen müssen so lauten: f ' (a) = - 30/9a²+120a f ''(a) = - 60/9a +120 Ich habe das Minus übersehen. Danke an MatheIstLustig für das aufmerksame Lesen des Threads. Zur deiner Frage: Gib in den TR ein: -1 - 2/3 und schau, was da rauskommt. Ich muss jetzt leider off, kann morgen weiter helfen. |
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28.10.2013, 23:17 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso man muss es aus der Sicht sehen ---> -1a -2/3a d.h. erst -a -2/3a = 3/3a und jetzt muss ich mir vor dem -a nich die 1 denken das die da noch steht und dshalb noch -1 rechnen oder? Okay, danke bis dahin und eine Gute Nacht |
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29.10.2013, 10:14 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kann, wenn du von etwas Negativem etwas subtrahierst, etwas Positives herauskommen? Vielleicht hilft es, wenn du das Minus ausklammerst: -a -2/3 a = -(a + 2/3 a) = -(.....) = - ..... |
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29.10.2013, 17:46 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ups, habe das minus vergessen : also so oder? |
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29.10.2013, 18:19 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm, es sieht etwas schräg aus, mal steht ein a, mal nicht. Aber ich denke, du hast es verstanden. |
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29.10.2013, 18:58 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f '(x) = 120a -30/9a² Wenn man die -30/9 jetzt vorne haben stehen möchte ändert sich dann das Vorzeichen? Nun setze ich die erste Ableitung f ' (x) = 0 Hier kann man ausklammern, da in jedem Summanden ein a vorhanden ist. -----> a1 = 0 |
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29.10.2013, 19:02 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt. Das zweite Ergebnis a = 0 kommt nicht als Lösung für die Aufgabe in Betracht. Das hätte man ggf. auch durch einen Definitionsbereich ausschließen können. |
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29.10.2013, 19:10 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Super Wir haben nun a und b. Also kann ich nun c ausrechnen in diese Gleichung: ? |
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29.10.2013, 19:11 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm, hast du das mit einem TR gerechnet? Der Ansatz stimmt, das Ergebnis ist leider falsch. |
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29.10.2013, 19:15 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ups schuldige |
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29.10.2013, 19:16 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig. |
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29.10.2013, 19:28 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und somit haben wir unsere 3 Abmessungen : a = 36 b = 2/3 * a = 24 c = 30 Das alles zusammenaddiert kommt man genau auf 90 36+24+30 = 90 Und das wäre die AUfgabe schon geswesen oder? Wenn jetzt noch zusätzlich dastehen würde berechnen sie noch das max. Volumen, müsste man da folgendermaßen vorgehen? Man schaut sich a1 und a2 an, die als Ergebnis entstanden, also a1 =0 und a2 = 36 Die setzt man in die 2. ABleitung ein. Beide ergeben <0 -->max und das Ergebnis der a's muss man nun in diese Gleichung einsetzten oder? V= 2/3a² (90 - 5/3a) ? |
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29.10.2013, 19:33 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist zunächst die Lösung, da ja nach den Abmessungen gefragt wurde. Wie ich schon geschrieben hatte, kann man durch einen sinnvoll gewählten Definitionsbereich die Lösung a = 0 ausschließen. Ja, es ist richtig mit Hilfe der zweiten Ableitung zu überprüfen, ob man tatsächlich ein Maximum gefunden hat. Um das Volumen zu berechnen kannst du auch ganz einfach deine gefundenen Werte für a, b und c in die Volumenformel V = a·b·c einsetzen. Dein Weg ist natürlich genauso gut möglich und führt zum gleichen Ergebnis. edit:
Das geht natürlich nicht, es können nicht nur 2 Maxima vorhanden sein. Das Maximum liegt bei a = 36, für a = 0 erhalten wir ein Minimum (f''(0) = 120). |
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29.10.2013, 19:46 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja kommt beides das gleiche Ergebnis raus. Wenn man a = 36 in die V = 2/3a² (90 - 5/3a) einsetzt erhält man 25 920 hmm jetzt die Frage welche Maßeinheit, steht nix im Text beschrieben Und wenn man a,b und c in die Formel V= a*b*c einsetzt kommt man ebenfalls auf 25 920. Könnte der sinnvoll gewählte Definitionsbereich so lauten: D=R / {0} ? oder D = R* |
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29.10.2013, 19:57 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Steht das wörtlich so im Text:
Oder gibt es nicht doch eine Längeneinheit hinter der 90? Den Definitionsbereich für a muss man auch nach oben hin einschränken. a kann auf keinen Fall größer als 90 sein, weiterhin wissen wir das b = 2/3 a sind, auch das muss im Definitionsbereich berücksichtigt werden. Auch für b muss man dieses Verhältnis beachten. Der Definitionsbereich für c ist am einfachsten: |
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29.10.2013, 20:18 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm könnte dann für a der DB so aussehen? D = { a ∈ R I 0 < ^ > 90 } |
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29.10.2013, 20:19 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm könnte dann für a der DB so aussehen? D = { a E R I 0 < ^ > 90 } |
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29.10.2013, 20:28 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, ich sagte ja, dass hier auch das Verhältnis von a zu b berücksichtigt werden muss. Wenn a z.B. 81 wäre, dann wäre b 2/3 davon, also 54. A und b können zusammen aber nicht größer als 90 sein. Der Definitionsbereich für a wäre => Wenn a 54 wäre, dann wäre b 2/3 davon, also 36, zusammen wäre es 90. Da wir ja unter 54 bleiben, wird auch die 90 nicht ganz erreicht und c wird > 0. |
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29.10.2013, 20:49 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Muss es dann nicht heißen das c < 0 wird, wenn die 90 nicht ganz erreicht wird? Mir ist unklar warum im DB für a , c steht. Muss dann es für b dann auch dann ungefähr auch so aussehen: D = { c E R >I 0 < c < 24 } |
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29.10.2013, 20:52 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
c muss ja größer als 0 sein, sonst hätten wir keine Seite c. Es stimmt also schon. b kann theoretisch schon größer als 24 sein. Wenn b 24 ist, dann wäre a 24 : (2/3) = 24 · 3/2 = 36 Und 36 +24 = 60. Da wäre noch viel Luft bis 90. edit:
Das ist mir beim Kopieren der Formel passiert. Da habe ich vergessen, aus dem c ein a zu machen. Sorry. Habe ich gerade verbessert. |
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29.10.2013, 21:00 | Bullop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay jetzt klingt es logisch Ich versuchs nochmal mit den DB für b D = {b E R I 0 < b < 60 } |
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29.10.2013, 21:05 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn b 60 ist, dann wäre a 60 : (2/3) = 60 · 3/2 = 90 a ist also dann schon alleine 90, daher ist 60 zu viel für b. |
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