Matrix Polynom und Abbildungsmatrix

30.10.2013, 08:12

matheResistent

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Matrix Polynom und Abbildungsmatrix

Meine Frage:
Ich habe folgende Fragestellung, ich soll bestimmen ob die folgende Abbildung F linear ist und wenn ja die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis angeben:

$\begin{eqnarray*} F: \mathcal{P}_2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \text{ mit } F(p) = (p(0) p(2))^T \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiss wie ich das bei Abblidungen wie

$\begin{eqnarray*} F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \text{ mit } F((x_1\;x_2)^T) = (x_1 + x_2 \; x_2 + 3x_1)^T \end{eqnarray*}$

mache, leider habe ich Probleme mit den Polynomen und Vektoren. Irgendwie habe ich das verpasst und habe keine Idee wie die zusammenhängen.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

30.10.2013, 08:55

klarsoweit

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RE: Matrix Polynom und Abbildungsmatrix

Zitat:

Original von matheResistent
$\begin{eqnarray*} F: \mathcal{P}_2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \text{ mit } F(p) = (p(0) p(2))^T \end{eqnarray*}$

So liest sich das besser: $\begin{eqnarray*} F(p) = \begin{pmatrix} p(0) \\ p(2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was muß man denn typischerweise zeigen, wenn eine Abbildung linear sein soll?

30.10.2013, 09:15

matheResistent

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Das mit der Darstellung war mir klar Danke.
Man muss beweisen das folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} F(x) = Ax \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} F(a + b) = F(a) + F(b) \text{ und } F(ka)=k F(a) \end{eqnarray*}$

Normalerweise würde ich jetzt mit der Standardbasis und der Funktion das Bild der Standardbasis berechnen. Dann habe ich ja die Abbildungsmatrix welche ja eindeutig ist, danach berechne ich mit A und x die Funktion:
z.B
$\begin{eqnarray*} A \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1 + x_2\\x_2 + 3x_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn dies dann mit der Funktion übereinstimmt, ist die Funktion linear. Aber wie gesagt keine Ahnung wie das mit den Polynom funktioniert.

30.10.2013, 10:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheResistent
oder
$\begin{eqnarray*} F(a + b) = F(a) + F(b) \text{ und } F(ka)=k F(a) \end{eqnarray*}$

Genau so ist die Linearität einer Abbildung F definiert.

Zitat:

Original von matheResistent
Normalerweise würde ich jetzt mit der Standardbasis und der Funktion das Bild der Standardbasis berechnen.

Das ist schon zu speziell. Halte dich doch einfach an die Definition. Nimm 2 Elemente a und b aus dem Vektorraum P_2 und zeige, daß dafür die in der Definition genannten Bedingungen erfüllt sind.

30.10.2013, 10:09

matheResistent

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Genau da liegt eins meiner Probleme, ich habe mühe mit den Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_2 \end{eqnarray*}$ wie die im Zusammenhang stehen zu den Polynomen.

Gegeben ist ja

$\begin{eqnarray*} F(p) =\begin{pmatrix}p(0)\\p(2)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

leider verstehe ich nicht wie ich jetzt weiter fahren muss? verwirrt

verwirrt

30.10.2013, 10:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheResistent
Genau da liegt eins meiner Probleme, ich habe mühe mit den Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_2 \end{eqnarray*}$ wie die im Zusammenhang stehen zu den Polynomen.

Die Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_2 \end{eqnarray*}$ sind Polynome mit maximalem Grad 2.

Wenn du jetzt 2 Polynome a und b hast, was ist dann F(a + b) ?

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30.10.2013, 10:27

matheResistent

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Grübel, Grübel? Hilfe

Hilfe

$\begin{eqnarray*} F(a+b) = \begin{pmatrix}a+b(0)\\a+b(2)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

echt ich verstehe den Zusammenhang nicht genau Polynom und Vektor unglücklich

unglücklich

Sorry das ich ein wenig Begriffstuzig bin.

30.10.2013, 10:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheResistent
$\begin{eqnarray*} F(a+b) = \begin{pmatrix}a+b(0)\\a+b(2)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So ist es richtig: $\begin{eqnarray*} F(a+b) = \begin{pmatrix}(a+b)(0) \\ (a+b)(2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von matheResistent
echt ich verstehe den Zusammenhang nicht genau Polynom und Vektor unglücklich

unglücklich

Bei einem Polynom-Vektorraum sind die Begriffe Polynom und Vektor synonym zu verwenden.

30.10.2013, 11:11

matheResistent

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Hmmm..... heisst das jetzt in meiner Aufgabe folgendes:

Standardbasis ist glaub wie folgt, jedoch weiss ich nicht genau wieso:
$\begin{eqnarray*} {1,x,x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 + x + x^2 = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 1 + x + x^2 = 2 \end{eqnarray*}$

oder? Das geht aber nicht wirklich...
Irgendwie steh ich immer noch auf dem Schlauch. Hmmpf verwirrt

verwirrt

30.10.2013, 11:41

klarsoweit

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Also jetzt holen wir etwas weiter aus. Nehmen wir mal das Polynom p(x) = 1 + x + x² . Das ist ein Element (Vektor) aus dem Vektorraum der Polynome mit maximalem Grad 2.
Was ist nun F(p) ? (Tipp: nicht das, was du geschrieben hast.)

30.10.2013, 12:14

matheResistent

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Müsste das den

$\begin{eqnarray*} 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0^2 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2^2 = 7 \end{eqnarray*}$

bedeuten und das ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber was ist das jetzt genau, die Abbildungsmatrix ?

30.10.2013, 12:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheResistent
und das ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

OK, das ist richtig. Aber laß doch mal die Abbildungsmatrix an der Seite. Um die geht es doch gar nicht, sondern um die Frage, ob die Abbildung linear ist, womit ich auf eine schon früher gestellte Frage zurückkomme: Wenn du jetzt 2 Polynome a und b hast, was ist dann F(a + b) ?

30.10.2013, 12:59

matheResistent

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Also mal vom Anfang

$\begin{eqnarray*} <br /> a = x^2 + x +1\\<br /> b = 2x^2 + 3x\\<br /> <br /> F(a + b) = 3x^2 + 4x +1<br /> \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt? Aber wie weiter?

30.10.2013, 13:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheResistent
$\begin{eqnarray*} F(a + b) = 3x^2 + 4x +1 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt? Aber wie weiter?

In diesem speziellen Fall ist $\begin{eqnarray*} a + b = 3x^2 + 4x +1 \end{eqnarray*}$ , F(a + b) ist etwas anderes. Außerdem brauchen wir den allgemeinen Fall für beliebiges a und b. Es kann doch nicht so schwer sein, hinzuschreiben, was dann laut Definition der Abbildung F der Ausdruck F(a + b) ist.

30.10.2013, 14:33

matheResistent

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Die hast Du ja schon oben hin geschrieben oder?

$\begin{eqnarray*} F(a+b) = \begin{pmatrix}(a+b)(x) \\ (a+b)(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich komm echt nicht darauf auf was Du hinaus willst, wenn ich es ja verstehen würde het ich es schon hingeschrieben. traurig

traurig

30.10.2013, 14:40

klarsoweit

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Auch Abschreiben will gelernt sein. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} F(a+b) = \begin{pmatrix}(a+b)(0) \\ (a+b)(2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, jetzt stellt sich die Frage, wie man (a+b)(0) bzw. (a+b)(2) weiter umformen kann.

31.10.2013, 07:34

matheResistent

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Also noch ein Versuch

$\begin{eqnarray*} F(p_1+p_2) = \begin{pmatrix}p_1(0) + p_2(0) \\p_1(2) + p_2(2) \end{pmatrix}<br /> =<br /> \begin{pmatrix}p_1(0) \\p_1(2) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}p_2(0) \\ p_2(2) \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

also für:

$\begin{eqnarray*} <br /> p_1 = a_1x^2+a_2x + a_3\\<br /> p_2 = b_1x^2+b_2x + b_3\\<br /> <br /> F(p_1) = 4a_1+2a_2 + a_3\\<br /> F(p_2) = 4b_1+2b_2 + b_3\\<br /> F(p_1) + F(p_2) = 4a_1+2a_2 + a_3 + 4b_1+2b_2 + b_3 = 4(a_2+b_1) + 2(a_2+b_2) + 1(a_2+b_3)\\<br /> F(p_1+p_2) = a_1x^2+a_2x + a_3 + b_1x^2+b_2x + b_3 = x^2(a_2+b_1) + x(a_2+b_2) + 1(a_2+b_3) <br /> \end{eqnarray*}$

Also müsste die Funktion linear sein oder? Stimmt das jetzt soweit?

31.10.2013, 08:02

matheResistent

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Zitat:

Original von matheResistent
Also noch ein Versuch

$\begin{eqnarray*} F(p_1+p_2) = \begin{pmatrix}p_1(0) + p_2(0) \\p_1(2) + p_2(2) \end{pmatrix}<br /> =<br /> \begin{pmatrix}p_1(0) \\p_1(2) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}p_2(0) \\ p_2(2) \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

also für:

$\begin{eqnarray*} <br /> p_1 = a_1x^2+a_2x + a_3\\<br /> p_2 = b_1x^2+b_2x + b_3\\<br /> <br /> F(p_1) = 4a_1+2a_2 + a_3\\<br /> F(p_2) = 4b_1+2b_2 + b_3\\<br /> F(p_1) + F(p_2) = 4a_1+2a_2 + a_3 + 4b_1+2b_2 + b_3 = 4(a_2+b_1) + 2(a_2+b_2) + 1(a_2+b_3)\\<br /> F(p_1+p_2) = a_1x^2+a_2x + a_3 + b_1x^2+b_2x + b_3 = x^2(a_2+b_1) + x(a_2+b_2) + 1(a_2+b_3) <br /> \end{eqnarray*}$

Also müsste die Funktion linear sein oder? Stimmt das jetzt soweit?

hab da noch was vergessen

$\begin{eqnarray*} <br /> p_1 = a_1x^2+a_2x + a_3\\<br /> p_2 = b_1x^2+b_2x + b_3\\<br /> <br /> F(p_1(0) =a_3\\<br /> F(p_1(2) = 4a_1+2a_2 + a_3\\<br /> F(p_2(0)) = b_3\\<br /> F(p_2(2)) = 4b_1+2b_2 + b_3\\<br /> F(p_1) + F(p_2) = \begin{pmatrix}a_3+b_3 \\ 4(a_1+b_1) + 2(a_2+b_2) + 1(a_3+b_3)\end{pmatrix}<br /> <br /> \\<br /> F(p_1+p_2) = a_1x^2+a_2x + a_3 + b_1x^2+b_2x + b_3 = x^2(a_1+b_1) + x(a_2+b_2) + 1(a_3+b_3)\\ <br /> F(p_3(0)) = 0(a_1+b_1) + 0(a_2+b_2) + 1(a_3+b_3)=a_2+b_3<br /> F(p_3(2)) = 4(a_1+b_1) + 2(a_2+b_2) + 1(a_3+b_3)\\<br /> F(p_3)= \begin{pmatrix}a_3+b_3 \\ 4(a_1+b_1) + 2(a_2+b_2) + 1(a_3+b_3)\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Müsste soweit doch stimmen oder?

31.10.2013, 09:02

klarsoweit

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Dieses ganze Gedaddel mit der Koeffizientendarstellung der Polynome hättest du dir sparen können. Warum nicht einfach so:

$\begin{eqnarray*} F(p_1+p_2) = \begin{pmatrix}(p_1 + p_2)(0) \\ (p_1 + p_2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p_1(0) + p_2(0) \\ p_1(2) + p_2(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_1(0) \\ p_1(2) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}p_2(0) \\ p_2(2) \end{pmatrix} = F(p_1) + F(p_2) \end{eqnarray*}$
smile

smile

Jetzt fehlt noch der 2. Teil für die Linearität.

EDIT: noch einen Zwischenschritt eingefügt.

31.10.2013, 09:11

matheResistent

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Zitat:

Original von klarsoweit
Dieses ganze Gedaddel mit der Koeffizientendarstellung der Polynome hättest du dir sparen können. Warum nicht einfach so:

$\begin{eqnarray*} F(p_1+p_2) = \begin{pmatrix}p_1(0) + p_2(0) \\p_1(2) + p_2(2) \end{pmatrix}<br /> = \begin{pmatrix} p_1(0) \\ p_1(2) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}p_2(0) \\ p_2(2) \end{pmatrix} = F(p_1) + F(p_2) \end{eqnarray*}$
smile

smile

Jetzt fehlt noch der 2. Teil für die Linearität.

Gut Teil zwei:

$\begin{eqnarray*} kF( \begin{pmatrix}p_1(0) \\p_1(2)\end{pmatrix}) = k \cdot \begin{pmatrix}1\\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k \\ 7k \end{pmatrix}\\<br /> F(kp_1) = k(x^2 + x + 1) = kx^2+kx+k\\<br /> p_1(0) = k\\<br /> p_1(2) = 4k + 2k +k = 7k\\<br /> F(kp_1) = \begin{pmatrix}k \\ 7k \end{pmatrix} = k\cdot F(p_1)<br /> \end{eqnarray*}$

So und somit wäre sie linear, aber wie komme ich jetzt auf die Abbildungsmatrix? Danke im voraus für Deine Geduld.

31.10.2013, 10:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheResistent
$\begin{eqnarray*} kF( \begin{pmatrix}p_1(0) \\p_1(2)\end{pmatrix}) = k \cdot \begin{pmatrix}1\\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k \\ 7k \end{pmatrix}\\<br /> F(kp_1) = k(x^2 + x + 1) = kx^2+kx+k \end{eqnarray*}$

Auch hier klebst du wieder an der Koeffizienten-Darstellung eines Polynoms. Außerdem: wer sagt dir, daß $\begin{eqnarray*} p_1(x) = x^2 + x + 1 \end{eqnarray*}$ ist? p_1 ist irgendein x-beliebiges Polynom. Das könnte das von dir verwendete sein, das könnte aber auch $\begin{eqnarray*} p_1(x) = e^{100} \cdot x^2 + sin(1000) * x +2013 \end{eqnarray*}$ sein. Aber wie gesagt: laß die Koeffizienten-Darstellung an der Seite, die bringt dir gar nichts.

31.10.2013, 10:35

matheResistent

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Habe vergessen zu erwähnen das die Aufgabe noch besagt, das wir von der Standardbasis ausgehen sollen.

Wie soll ich das sonst darstellen, so:

$\begin{eqnarray*} <br /> k\cdot F(\begin{pmatrix}p(0)\\p(2)\end{pmatrix}) = k\cdot \begin{pmatrix}p(0)\\p(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k\cdot p(0)\\k\cdot p(2)\end{pmatrix} \\<br /> F(\begin{pmatrix}k\cdot p(0)\\k\cdot p(2)\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}k\cdot p(0)\\k\cdot p(2)\end{pmatrix}\\<br /> \end{eqnarray*}$

Genügt das als Beweis? Und wie komme ich jetzt zur Abbildungsmatrix?

31.10.2013, 11:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheResistent
Habe vergessen zu erwähnen das die Aufgabe noch besagt, das wir von der Standardbasis ausgehen sollen.

Ja, aber der Begriff Standardbasis wurde im Zusammenhang mit der Abbildungsmatrix erwähnt. Für den Beweis der Linearität ist die Basis unerheblich.

Zitat:

Original von matheResistent
Wie soll ich das sonst darstellen, so:

$\begin{eqnarray*} <br /> k\cdot F(\begin{pmatrix}p(0)\\p(2)\end{pmatrix}) = k\cdot \begin{pmatrix}p(0)\\p(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k\cdot p(0)\\k\cdot p(2)\end{pmatrix} \\<br /> F(\begin{pmatrix}k\cdot p(0)\\k\cdot p(2)\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}k\cdot p(0)\\k\cdot p(2)\end{pmatrix}\\<br /> \end{eqnarray*}$

Du verwechselst stets und ständig, worauf die Abbildung F angewendet. Falls es noch nicht klar ist: die Abbildung F wird auf ein Polynom angewendet, nicht auf einen Vektor. Für den Beweis brauchst du doch nur meinen Beweis für die Summe analog abschreiben. Kann das denn so schwer sein? Dann hättest du dieses erhalten müssen:

$\begin{eqnarray*} F(k \cdot p) = \begin{pmatrix}(k \cdot p)(0) \\ (k \cdot p)(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k \cdot p(0) \\ k \cdot p(2)\end{pmatrix} = k\cdot \begin{pmatrix}p(0)\\p(2)\end{pmatrix} = k \cdot F(p) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von matheResistent
Und wie komme ich jetzt zur Abbildungsmatrix?

Wie sonst auch. Nehme die Elemente der Standardbasis, bilde deren Bilder, stelle die Bilder als Linearkombination in der Basis des Bildraums dar und trage die Koeffizienten der Linearkombination als Spalten in die Abbildungsmatrix ein.

31.10.2013, 12:06

matheResistent

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Okay, okay ist ja gut, kann sein das ich einiges durcheinander bringe, mach ich jedoch nicht absichtlich.

Also wäre die Abbildungsmatrix eben dieser Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von matheResistent
Müsste das den

$\begin{eqnarray*} 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0^2 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2^2 = 7 \end{eqnarray*}$

bedeuten und das ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber was ist das jetzt genau, die Abbildungsmatrix ?

Da dieser ja mit der Standardbasis $\begin{eqnarray*} \{1,x,x^2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p(0), p(2) \end{eqnarray*}$ berechnet wird?

31.10.2013, 12:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheResistent
Also wäre die Abbildungsmatrix eben dieser Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Unfug. Etwas Nachdenken kann man im Hochschulbereich schon erwarten.
Welche Dimension hat der Urbildraum? Richtige Antwort: 3
Welche Dimension hat der Bildraum? Richtige Antwort: 2
Welche Form hat also die Abbildungsmatrix? Richtige Antwort: das ist eine 2x3-Matrix

Wie man diese erhält, habe ich schon beschrieben. Fang mal mit dem ersten Element deiner Basis an und bilde davon das Bild mit der Abbildung F.

31.10.2013, 13:42

matheResistent

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Sorry ich geb auf ich komme mit der Aufgabe nicht klar und mich weiter demütigen zu lassen habe ich keine Lust.

Wie bereits am Anfang erwähnt ist mir der gesamte zusammenhang mit dem Vektorenraum der Polynome unklar und je weiter ich hier krampfhaft versuche den zusammenhang zu erkennen, umso weniger gelingt mir das hier. Nebenbei, nicht jeder der versucht Hochschulmathematik zu verstehen studiert, es gibt auch Leute wie mich die mit Selbstudium versuchen sich eine Basis zu erarbeiten.

Trotzdem danke für Deine Mühe und Deine Zeit bei der Beantwortung der Frage.

31.10.2013, 14:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheResistent
Wie bereits am Anfang erwähnt ist mir der gesamte zusammenhang mit dem Vektorenraum der Polynome unklar

Das vermutlich große Problem bei dir ist, daß du unter einem Vektor anscheinend nur Objekte verstehst, die aus Komponenten bestehen, die man untereinander zwischen 2 Klammern schreibt. Das ist aber sehr kurzsichtig. Spätestens, wenn man auf die Menge aller Polynome mit einem bestimmten Maximalgrad trifft, kann man auf den Gedanken kommen, jedes Polynom auch als Vektor aufzufassen, denn die Menge dieser Polynome (Vektoren) erfüllt alle Eigenschaften eines Vektorraums.

Betrachten wir nun die Standardbasis des Vektorraums P_2. Da haben wir die Elemente p1, p2 und p3 mit:
p1(x) = 1, p2(x) = x und p3(x) = x²
Und für jedes dieser Elemente mußt du das Bild mit der Abbildung F bestimmen.

Und sorry, wenn du meine freundlich gemeinten Hinweise als Demütigung auffaßt. Wir sind hier nun mal im Hochschulbereich und da können wir durchaus erwarten, daß gewisse Voraussetzungen mitgebracht werden. Wenn das bei dir - warum auch immer - anders gelagert ist, dann wären entsprechende Hinweise durchaus hilfreich.

31.10.2013, 15:13

matheResistent

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Die Demütigung liegt nicht in Deinen Antworten, sondern in der länge der Diskussion ohne das ich mich schlauer fühle.

Für mich ist einfach nicht klar wo ich die einsetzen muss

$\begin{eqnarray*} p=a_1x^2+a_2x+a_3 \end{eqnarray*}$

ist ja das Polynom und die Funktion ist ja mit

$\begin{eqnarray*} (p(0)\;p(2))^T \end{eqnarray*}$

Was muss ich wie einsetzen, ich hab das eben nicht begriffen.

31.10.2013, 15:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheResistent
Die Demütigung liegt nicht in Deinen Antworten, sondern in der länge der Diskussion ohne das ich mich schlauer fühle.

Wir arbeiten fieberhaft daran, daß du schlauer wirst. Vielleicht lichtet sich der Nebel am Ende der Aufgabe. smile

smile

Zitat:

Original von matheResistent
$\begin{eqnarray*} p=a_1x^2+a_2x+a_3 \end{eqnarray*}$

ist ja das Polynom und die Funktion ist ja mit

$\begin{eqnarray*} (p(0)\;p(2))^T \end{eqnarray*}$

Was muss ich wie einsetzen, ich hab das eben nicht begriffen.

Mit $\begin{eqnarray*} p=a_1x^2+a_2x+a_3 \end{eqnarray*}$ hast du ein allgemeines Polynom. Wir betrachten jetzt aber 3 ganz spezielle Polynome, nämlich die von mir genannten Polynome aus der Standardbasis. Und von diesen mußt du jeweils $\begin{eqnarray*} (p(0)\;p(2))^T \end{eqnarray*}$ bilden.

Und danke, daß du nicht aufgibst. Ich habe selbst Mathe studiert und mehr als einmal ans Aufgeben gedacht. Aber manchmal muß man sich durchkämpfen.

31.10.2013, 16:01

matheResistent

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Okay dann hoffe ich das dass so korrekt ist:
$\begin{eqnarray*} <br /> e_1(1)\; \begin{pmatrix}p(0)\\p(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\\<br /> e_2(x)\; \begin{pmatrix}p(0)\\p(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}\\<br /> e_3(x^2)\; \begin{pmatrix}p(0)\\p(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}\\<br /> A = \begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&4\end{pmatrix}\\<br /> \end{eqnarray*}$

Wäre zumindest eine 2x3 Matrix und

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}\\\\<br /> \begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}\\\\<br /> \begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\\\\<br /> \end{eqnarray*}$

stimmt das so jetzt?

31.10.2013, 16:08

klarsoweit

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Die Matrix ist richtig, aber formal muß das noch exakter werden:

Zitat:

Original von matheResistent
$\begin{eqnarray*} <br /> e_1(1)\; \begin{pmatrix}p(0)\\p(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\\<br /> e_2(x)\; \begin{pmatrix}p(0)\\p(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}\\<br /> e_3(x^2)\; \begin{pmatrix}p(0)\\p(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_1(x) = 1\; F(e_1) = \begin{pmatrix}e_1(0)\\e_1(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ usw.

31.10.2013, 16:13

matheResistent

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Okay danke, ich muss mir auf jeden Fall noch ein paar Beispiele dieser Art besorgen. Kennst Du eventuell eine Seite mit Beispielen und Lösungen für Polynom Vektorräumen.

01.11.2013, 09:33

klarsoweit

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Da kann ich leider nichts aus der Tasche zaubern. Aber du kannst ja mal die Aufgabe mit der Abbildung $\begin{eqnarray*} F: P_2 \rightarrow \mathbb R, F(p) = \int_{-1}^1 p(x)~dx \end{eqnarray*}$ durchkauen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.11.2013, 12:03

matheResistent

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke werde versuchen Deine Aufgabe zu lösen. So auf den ersten Blick denke ich das Sie linear ist, aber ich muss mir zuerst nochmal die Integral Definitionen anschauen.

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