Extremwertaufgabe: Querschnitt eines Kanals

30.10.2013, 14:39

Bullop

Extremwertaufgabe: Querschnitt eines Kanals

Hallo^^,

habe hier eine weitere Übungsaufgabe zum Thema Extremwertaufgaben. Die Aufgabenstellung lautet :

Der Querschnitt eines Kanals ist ein gleichschenklisches Dreieck. Aus bautechnischen Gründen soll
x+y=23 sein. Welche Maße sind für x und y zu wählen, damit der Querschnitt des Kanals möglichst groß wird ? Wie groß ist er ?
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Skizze dazu siehe Anhang

HB : u = 2a + c

NB : 2a+ c =23

Würde HB und NB stimmen?

30.10.2013, 14:48

klarsoweit

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RE: Extremwertaufgabe: Querschnitt eines Kanals

Zitat:

Original von Bullop
Skizze dazu siehe Anhang

HB : u = 2a + c

NB : 2a+ c =23

Würde HB und NB stimmen?

Mal abgesehen davon, daß die Variablen in HB und NB nichts mit den Bezeichnungen in der Skizze zu tun haben, solltest du nochmal über die HB nachdenken. Was soll denn möglichst groß werden?

30.10.2013, 19:07

Bullop

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Der Querschnitt soll des Kanals soll möglichst groß werden. Damit ist bestimmt h gemeint.

Also müsste die Formel für die HB folgende sein :

$\begin{eqnarray*} h = \sqrt{x^2 - 1/4* y^2} \end{eqnarray*}$

Edit (mY+): LaTeX berichtigt. Sieh dir mal an, wie man die Wurzel und das Quadrat richtig schreibt. Auch für den Bruch gibt es etwas ..

und die NB :

2*x+y ?

30.10.2013, 22:24

mYthos

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Zitat:

Original von Bullop
Der Querschnitt soll des Kanals soll möglichst groß werden. Damit ist bestimmt h gemeint.
...

Sicher NICHT. Es ist die Querschnittsfläche gemeint.

Zitat:

Original von Bullop
...
und die NB :

2*x+y ?

Sorry, das ist vollkommenen daneben. Die NB muss ja auch eine Gleichung sein. Ausserdem steht die NB ja direkt in der Angabe:

Zitat:

Aus bautechnischen Gründen soll
x+y=23 sein.

Also, zurück an den Anfang und jetzt ordentlich! Big Laugh

mY+

31.10.2013, 01:40

Bullop

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Achso, wenn die Querschnittsfläche gemint ist dann lautet die HB : A = 1/2 *y * h

Und die NB: x+y =23 ^^

31.10.2013, 08:27

klarsoweit

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Das ist soweit richtig. Allerdings hast du in der HB noch die lästige Variable h drin. Die mußt du noch mittels x und y ausdrücken (siehe deine Gleichung für h weiter oben).

31.10.2013, 13:44

Bullop

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Um h auszudrücken brauche ich diese Gleichung :

$\begin{eqnarray*} h = \sqrt{} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x² - \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} * y ² \end{eqnarray*}$ ?

Ist das dann meine 2. NB?

31.10.2013, 14:21

Mathewolf

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Du meintest sicherlich

$\begin{eqnarray*} h=\sqrt{x^2-\frac14\,y^2} \end{eqnarray*}$ .

Nein, denn diese Gleichung entspricht elementaren geometrischen Überlegungen.

31.10.2013, 14:49

klarsoweit

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Ergänzend zu Mathewolf, @Bullop: das h in der HB mußt du durch den entsprechenden Wurzelausdruck ersetzen.

31.10.2013, 16:40

Bullop

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Dann lautet die HB : $\begin{eqnarray*} A = 1/2 * y * \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{x² - 1/4 * y²} \end{eqnarray*}$

31.10.2013, 20:53

sulo

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Scheint richtig zu sein, aber:

Ich habe die Aufgabe hier mehrmals im Board gefunden und in allen Beiträgen, die ich mir angeschaut habe, waren x und y die Höhe und die Grundseite des Dreiecks, nirgendwo waren die Katheten mit x bezeichnet.

Bist du sicher, dass dein Ansatz stimmt? verwirrt

31.10.2013, 21:09

Bullop

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Ja, die Textaufgabe und die Skizze habe ich 1:1 übernommen.

31.10.2013, 21:12

sulo

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Interessant. Dann haben sich entweder alle Poster der letzten Jahre geirrt oder aber die Aufgabe wurde schwerer gemacht... geschockt

Nun gut, du musst dann also mit deiner schweren Version arbeiten.

Die Gleichung stimmt so jetzt, allerdings muss noch das x ersetzt werden.

smile

31.10.2013, 21:26

Bullop

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$\begin{eqnarray*} A = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ *y * $\begin{eqnarray*} \sqrt{2x² - 1/4 * y²} \end{eqnarray*}$

31.10.2013, 21:29

sulo

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Hmm, ich sehe jetzt nur, dass du das x² unter der Wurzel verdoppelt hast. (Warum?)
Ich sehe nicht, dass du das x² mit Hilfe der NB ersetzt hast.

verwirrt

31.10.2013, 21:41

Bullop

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Ich habe mir gedacht, da 2 Katheten gegeben sind auch vor dem x² eine 2 stehen müsste.

Muss die Gleichung dann so aussehen? :

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} * y * \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{(23 - y)² - 1/4 * y² } \end{eqnarray*}$

31.10.2013, 21:45

sulo

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Ja, so stimmt die Gleichung. Freude

Jetzt würde ich die Klammer auflösen und den Ausdruck in der Wurzel noch etwas zusammenfassen. Danach kann abgeleitet werden.

Klar gibt es hier zwei gleiche Katheten mit der Länge x.
Das x² in der Wurzel kommt jedoch (wie der gesamte Wurzelausdruck) aus der Nebenrechnung mit dem Pythagoras, wo das h ersetzt wurde.
Da ist dann die Anzahl der x vollkommen uninteressant. Augenzwinkern

31.10.2013, 21:59

Bullop

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Zitat:

Klar gibt es hier zwei gleiche Katheten mit der Länge x. Das x² in der Wurzel kommt jedoch (wie der gesamte Wurzelausdruck) aus der Nebenrechnung mit dem Pythagoras, wo das h ersetzt wurde. Da ist dann die Anzahl der x vollkommen uninteressant.

Okay alles klar.
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Nun, hier kann man doch die Binomische Formel nutzen. $\begin{eqnarray*} (a-b)² = a² -2ab + b² \end{eqnarray*}$

Bin mir jedoch nicht sicher ob ich das jetzt richtig umgeformt habe :

$\begin{eqnarray*} 529 - 46y + y² \end{eqnarray*}$ ?

31.10.2013, 22:00

sulo

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Das ist richtig umgeformt. Freude

31.10.2013, 22:06

Bullop

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$\begin{eqnarray*} 529 - 46y+y² - 1/4y² \end{eqnarray*}$ würde dann komplett so aussehen, und man kann y+y² zusammenfassen. Daraus folgt :

$\begin{eqnarray*} 529 - 46y³ - 1/4y² \end{eqnarray*}$

31.10.2013, 22:16

sulo

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Zitat:

Original von Bullop
$\begin{eqnarray*} 529 - 46y+y² - 1/4y² \end{eqnarray*}$ würde dann komplett so aussehen,

Zitat:

Original von Bullop
und man kann y+y² zusammenfassen.

Eine gewagte Behauptung...
Da solltest du noch mal drüber nachdenken. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Bullop
Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} 529 - 46y³ - 1/4y² \end{eqnarray*}$

Nein, das darf man nicht so machen.

31.10.2013, 22:20

Bullop

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483y + y² - 1/4 y² ?

Aber man kann doch das fett unterlegte Zusammenfassen, warum nicht?

31.10.2013, 22:24

sulo

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Du kannst nicht y und y² zusammenfassen, das sind unterschiedliche Terme.

Du kämst ja auch nicht auf die Idee, Meter (m) und Quadratmeter (m²) zu addieren. Augenzwinkern

31.10.2013, 22:29

Bullop

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Okay stimmt wenn man es so betrachtet.. , danke smile

Aber man kann dann sicherlich y² und 1/4 y² zusammenfassen ?

31.10.2013, 22:30

sulo

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Ja, das sollte man auch zusammenfassen. Freude

31.10.2013, 22:38

Bullop

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Dann würde folgendes rauskommen :

$\begin{eqnarray*} 529 - 46y - 1/4 y^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 483y - 1/4 y^4 \end{eqnarray*}$

31.10.2013, 22:41

sulo

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Hmm, was ist denn $\begin{eqnarray*} y^2 - \frac{1}{4} y^2 \end{eqnarray*}$

Doch nicht $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{4} y^2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Ich muss leider demnächst off gehen.
Vielleicht kann ja jemand anderes weitermachen, hier mischen ja so einige Helfer mit. Augenzwinkern

31.10.2013, 22:46

Bullop

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Achso, dann $\begin{eqnarray*} -3/4 y² \end{eqnarray*}$

Also sprich : $\begin{eqnarray*} 483y - 3/4 y² \end{eqnarray*}$

Okay dankr dir für dein Hilfe bis hierher, und eine Gute Nacht Tanzen

31.10.2013, 22:47

sulo

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Zitat:

Original von Bullop
Dann würde folgendes rauskommen :

$\begin{eqnarray*} 529 - 46y - 1/4 y^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 483y - 1/4 y^4 \end{eqnarray*}$

Und 529 und 46y kann man auch nicht zusammenfassen, ebenso wenig wie du die Zahl 4 mit 2 € zu 6 € addieren kannst. Augenzwinkern

Merke: Addiere/subtrahiere nur gleichartige Terme (also mit den gleichen Variablen) bzw. Zahlen ohne Variablen.

Multiplizieren und dividieren darfst du auch verschiedenartige Terme.

Du solltest dringend das Thema "Terme und Termumformungen" wiederholen. smile

edit:

Zitat:

Original von Bullop
Achso, dann $\begin{eqnarray*} -3/4 y² \end{eqnarray*}$

Jo.

edit: Das Minus ist allerdings nicht richtig.

Zitat:

Original von Bullop
Also sprich : $\begin{eqnarray*} 483y - 3/4 y² \end{eqnarray*}$

Nö, siehe oben.

31.10.2013, 22:54

Bullop

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Ja das sollte ich mal tun. Danke für die kleine Zusammenfassung dazu smile

Also dann $\begin{eqnarray*} 529 - 46y - 3/4 y² \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich Ableiten ?

31.10.2013, 22:59

sulo

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Fast, diesmal ist es mein Fehler, denn ich habe dir das Minus hier als richtig anerkannt: $\begin{eqnarray*} -3/4 y² \end{eqnarray*}$

Es ist aber: $\begin{eqnarray*} y^2 - \frac{1}{4} y^2 =\frac{3}{4} y^2 \end{eqnarray*}$

Das heißt, unter der Wurzel steht: $\begin{eqnarray*} 529 - 46y + \frac{3}{4} y^2 \end{eqnarray*}$

smile

31.10.2013, 23:07

Bullop

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Oha da hab ich nicht richtig aufgepasst geschockt

Jetzt weiß ich nicht so richtig ob man jetzt mit der Wurzel Ableiten oder man einfach den Term unter der Wurzel nehmen und Ableiten?

31.10.2013, 23:11

sulo

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Du musst die Produktregel anwenden, weil du die Wurzel mit dem halben y davor multiplizierst.
Für die Wurzel selbst musst du noch die Kettenregel anwenden.

Ich bin aber, wie angekündigt, jetzt weg und kann dir erst morgen Nachmittag wieder helfen.
Vielleicht springt aber auch klarsoweit wieder ein und bespricht die nächsten Schritte mit dir.

Gute Nacht. Wink

31.10.2013, 23:41

Bullop

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Produkt und Kettenregel haben wir bisher noch gar nicht behandelt Erstaunt2

Gibt es keinen anderen Weg?

02.11.2013, 00:12

mYthos

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Ja, es gibt tatsächlich auch den Weg über die Vereinfachung der Ansatzfunktion, womit man die Wurzel und deren Ableitung, samt Kettenregel, umgehen kann.
Wir nützen die Tatsache, dass, wenn ein Wurzelausdruck ein Extremum werden soll, auch dessen Quadrat an derselben Stelle das Extremum besitzt (Nullstellen des Radikanden sind dabei ausgeschlossen).

In der vorliegenden Aufgabe kann dann geschrieben werden (Querschnittsfläche A soll maximal werden):

$\begin{eqnarray*} 2A = y \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2A)^2 = y^2h^2 \end{eqnarray*}$

Mittels der aus dem rechtwinkeligen Dreieck UND der Nebenbedingung resultierenden Beziehung ist dann

$\begin{eqnarray*} (2A)^2 = y^2(23-y)^2 - \frac{y^4} 4 \end{eqnarray*}$

und schließlich

$\begin{eqnarray*} f(y) = 529y^2 - 46y^3 + \frac {3y^4} 4 \end{eqnarray*}$

Nun Ableitungen bilden, Extremwert bestimmen, usw. wie üblich ..

mY+

02.11.2013, 17:19

Bullop

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Ersteinmal danke dafür das du noch einen anderen Weg gefunden hast, dickes Lob smile

Habe jedoch trotzdem noch eine Frage dazu:

Und zwar ist mir der Schritt bis ( $\begin{eqnarray*} 2A)² = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} y²(23 -y)² - y^4 /4 \end{eqnarray*}$ einleuchtend.

Jedoch bei dem nächsten Schritt :

$\begin{eqnarray*} f(y) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 529y² - 46y³ + 3y^4/4 \end{eqnarray*}$ ist mir noch nicht bewusst, wie man auf die $\begin{eqnarray*} + 3y^4/4 \end{eqnarray*}$ kommt.

02.11.2013, 19:30

sulo

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Stichwort: Binomische Formeln. Augenzwinkern

Was erhältst du denn, wenn du hier die Klammer auflöst? $\begin{eqnarray*} y²(23 -y)² \end{eqnarray*}$

smile

03.11.2013, 00:24

Bullop

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Wenn ich bei y² (23-y)² die 2. Binomische Formel anwende dann erhalte ich :

$\begin{eqnarray*} 529 y² - 46y³ + y^4 \end{eqnarray*}$

Hmm aber wieso $\begin{eqnarray*} 3y^4/4 \end{eqnarray*}$

03.11.2013, 09:58

sulo

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Hatten wir ein ähnliches Problem nicht schon mal in diesem Thread? Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} y²(23 -y)² - \frac {y^4}{ 4} = 529 y² - 46y³ + y^4 - \frac {y^4}{ 4} = ... \end{eqnarray*}$

smile

03.11.2013, 12:43

Bullop

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danke^^

denn, $\begin{eqnarray*} 1y^4 - 1/4 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = + 3y^4/4 \end{eqnarray*}$

Bilde jetzt die ABleitungen:

$\begin{eqnarray*} f ' (y) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 1058y - 138y² + 12y³/4 \end{eqnarray*}$

Damit es für die Optik besser aussieht, möchte ich die Gleichung anderesherum haben:

$\begin{eqnarray*} f ' (y) = 12y³/4 -138y² + 1058y \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} f '' (y) = 1058 - 276y + 36y²/4 \end{eqnarray*}$

Das gleiche dann auch bei der 2. ABleitung:

$\begin{eqnarray*} f ''(y) = 36y²/4 -276y+1058 \end{eqnarray*}$ ?

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