Komplexe Zahlen

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01.11.2013, 12:22	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Meine Frage: Könnt ihr mich durch diese Aufgabe führen? Vorab: was bedeuten die Betragsstriche in dieser Aufgabe? kann ich die einfach genau wie eine Klammer behandeln? Meine Ideen: $\begin{eqnarray} (2+2i)^2+\frac{\| \sqrt{5}+i\sqrt{2} \|^2 }{i} \end{eqnarray}$
01.11.2013, 12:26	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann würde ich so anfangen $\begin{eqnarray} 2-2+\frac{5+1^22}{i} \end{eqnarray*}$ und den bruch mit dem konjugierten nenner erweitern
01.11.2013, 12:32	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, Betragsstriche sind natürlich nicht einfach wie Klammern zu behandeln. Wie ist der Betrag einer komplexen Zahl definiert?
01.11.2013, 12:34	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Betrag ist immer positiv
01.11.2013, 12:37	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine umgangssprachliche Beschreibung, wir suchen hier aber nach einer genauen mathematischen Definition. Für eine komplexe Zahl $\begin{eqnarray} x+i\cdot y \end{eqnarray}$ ist der Betrag definiert als $\begin{eqnarray} \|x+i\cdot y\|=\dots \end{eqnarray}$ Etwas in dieser Art sollte in deinen Unterlagen stehen, das brauchen wir hier.
01.11.2013, 12:44	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz ehrlich ich find in meinem Buch nichts zu Beträgen von komplexen Zahlen *** doch ich habs gefunden $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{\sqrt{5}^2+\sqrt{2}^2} \end{eqnarray}$ Wäre das nicht die wurzel aus 7 .....und wenn ich dann hoch 2 nehmen dann würde $\begin{eqnarray} \frac{7}{i} \end{eqnarray}$ nur so eine vermutung 5fach Post zusammengefügt. LG Iorek
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01.11.2013, 12:56	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte vermeide es, fünffachposts zu erstellen. Nimm dir die Zeit deinen Beitrag genau zu überdenken, solltest du doch etwas vergessen haben, so nutze die Editierfunktion. Deine Rechnung stimmt soweit.
01.11.2013, 13:08	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die linke Klammer wäre dann 4+222i+(2i)^2=8i $\begin{eqnarray} 8i+\frac{7}{i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{8i}{i}+ \frac{7}{i} \end{eqnarray}$ so richtig bis jetzt?
01.11.2013, 13:10	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo kommt das $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ im Nenner bei $\begin{eqnarray} 8i \end{eqnarray}$ her?
01.11.2013, 13:13	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist falsch ich komm auch nicht mehr weiter
01.11.2013, 13:20	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was willst du denn als nächstes machen? Du hast: $\begin{eqnarray} 8i+\frac 7i \end{eqnarray}$ Das könnte man noch zusammenfassen, indem man $\begin{eqnarray} \frac 7i \end{eqnarray}$ etwas umschreibt und auf die kartesische Form $\begin{eqnarray} a+i\cdot b \end{eqnarray}$ bringt. Dazu bietet es an, mit dem komplex konjugierten des Nenners zu erweitern.
01.11.2013, 13:25	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 8i+\frac{7}{i}\frac{i}{i} \end{eqnarray*}$ ich glaub nicht das ich das so richtig verstanden hab
01.11.2013, 13:31	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht die Umformung die ich meinte, allerdings führt diese hier auch zum Ziel.
01.11.2013, 13:34	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{7i}{1^2} \end{eqnarray}$ =-7i =8i-7i=i So richtig? wie hättest du das gemacht?
01.11.2013, 13:37	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst wahrscheinlich $\begin{eqnarray} i^2 \end{eqnarray}$ im Nenner, dein Endergebnis stimmt. Normalerweise wenn man den Quotienten von zwei komplexen Zahlen hat $\begin{eqnarray} \frac{a+ib}{c+id} \end{eqnarray}$ und das auf die kartesische Form mit $\begin{eqnarray} x+iy \end{eqnarray}$ bringen will, erweitert man mit dem komplex konjugierten des Nenners: $\begin{eqnarray} \frac{a+ib}{c+id}\cdot \frac{c-id}{c-id} \end{eqnarray}$ . Bei der Aufgabe hier macht das allerdings kaum einen Unterschied, da nur $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ im Nenner steht.
01.11.2013, 13:41	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
aber wie hätte ich das mit 8i machen können? oder bezog sich das nur auf 7/i ?
01.11.2013, 13:45	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir ei dieser Aufgabe auch helfen? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\frac{1+i}{\sqrt{2} } \end{pmatrix}hoch17 \end{eqnarray}$ Das hoch 17 verwirrt mich total
01.11.2013, 13:47	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bezog sich nur auf die $\begin{eqnarray} 7i \end{eqnarray}$ . Für die zweite Aufgabe solltest du dir die Polarform komplexer Zahlen ansehen.
01.11.2013, 13:59	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}+\frac{i}{\sqrt{2} } } \end{eqnarray}$ anscheinend muss ich ja die 1/wurzel aus 2 in radiantform(wie immer das auch heißt) ausdrücken oder? $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2} }+\frac{i}{\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ so meinte ich das ^^ 3fach Post zusammengefügt. LG Iorek
01.11.2013, 14:04	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch einmal: bitte keine Doppel- und Dreifachposts. Nutze die Vorschaufunktion um deine Ausführungen zu überprüfen ob alles korrekt dargestellt wird und greife zur Not auf die Möglichkeit des Editierens zurück. Das ist zunächst einmal der Ausdruck in der Klammer, ja. Diesen musst du nun in die Polaform bringen.
01.11.2013, 14:20	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} z=1e^{i\frac{\pi }{4} } \end{eqnarray}$ ist das richtig? das ist jetzt der Zähler. Im Nenner habe ich r=wurzel aus 2 und winkel phi gleich 0
01.11.2013, 14:31	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist Polarform. Mit Hilfe der Potenzgesetze kannst du jetzt auch das ganze hoch 17 berechnen.
01.11.2013, 14:44	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1e^{i45°} }{\sqrt{2}e^{i0°} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2} }hochi45°17° \end{eqnarray*}$ ist das so?
01.11.2013, 14:53	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann muss ich meine Bestätigung von eben nochmal zurücknehmen, da hatte ich dich falsch verstanden. Du hast in der Polarform nämlich gar keinen Bruch mehr, sondern einfach $\begin{eqnarray} \frac 1{\sqrt 2}+\frac i{\sqrt 2}=e^{i\cdot\frac\pi 4} \end{eqnarray}$ . Also ist dann $\begin{eqnarray} \left(\frac 1{\sqrt 2}+\frac i{\sqrt 2}\right)^{17}=\left(e^{i\cdot\frac\pi 4}\right)^{17} \end{eqnarray}$ und letzteres kann man mit den Potenzregeln berechnen.
01.11.2013, 14:57	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
nee brauchst nicht erklären ich hab ihn verstanden
01.11.2013, 15:12	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^{\frac{i\pi 17}{4} } \end{eqnarray*}$ ich komme nicht auf die lösung stumpf multiplizieren und teilen kann doch nicht sein oder ?
01.11.2013, 15:32	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komme nicht auf die lösung stumpf multiplizieren und teilen kann doch nicht sein oder ?
01.11.2013, 16:09	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre echt nett wenn mi noch eben einer hilft auf die Lösung zu kommen weil ich das ergebnis in der Gaußschen Zahlenebne darstellen möchte
01.11.2013, 18:23	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt es jetzt ein paar Möglichkeiten, das noch zu vereinfachen. Am einfachsten dürfte es sein, $\begin{eqnarray} e^{2i\pi}=1 \end{eqnarray}$ auszunutzen. Versuche mit den Potenzgesetzen das ganze in einen Ausdruck $\begin{eqnarray} e^{2i\pi}\cdot e^x \end{eqnarray}$ zu zerlegen.
01.11.2013, 19:34	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 17 ist mir wie ein Dorn im Auge ich kann damit nichts anfangen.
01.11.2013, 19:49	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^{\frac{2\pii}{4} }e^{\frac{15\pi i}{4} } \end{eqnarray}$ so?
01.11.2013, 20:17	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^{\frac{i\pi }{4} }e^{\frac{i16\pi }{4} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{\frac{i\pi }{4} }e^{\frac{i\pi4 }{1} } \end{eqnarray}$ ich glaub das passt schon eher
01.11.2013, 20:22	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das passt. Jetzt nutze wie gesagt aus, dass $\begin{eqnarray} e^{2i\pi}=1 \end{eqnarray}$ ist.
01.11.2013, 20:26	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie geht das?
01.11.2013, 20:41	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte sag mir den letzten Schritt ich habe keinen Ansatz wie ich das lösen sollte
01.11.2013, 21:48	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^{\frac {i\pi}4}\cdot e^{4i\pi}=e^{\frac {i\pi}4}\cdot e^{2i\pi}\cdot e^{2i\pi}=\dots \end{eqnarray}$
02.11.2013, 09:22	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
= $\begin{eqnarray} e^{\frac{i\pi }{4} } \end{eqnarray}$ und wie kann ich das ergebnis jetzt in die gaußsche zahlenebene darstellen? ich meine bei der vorherigen aufgabe hatten wir "i" raus da war das ja nicht so schwer mit dem darstelllen
02.11.2013, 10:44	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dafür musst du das jetzt zurück in die kartesische Form bringen. Du hattest ja zuerst $\begin{eqnarray} \frac 1{\sqrt 2}+\frac i{\sqrt 2} \end{eqnarray}$ in die Polarform gebracht, du kannst jetzt $\begin{eqnarray} e^{\frac {i\pi}4} \end{eqnarray}$ wieder auf so eine Form bringen (die Schritte quasi rückwärts durchgehen).
02.11.2013, 10:54	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
x=cos45°=0,707 y=sin45°=0,707 z=0,707+i0,707 wenn das richtig ist kann ich das ja so übertragen
02.11.2013, 11:40	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind bestenfalls Näherungswerte. Du solltest die exakten Werte angeben.

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