Injektivitaet, Surjektivitaet in QxQ

29.10.2013, 15:56

a4815162342

Injektivitaet, Surjektivitaet in QxQ

Meine Frage:
Halloechen,

ich haette da ein paar fragen zur Bestimmung der Eigenschaften von Abbildungen (insbesondere Injektivitaet und Surjektivitaet). Nehmen wir also an ich habe folgende zwei Abbildungen gegeben (sorry, ich wusste nicht wie ich den Pfeil sonst machen sollte ^^):
$\begin{eqnarray*} f : Q \times Q -> Q \times Q, (x,y) -> (x^2, x-y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g : Z -> Z \times Z, x -> (x, x^3) \end{eqnarray*}$
Wie wuerde ich also jetzt vorgehen um zu zeigen dass sie injektiv und/oder surjektiv oder eben nicht sind.

Meine Ideen:
Surjektivitaet waere ja gegeben wenn $\begin{eqnarray*} \forall (x,y) \in Q \times Q \exists (a,b) \in Q \times Q: (x,y) = f(a,b) \end{eqnarray*}$ , es also mindestens eine Abbildung auf jedes Paar im Bildbereich gibt.
$\begin{eqnarray*} f(x1, y1) = f(x2, y2) \Rightarrow (x1, x2) = (y1, y2) \end{eqnarray*}$ Waere ja die Bedingung fuer Injektivitaet, es gibt also maximal eine Abbildung fuer jedes Paar aus dem Bildbereich.

Bei Funktionen mit "einer Variable" im Sinne von $\begin{eqnarray*} h : Q -> Q, x -> x^2 \end{eqnarray*}$ (ganz simpel gehalten) waere das ja auch kein Problem, jedoch weiss ich nicht genau wie ich mit den geordneten Paaren rechnen soll.

Ich gehe mal davon aus dass es reichen wuerde zu sagen f ist nicht surjektiv weil x^2 > 0 ist und somit das erste Element des Paars ja nicht negativ werden kann, damit also ein Bereich nicht abgedeckt ist. Wie wuerde ich aber jetzt bei Beispiel 2 vorgehen oder die injektivitaet nachweisen?

29.10.2013, 17:58

sibelius84

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Injektivität:

Versuche mit den dir bekannten algebraischen = rechnerischen Eigenschaften (Quadrate, additive Inversen, etc pp) ein Gegenbeispiel zu finden - also zwei unterschiedliche Paare (x,y) , (a,b) € Q², die aber auf dasselbe Paar abgebildet werden. Wenn das trotz vieler Versuche nicht gelingt, dann drängt sich die Vermutung auf, dass die Abbildung injektiv ist. Um das zu zeigen, setze einfach f(x,y) = f(a,b) und versuche daraus (x,y) = (a,b) herzuleiten.
Manchmal geht's auch andersrum: Man versucht Injektivität zu beweisen und kann anhand des Versuches ein Gegenbeispiel finden.

Surjektivität:

So ähnlich! - erstmal nach einem Gegenbeispiel suchen: Finde möglichst ein Paar (c,d) aus dem Bildbereich, welches von keinem f(a,b) getroffen wird. Wenn das trotz vieler Versuche nicht gelingt, dann drängt sich die Vermutung auf, dass die Abbildung surjektiv ist. Um das zu zeigen, nimm einfach ein beliebiges (c,d) aus dem Bildbereich und versuche hierzu ein (a,b) aus dem Definitionsbereich anzugeben, so dass f(a,b) = (c,d).
Manchmal geht's auch andersrum: Man versucht Surjektivität zu beweisen und kann anhand des Versuches ein Gegenbeispiel finden.

29.10.2013, 18:03

Mulder

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RE: Injektivitaet, Surjektivitaet in QxQ
Nur kurzer Einwurf zum Latex:

Zitat:

Original von a4815162342
Nehmen wir also an ich habe folgende zwei Abbildungen gegeben (sorry, ich wusste nicht wie ich den Pfeil sonst machen sollte ^^)

Wenn du das ein bisschen schöner haben möchtest: Die Pfeile machst du mit \to bzw.\mapsto

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb Q \times \mathbb Q \to \mathbb Q \times \mathbb Q\, , \, (x,y) \mapsto (x^2,x-y) \end{eqnarray*}$

Und wieder raus. Augenzwinkern

29.10.2013, 19:56

a4815162342

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Wuerde $\begin{eqnarray*} \nexists (x,y) \in Q \times Q: f(x,y)=(-1,0) \end{eqnarray*}$ ausreichen um die Surjektivitaet zu widerlegen?
Bei dem Beweis der Injektivitaet stosse ich an meine Grenze weil ich nach dem Aufloesen auf $\begin{eqnarray*} f(a,b) = f(x,y) \Rightarrow a^2=x^2 \Rightarrow a = \pm b \end{eqnarray*}$ stoße. Wie soll ich denn nun beweisen, dass das so stimmt?

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