Vektorraum untersuchen

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30.10.2013, 20:04	haldol	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum untersuchen Hallo, ich soll bestimmen ob die Menge M aller $\begin{eqnarray} (x,y,z) \in \mathbf{Q}^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x+2y+3z=0, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-y+z=0. \end{eqnarray}$ ein Vektorraum ist .Machen tue ich das mit Vektoraddition und Skalarmultiplikation. Was mich hier verwirrt ist, dass ich es mit zwei Gleichungen, getrennt durch ein Komma zu tun habe. Behandele ich das erstmal wie ein Gleichungssystem? Habe dann also: $\begin{eqnarray} M=(-\frac{1}{2}y ,y , \frac{3}{2}y) \end{eqnarray}$ und rechne dann $\begin{eqnarray} M+M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambdaM \end{eqnarray*}$ Ich sitze hier, finde keine vergleichbaren Aufgaben und habe das Gefühl garnichts verstanden zu haben.
30.10.2013, 20:16	MatheIstLustig	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum untersuchen Hallo, du solltest zwei Sachen zeigen: 1. Wenn Du zwei Vektoren aus dem Vekrottaum addierst, erhälst du wieder einen Vektor des Vektorraumes. (Ebenso für das Skalarprodukt. 2. Für die Addition und die Skalarmultiplikation gelten die Vektorraumaxiome. soweit zunächst einmal. Kannst Du mit diesen Tipps etwas anfangen? mfg
30.10.2013, 20:53	haldol	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal sehen: $\begin{eqnarray} (x,2y,3z)+(x,-y,z)=(2x+y+4z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda (2x,y,4z) = (\lambda2x, \lambda y, \lambda 4z) \end{eqnarray}$ dann muss noch gelten $\begin{eqnarray} (2x+(y+4z)=((2x+y)+4z) \end{eqnarray}$ Assoziativität (wahr) $\begin{eqnarray} 0+(2x+(y+4z)=((2x+y)+4z) \end{eqnarray}$ neutrales Element (wahr) $\begin{eqnarray} (2x,y,4z)-(2x,y,4z) =0 \end{eqnarray}$ (wahr) $\begin{eqnarray} (x,2y,3z)+(y,-y,z)=(y,-y,z)+(x,2y,3z) \end{eqnarray}$ (wahr)
30.10.2013, 20:57	haldol	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab mich im unteren Teil in den ersten beiden Zeilen mit den Klammern vertan: $\begin{eqnarray} (2x+(y+4z))=((2x+y)+4z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0+(2x+y+4z)=(2x+y+4z) \end{eqnarray}$
30.10.2013, 21:07	MatheIstLustig	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hast Du die Gleichungen in die Vektoren geschrieben. Fangen wir zunächst mal so an: Für den Vektor $\begin{eqnarray} (x,y,z) \in \mathbf{Q}^3 \end{eqnarray}$ gelten die beiden Gleichungen. ebenso gelten für den Vektor $\begin{eqnarray} (x',y',z') \in \mathbf{Q}^3 \end{eqnarray}$ die beiden Gleichungen. Jetzt musst Du zeigen auch für (x,y,z)+(x',y',z') gelten die beiden Gleichungen. Ebenso für die Skalarmultiplikation.
30.10.2013, 21:33	haldol	Auf diesen Beitrag antworten »
Arbeite ich jetzt mit dem Vektor, der bei dem Gleichungssytem herauskommt? Ist $\begin{eqnarray} M=(-2.5y, y, -1.5y) \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} x=-2.5y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y= \end{eqnarray}$ frei wählbar? $\begin{eqnarray} z=-1.5y \end{eqnarray}$ oder mache ich es wie vorangegangen und setze z.B. für x=1, y=1, z=1 und für x'=0, y'=0 z'=0 Ich sitze hier mit dem Skript und insgesamt 3 Büchern und finde nicht ein Beispiel dafür.
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30.10.2013, 21:44	MatheIstLustig	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du mit den Vektoren anfängst, die ich vorgeschlagen habe, dann musst Du zeigen: für $\begin{eqnarray} (x+x', y+y', z+z') \end{eqnarray}$ gelten die beiden Gleichungen $\begin{eqnarray} x+2y+3z=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x-y+z = 0 \end{eqnarray}$ . Jetzt habe ich (vielleicht etwas irritierend) die Variablen x,y und z in zwei verschiedenen Bedeutungen benutzt. Wenn dich das irritiert, können wir die Bezeichnungen auch noch austauschen.
30.10.2013, 22:11	haldol	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nach wie vor nicht, ob irgendein Teil oben richtig ist, oder eben nichts davon. Lesen tue ich überall, dass um einen Tripel aus einer Menge V geht. Einen Tripel habe ich, wenn zuerst das Gleichungssystem löse, und mit der Lösungsmenge arbeite. Dann würde $\begin{eqnarray} V+V \rightarrow V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ einen Sinn machen Ich brauche eine ähnliche Aufgabe, an der ich mir das Vorgehen klar machen kann.
30.10.2013, 22:34	MatheIstLustig	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Umformungen mit den Gleichungen sind soweit richtig, aber nicht notwendig, um diese Aufgabe zu lösen. Deine anderen Rechnungen sind nicht richtig. Wie oben bereits geschrieben (jetzt mit anderen Buchstaben) ist der Ansatz: Zunächst nehme ich zwei beliebige Vektoren, die beide Gleichungen erfüllen: Seien also der Vektor $\begin{eqnarray} (a,b,c) \in \mathbf{Q}^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a+2b+3c=0, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a-b+c=0. \end{eqnarray}$ und der Vektor $\begin{eqnarray} (d,e,f) \in \mathbf{Q}^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} d+2e+3f=0, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d-e+f=0. \end{eqnarray}$ gegeben. Nun ist zu zeigen: dann erfüllt auch $\begin{eqnarray} (a,b,c)+(c,d,e)=(a+c,b+d,c+e) \end{eqnarray}$ die beiden Gleichungen. Zu zeigen ist zum einen: $\begin{eqnarray} (a+c)+2(b+d)+3(c+e) =0 \end{eqnarray}$ Dabei darfst du die beiden Gleichungen $\begin{eqnarray} a+2b+3c=0, \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d+2e+3f=0, \end{eqnarray}$ benutzen. Zum anderen musst Du genauso zeigen, dass die zweite Gleichung gilt. Das wäre dann der Teil für die Addition. Die Rechnung für das Skalarprodukt geht genauso.
30.10.2013, 22:50	haldol	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke das bringt mich jetzt wirklich weiter. Ich mache das gerade erstmal auf Papier und setze mein Ergebnis später in Latex hier rein - kann etwas dauern, daher sag ich einfach schon mal Danke für deine Mühe.
30.10.2013, 23:13	haldol	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ab hier: $\begin{eqnarray} (a,b,c)+(c,d,e)=(a+c,b+d,c+e) \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} (d,e,f) \in \mathbf{Q}^3 \end{eqnarray}$ nicht mehr auftaucht ist richtig?
30.10.2013, 23:33	MatheIstLustig	Auf diesen Beitrag antworten »
Upps Nein, der zweite Vektor heißt ja: (d,e,f) also korrekt: (a,b,c) + (d,e,f) = (a+d, b+e, c+f) und entsprechend in der Gleichung: (a+d)+2(b+e)+3(c+f) so ich hoffe, die Tippfehler sind ausgemerzt. sry,
30.10.2013, 23:36	MatheIstLustig	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe, Du komst jetzt voran. Ich schaue morgen noch einmal rein. Für heute abend verabschiede ich mich ins warme Bett. Gute Nacht und noch viel Erfolg

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