Äquivalenzklassen

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Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklassen
Hallo ihr Lieben,

Ich hoffe, ihr verzeiht mir die Schreibweise, bin leider nur mit dem Handy on.

Ich habe eine Äquivalenzrelation RcP(M)xP(M) gegeben. mit (M1,M2) ist Element der Relation genau dann, wenn eine bijektive Abbildung f:M1->M2 existiert.
Jetzt soll ich für M={a,b,c,d} die Äquivalenzklassen angeben.
Meine Frage: besteht eine Äquivalenzklasse einfach aus allen Mengen gleicher Machtigkeit, d.h. Anzahl von Elementen?
Oder gibt es noch andere Möglichkeiten, eine bijektive Abb zu konstruieren?
Und kann eine Klasse auch aus nur einem Element bestehen?

LG
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, die Äuivalenzklassen bestehen aus den Teilmengen je gleicher Mächtigkeit. In diesem Falle gibt es auch einelementige Klassen.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar, danke.
Dann hätte ich noch eine ähnliche Frage bezüglich Gruppen, die aber auch Bijektivität und Mächtigkeit betrifft. Soll ich dafür extra einen neues Thema aufmachen?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, das können wir auch gut hier besprechen. smile
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar.
Und zwar geht es um die alternierende Gruppe A4. Ich habe alle ihre Untergruppen bestimmt und soll jetzt sagen, welche davon isomorph zueinander sind.
Auf jeden Fall müssen sie ja die gleiche Mächtigkeit haben, damit die Bijektivität gilt.
Jetzt stellt sich nur die Frage, welche davon einen Homomorphismus bilden. Egal, welche Elemente meiner Untergruppen ich verknüpfe, ich bekomme immer die Identität heraus.
Aber es muss ja nicht sein, dass dieser auch die Identität zugeordnet wird, oder? verwirrt
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Aus deinen letzten Sätzen verstehe ich nicht so ganz, was du berechnet hast. Wenn du Homomorphismen, (insb. Isomorphismen) zwischen den Untergruppen angibst, muss jedenfalls notwendig die Identität auf die Identität abgebildet werden.

Wie viele Untergruppen hast du denn berechnet und welche Ordnung haben sie? Es ist nicht so schwer, hier Isom zu finden, aber es gibt noch ein allgemeines algebraisch Argument, dass es hier erleichtert, die Isomorphieklassen zu bestimmen. smile
 
 
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe 9 Stück berechnet. Was verstehst du denn unter Ordnung? Die Anzahl der Elemente?
Dann hätte ich eine erster Ordnung, 3 zweiter Ordnung, 4 dritter Ordnung und eine vierter (Edit) Ordnung.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, die Mächtigkeit einer Gruppe nennt man Synonym auch ihre Ordnung. Sorry, das hatte ich vergessen zu sagen.

Deine Ergebnisse zu den Untergruppen sind richtig. smile (Man sagt aber Ordnung n statt n-te Ordnung.) Betrachte mal zwei Untergruppen der Ordnung 2. Wie würdest Du hier einen Isomorphismus konstruieren?
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Z.B.
id ->(12)(34)
(13)(42) -> id
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Definierten das wirklich einen Homomorphismus? Du kannst dir allgemein überlegen, dass Homomorphismen das neutrale Element, hier also id, erhalten müssen. Wie muss die Abbildung also tatsächlich definiert werden?
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich stehe auf dem Schlauch unglücklich
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Aaah,
id -> id
(12)(34)-> (13)(42)
?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast eine Abbildung definiert, wobei , und , sodass und . Wie lautet denn die Definition eines Homomorphismus? Warum ist damit keiner?

Ergänzung nach deinem neuen Post: Genau. smile Du siehst auch, warum das jetzt richtig ist?
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, danke! smile
Kann es sein, dass es für die Ordnung 3 keinen Homomorphismus gibt?
Edit: ah, doch, id müsste wieder auf sich selbst abgebildet werden, oder?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Genau und was passiert dann jeweils mit den anderen Elementen?

Einen Homomorphismus von einer Gruppe zu jeder beliebigen Gruppe gibt es übrigens immer, nämlich mindestens den, der alle Elemente auf das neutrale Element abbildet. Aber hier geht es ja um Isomorphismen.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die beiden anderen Elemente aus einer Menge der Ordnung 3 sind ja jeweils invers zueinander. Also ist es eigentlich egal, welches auf welches Element der anderen Menge abgebildet wird, nicht?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, die Untergruppen der Ordnung 3 sind von der Form für eine Permutation mit .

Sind gegeben, so kannst Du ausrechnen, dass sowohl als auch jeweils eindeutig Isomorphismen festlegen.

Wie sehen hier also die Isomorphieklassen aus?

Noch ein sprachliches Detail: Man spricht von Mengen der Mächtigkeit n und Gruppen der Mächtigkeit oder Ordnung n, aber nicht Mengen der Ordnung n.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Die Isomorphiegruppen wären einfach die Mengen von Gruppen gleicher Ordnung?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, in diesem Fall ist das so. Das liegt an dem allgemeinen Fakt, dass für eine feste Primzahl alle Gruppen der Ordnung isomorph sind. Wenn Du willst, kann ich das kurz erläutern. smile

Edit: Es sind aber Mengen, genannt Isomorphieklassen (=Äquivalenzklassen isomorpher Strukturen/Gruppen); nicht selbst Gruppen.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja, dass es Mengen sind, ist mir klar smile
Sollte ich dann auch noch angeben, dass die Gruppe der Ordnung 1 und die der Ordnung 4 je zu sich selbst isomorph sind (gibt ja jeweils nur eine) oder soll ich die ganz außen vor lassen?
Und ich glaube, es ist besser, mich jetzt am Anfang des Studiums nicht mit zusätzlicher Information noch mehr zu verwirren^^ Generell interessiert mich deine Ausführung jedoch natürlich
Bis jetzt schon mal ganz lieben Dank, aber es geht dann auch gleich weiter mit der nächsten Frage...
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Isomorphiegruppen wären einfach die Mengen von Gruppen gleicher Ordnung?


Den Satz solltest Du auf jeden Fall hinschreiben mit Begründung für die Gruppen der Ordnungen 2 und 3 wie wir besprochen haben. Da es je nur eine Gruppe der Ordnung 1, 4 und 12 gibt, sind die jeweiligen Äquivalenzklassen trivialerweise einelementig. Und so kannst Du das auch hinschreiben.

Zitat:
Bis jetzt schon mal ganz lieben Dank, aber es geht dann auch gleich weiter mit der nächsten Frage...

Nur weiter. Big Laugh
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Gruppe der Ordnung 12? geschockt
Edit: Klar, die Gruppe selbst ist natürlich auch eine Untergruppe.

Nächste Frage:
Ich soll entscheiden, ob Inj(M,M) (=Menge aller injektiven Abb von M nach M), Surj(M,M), Bij(M,M), Bij(M,N) und Abb(M,M) Gruppen bzgl "o" (soll einen Verkettungsoperator darstellen) sind.
Meiner Meinung nach gilt die Assoziativität und Existenz eines neutralen Elementes für alle der Abbildungen. Jedoch existiert nur ein inverses Element, wenn die Abbildung umkehrbar und somit bijektiv ist.
Also gilt diese Eigenschaft nur für alle Abb aus Bij(M,M) und Bij(M,N).
Stimmt das?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Fast. Deine Argumentation ist richtig (wenn M Mächtigkeit größer als 1 hat) für alle diese Mengen außer Bij(M,N). Es fehlt aber noch die Abgeschlossenheit gegenüber der Operation. Warum bleibt die Verknüpfung zweier Abbildungen aus einer dieser Mengen wieder in der Menge?

Wie sieht es mit der Verknüpfung auf Bij(M,N) aus und wie mit dem neutralen Element?
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich nehme f1 und f2 aus Bij(M,M).
(Leider kann ich es mit dem Handy nicht schön schreiben mit dem Editor.)

f1of2(m)=f1(f2(m))=f1(m1)=m2

Da m2 ebenso wie m1 aus M ist, bleibt die Verknüpfung in der Menge.

Bei Bij(M,N) hätte ich ja f1(n) mit n aus N da stehen. Und so ein Wert existiert ja dann eigentlich nur, wenn N=M...

So?

Das neutrale Element ist die Identität, richtig?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Was du aufgeschrieben hast, reicht noch nicht. Es geht darum, dass für eine (injektive/surjektive/bijektive) Abbildung auch auch wieder eine (injektive/surjektive/bijektive) Abbildung ist. Habt Ihr schon teilaussagen daraus gezeigt?

Genau, für ist im allgemeinen nicht definiert. Ebenso gibt es auch keine "identische Abbildung", wenn .
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Achso. Ja, dass aus f,g bijektiv folgt, dass fog bijektiv wurde in der Vorlesung schon bewiesen. Ich kann ja dann einfach darauf verweisen.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Also: herzlichen Dank nochmal! <3
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, genau darauf wollte ich hinaus. smile Gern geschehen. Wink
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