Grad einer Körpererweiterung bzw. Minimalpolynom

01.11.2013, 14:41	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
Grad einer Körpererweiterung bzw. Minimalpolynom Meine Frage: Bestimme den Grad der Körpererweiterung $\begin{eqnarray} \left[ \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}):\mathbb{Q} \right] \end{eqnarray}$ für eine Primzahl $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und zeige, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}):\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ keine Zwischenkörper hat. Meine Ideen: Ich vermute, dass folgt mit dem Minimalpolynom $\begin{eqnarray} \mu(x)=x^p-2 \end{eqnarray}$ und der Grad des Minimalpolynoms gerade den Grad der Körpererweiterung angibt, also $\begin{eqnarray} \left[ \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}):\mathbb{Q} \right]=p \end{eqnarray}$ und mit der Gradformel $\begin{eqnarray} \left[ M:K \right]=\left[ M:L \right]\cdot\left[ L:K \right]=p \end{eqnarray}$ folgt dass es keinen Zwischenkörper $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ gibt, da sonst $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ nicht prim wäre.
01.11.2013, 15:59	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist richtig. Du musst nur noch begründen, warum $\begin{eqnarray} x^p-2 \end{eqnarray}$ das Minimalpolynom ist. Am leichtesten macht man das, indem man zeigt, dass es irreduzibel ist.
02.11.2013, 11:40	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde einfach mal sagen, dass für $\begin{eqnarray} \mu(x)=x^p-1, \mu(\sqrt[p]{2})=0 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \mu \in \ker \sigma \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ Einsetzungshomomorphismus, und daher ist $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ das Minimalpolynom vom $\begin{eqnarray} \sqrt[p]{2} \end{eqnarray}$ und hierfür gilt $\begin{eqnarray} \mu \; ist \; irreduzibel \; in \; \mathbb{Q}\left[X\right] \end{eqnarray}$
02.11.2013, 12:06	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst doch erst zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mu = x^p-2 \end{eqnarray}$ irreduzibel ist, um zu folgern, dass es das Minimalpolynom ist. Sonst könnte es ja noch ein kleineres Polynom geben...
02.11.2013, 13:41	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte wohl auch mit dem Eisensteinkriterium über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}\left[X\right] \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p=2 \end{eqnarray}$ argumentieren und nach so nem Lemma von Gauß, dass das für Koeffizienten aus $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ dann auch über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}\left[ X \right] \end{eqnarray}$ irreduzibel ist.
02.11.2013, 14:01	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genauso ist es.
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