Wohldefiniertheit bei Äquivalenzklassenabbildungen

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marcelneu Auf diesen Beitrag antworten »
Wohldefiniertheit bei Äquivalenzklassenabbildungen
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich sitze momentan an einer Aufgabe zu Äquivalenzklassen und deren Wohldefiniertheit, bei der ich nicht weiß, was zu tun ist.
Die Aufgabe ist folgende:

Zeigen Sie, dass die folgenden Zuordnungen wohlde nierte Abbildungen sind.
(i)

(ii) Ist dasselbe mit der Multiplikation, wobei am Ende steht:

Dazu muss ich sagen, dass sowohl das Plus als auch das Mal nicht in einem kleinen Kreis, sondern in einem Quadrat stehen. Dieses Zeichen kenn ich jedoch überhaupt nicht, dachte es könnte evtl genau dieses gemeint sein. Ich wäre sehr dankbar für ein paar Erläuterungen zur Aufgabe, um zu verstehen, was überhaupt zu zeigen ist, und was dort überhaupt auf was genau abgebildet wird. Danke im voraus!

Meine Ideen:
Meine Ideen halten sich aufgrund der Verständnisschwierigkeiten natürlich arg in Grenzen! Ich dachte bis jetzt, dass nun diese Addition (zu (i)) auf den Raum abgebildet wird, wie es am Ende der Definitionskette steht.
Aus dem einzigen Beweis für Wohldefiniertheit den ich kenne nahm ich nun den Ansatz .
Wie ich von dort jedoch irgendwie auf eine Addition schließen kann, ist mir leider überhaupt nicht ersichtlich.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In deinem ganzen Text fehlt, wie denn die Relation definiert ist.
(Vielleicht geht es hier um die Konstruktion von aus .)
marcelneu Auf diesen Beitrag antworten »

Also das ist die b) einer Aufgabe, allerdings habe ich das R aus a) bis jetzt noch garnicht damit in Verbindung gebracht, da sonst die Teilaufgaben auch völlig unabhängig voneinander sind. Wenn ich wüsste was R ist, wäre das ja schonmal ein ordentlicher Schritt in die richtige Richtung!
In a) ist .
Tut mir leid, dass ich nicht von selbst drauf komme, das direkt mitzuschreiben!
marcelneu Auf diesen Beitrag antworten »

Da steckt immernoch ein Fehler drin! Eigentlich:
.

Ist der Ansatz mit dem Gleichsetzen zweier unterschiedlicher Representanten überhaupt brauchbar? Ich finde mich noch nicht gut zurecht, wie ich überhaupt anfangen soll und vor allem was genau gezeigt werden muss.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal solltest du damit anfangen nachzuweisen, daß eine Äquivalenzrelation ist. Zunächst zur Schreibweise.

Die Relation besteht aus Paaren von Paaren. Gehört ein solches Paar-Paar der Relation an, so schreibt man wie immer bei Mengen . Besser im Hinblick auf später ist aber die folgende Schreibweise:



Und gemäß Definition ist das genau dann der Fall, wenn ist.

Vielleicht fangen wir einmal mit Beispielen an. Setze an die Stelle von das richtige Zeichen: beziehungsweise .











marcelneu Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das war die a) und ich meine das auch schon gemacht zu haben.
Ich habe mir die Äquivalenz in die drei Teileigenschaften reflexiv, symmetrisch und tranisitiv eingeteilt und einzeln nachgewiesen, dass sie erfüllt sind.
Reflexiv ist die Relation, da in dem Fall (a,b) zu (a,b) in Relation stehen soll, und das mit der vorschrift a+d=b+c genau a+b=a+b ergeben würde.
Symmetrisch ist die Relation, da wenn (a,b)R(c,d) gilt: a+d=b+c. Wenn nun auch (c,d)R(a,b) gelten soll, müsste c+b=d+a gelten. Diese Gleichung gilt natürlich aufgrund der ersten.
Tranisitiv ist die Relation, da ich wenn (a,b)R(c,d) und (c,d)R(e,f) ist, ein Gleichungssystem erhalte welches mir nach Umformung a+f=b+e liefert.
Wir schreiben übrigens immer das R zwischen die Elemente die in Relation stehen, denke das zeichen ist unserm R entsprechend oder?

Wenn ich mich bei der Überprüfung Ihrer Beispiele an die Gleichung halte, die die Relationsmenge definiert erhalte ich:
(2,7)(3,5)
(8,4)(4,8)
(8,4)(9,5)
(8,4)(8,4)
(9,5)(8,4)
(9,5)(4,8)
 
 
marcelneu Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage zum weiteren Vorgehen.
Wenn ich nun und annehme, und mit den daraus gewonnenen Erkenntnissen zeigen kann, dass auch gilt, habe ich die Aufgabe dann erfüllt?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre das geklärt!

Jetzt sollst du nachweisen, daß die Operation



wohldefiniert, also repräsentantenunabhängig ist. Die eckigen Klammern stehen für die Äquivalenzklassenbildung bezüglich . Das lasse ich weg, da es sich im Zusammenhang von selbst versteht.

Du mußt also zeigen, daß du dieselbe Äquivalenzklasse erhältst, wenn du zu anderen Repräsentanten übergehst:



Jetzt nimmst du einmal die ersten beiden Repräsentanten, also



Dann die zweiten beiden:



Links haben sich zwar die Repräsentanten geändert, nicht jedoch die Äquivalenzklassen, denn und (wegen der jeweiligen Äquivalenz).

Wenn jetzt die Ergebnisse rechts nicht übereinstimmten, dann hätten wir ein Problem, die Definition wäre in sich widersprüchlich, oder in der Fachsprache: wäre nicht wohldefiniert. Was ist also noch zu zeigen?

EDIT
Dein nachgeschobener Beitrag zeigt: Problem erkannt. Freude
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Administrator: kann gelöscht werden
marcelneu Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Danke vielmals, den Tag haben Sie mir absolut gerettet!
marcelneu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nun aus dieser Annahme und gefolgter, dass a'-a=b'-b und c'-c=d'-d.
Danach habe ich die Gleichung, die die Relationsmenge definiert auf den Ausdruck bzw. angewendet, und anschließend so umgestellt und zusammengefasst, dass dort steht .
Da ich bei meiner Annahme ja zwei Gleichheiten bestimmen konnte die hier wieder auftauchen, kann ich sagen, dass die Gleichung erfüllt ist. Damit ist doch die Wohldefiniertheit gezeigt, oder fehlt noch etwas, bzw ist das von der Logik und vom Aufbau in Ordnung?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

i) Die Repräsentantenunabhängigkeit hast du damit gezeigt. Also die Folgerung:


Damit ist die Addition auf den Äquivalenzklassen wohldefiniert.



Fehlt noch ii). Wobei ich vermute, dass sich bei der Definition der Multiplikation ein Fehler eingeschlichen hat.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stimme RavenOnJ nicht ganz zu. Wir sind in . Dort ist die Subtraktion nur eine partielle Operation. Verzichte daher in der Beweisführung auf Subtraktionen. Es läßt sich auch alles bloß mit Addieren erledigen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold
Da hast du recht, das war mir nicht aufgefallen. Aber die Subtraktion ist ja auch unnötig für die Beweisführung.
marcelneu Auf diesen Beitrag antworten »

Inwiefern kann ich denn auf die Subtraktion verzichten?
Ich muss doch aus meiner Annahme Gleichungen folgern, die mir hinterher die Gleichheit der so definierten Addition unabhängig von den Repräsentanten zeigen, oder?
Wie forme ich die Gleichungen aus der Annahme denn um, ohne "das eine auf die andere Seite zu ziehen"?
Und welches Problem ergibt sich mit der Subtraktion in ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »





Aus den beiden Gleichungen folgt:



marcelneu Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit nem Vierzeiler hätte ich bei der Aufgabe absolut nicht gerechnet Big Laugh
Danke vielmals für die Hilfe, hat mir sehr geholfen!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von marcelneu

Und welches Problem ergibt sich mit der Subtraktion in ?


Dass die Subtraktion aus herausführt:
marcelneu Auf diesen Beitrag antworten »

Achso klar, das macht Sinn! Danke!
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