Bildregistrierung Partielle Ableitung

29.10.2013, 14:40	Xeno1999	Auf diesen Beitrag antworten »
Bildregistrierung Partielle Ableitung Hallo, Ich habe ein Problem folgende Aufgabenstellung zu verstehen bezüglich der Vorgehensweise: 1) Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f : \mathbb R^{d} -> \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = x^{T} Ax + b^{T}x + c , \ A\in \mathbb R^{dxd}, \ b\in \mathbb R^{d}, \ c\in \mathbb R \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} \nabla f: \ \mathbb R^{d} \to \mathbb R^{d} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \nabla^{2} f: \ \mathbb R^{d} \to \mathbb R^{dxd} \end{eqnarray}$ Leiten Sie hierzu zunächst $\begin{eqnarray} \partial_{j}f, \ j\in (1,2,...,d) \end{eqnarray}$ her. Soll ich ich jetzt jede einzelne partielle Ableitung machen oder einen allgemeinen Beweis aufstellen?
29.10.2013, 19:58	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ersteres!
29.10.2013, 20:14	Xeno1999	Auf diesen Beitrag antworten »
ok heisst das ich soll jetzt $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray}$ ableiten. und so weiter? Da bleibt aber nicht mehr viel übrig nach dem zweiten mal ableiten. Beim zweiten verlangen die wahrscheinlich die Hesse Matrix?
29.10.2013, 20:36	Xeno1999	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich habe mal beide Ableitungen gemacht und als Ergebnis folgendes raus was ein bisschen komisch ausschaut: $\begin{eqnarray} \frac{\partial f_{j}}{\partial x} = Ax + x^{T}A + b^{T} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial^{2} f_{j}}{\partial x^{2}} = 2A \end{eqnarray}$
29.10.2013, 21:14	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
In der ersten Zeile addierst du Zeilen- und Spaltenvektoren. Erstens geht das allgemein nicht, zweitens sollst du speziell hier partiell ableiten, und partielle Ableitungen sind in diesem Zusammenhang \|R-wertig - sie bilden die Einträge von nabla-f. Also, die partielle Ableitung nach x_1 bekommst du, wenn du alle anderen x_i als Konstanten betrachtest und nur x_1 als Variable. (Das ist so wie bei Funktionenscharen in der Schule - erinnerst du dich?) Die partielle Ableitung nach x_2 bekommst du, wenn du alle anderen x_i als Konstanten betrachtest und nur x_2 als Variable. Und so weiter und so fort. nabla-f ist ein Vektor, in dem diese ganzen partiellen Ableitungen drinstehen. Siehe Definitionen!
30.10.2013, 14:43	Xeno1999	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das heisst bei der funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ sind x und b Vektoren. Soll ich ne allg ableitung machen wie: $\begin{eqnarray} \nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial_{1}f}{\partial x_{1}} \\ .... \\ \frac{\partial_{d}f}{\partial x_{d}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und als Ergebnis käme daraus: $\begin{eqnarray} \nabla f = \begin{pmatrix} x_{1}Ax_{1}+x_{1} \\ .... \\ x_{d}Ax_{d}+x_{d} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder wie soll ich das aufschreiben?
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01.11.2013, 15:34	Xeno1999	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß jemand ob das so richtig ist oder muss ich da anders vorgehen?

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