span und lineare Un-/Abhängigkeit

01.11.2013, 17:56

TaA_9

span und lineare Un-/Abhängigkeit

Hallo zusammen. ich habe hier eine Aufgabe, weiss aber nicht wie anfangen??

Aufgabe:
Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Seien $\begin{eqnarray*} v_{1},...v_{k} \in V \end{eqnarray*}$ Vektoren, die linear unabhängig sind, und sei $\begin{eqnarray*} w \in V \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie, das die folgenden Aussagen äquivalent sind:
1) $\begin{eqnarray*} w \in span(v_{1},...,v_{k}) \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} v_{1},...,v_{k},w \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig.

ich weiss nur dass linear abhängig ist, wenn die Koeffizienten nicht alle gleich 0 sind.

Kann mir jemand bitte helfen?

01.11.2013, 18:39

micha_L

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RE: span und lineare Un-/Abhängigkeit
Hallo,

ok, erst mal allgemein:
Eine Äquivalenz $\begin{eqnarray*} A\iff B \end{eqnarray*}$ zeigt man häufig durch die beiden Implikationen $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\Rightarrow A \end{eqnarray*}$ .

Das erlaubt es einem, sich auf eine Richtung zu konzentrieren. Nimm doch mal die folgende Implikation $\begin{eqnarray*} w\in\mathrm{span}(a_1,\ldots, a_k)\Rightarrow\{a_1,\ldots,a_k,w\} \end{eqnarray*}$ linear abhängig.

Dazu müsstest du "formalisieren", was $\begin{eqnarray*} w\in\mathrm{span}(a_1,\ldots, a_k) \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Was bedeutet es denn?

Mfg Michael

01.11.2013, 21:01

TaA_9

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RE: span und lineare Un-/Abhängigkeit
ich kann annehmen dass span eine Teilmenge von V ist
und w ist ein Vektor

ausserdem weiss ich, dass v1-vk linear unabhängig sind, das heisst die Koeffizienten sind alle null. aber wenn w noch dazu kommt dann hat w einen anderen Koeffizient als von den v's und der ist nicht null

bin ich da richtig?

01.11.2013, 21:25

micha_L

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RE: span und lineare Un-/Abhängigkeit
Hallo,

Zitat:

Original von micha_L
[...]
Dazu müsstest du "formalisieren", was $\begin{eqnarray*} w\in\mathrm{span}(a_1,\ldots, a_k) \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Was bedeutet es denn?
[...]

Bitte antworte auf diese Frage!

Mfg Michael

01.11.2013, 22:41

TaA_9

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RE: span und lineare Un-/Abhängigkeit
eben w ist ein Vektor und ist element von den Linearkombintationen von v1 bis vk

oder wie meinst du "formalisieren"?

01.11.2013, 22:51

10001000Nick1

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Doppelpost: http://www.gute-mathe-fragen.de/59814/span-und-abhangigkeit
Und dort wurde auch schon eine ausführliche Antwort gegeben.

01.11.2013, 23:03

TaA_9

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Doppelpost: http://www.gute-mathe-fragen.de/59814/span-und-abhangigkeit
Und dort wurde auch schon eine ausführliche Antwort gegeben.

leider ist die antwort nicht ausführlich. und es ist noch komplizierter als was micha geschrieben hat.

Hat völlige Verwirrung ausgelöst :-(

02.11.2013, 12:57

micha_L

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RE: span und lineare Un-/Abhängigkeit
Hallo,

Zitat:

Original von TaA_9
eben w ist ein Vektor und ist element von den Linearkombintationen von v1 bis vk

oder wie meinst du "formalisieren"?

Weniger "Umgangs"sprache, mehr Mathematik.
Vermutlich bist du eher unteren Semesters. Da geht es in den Aufgaben vermutlich (jedenfalls anfangs) um die Formalisierung.
Das bedeutet, einen Sachverhalt mathematisch korrekt darzustellen.

Du scheinst auf sprachlicher Ebene (!) verstanden zu haben, was es bedeutet, dass Vektor $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathrm{span}(v_1,\ldots,v_k) \end{eqnarray*}$ ist.

Aber was heißt das mathematisch?

Verstehe, dass die Sprache zwar das Medium ist, um Gedanken (und damit auch Mathematik) zu kommunizieren. SIe ist aber meist nicht besonders genau. Daher schreiben Mathematiker etwas, wovon sie reden wollen, zunächst mathematisch ganz genau auf (formalisiert). Da aber diese Art leider ziemlich umständlich ist, geben sie diesen Dingen eine mehr oder weniger einprägsame Abkürzung.
Als Erstsemester geht es vor allem darum, zwischen den beiden Darstellungen gut wechseln zu können. So auch hier.

Also versuche bitte, die eher umgangssprachliche Ausdrucksweise " $\begin{eqnarray*} w\in\mathrm{span}(v_1,\ldots,v_k) \end{eqnarray*}$ " in konkrete(re) Mathematik umzuwandeln.

Tipp dazu: Das mathematische Kurzwort "span" ist ja nicht selbsterklärend. Es muss also in der Vorlesung definiert worden sein! Schau doch mal nach, was ihr da an entsprechender Stelle aufgeschrieben habt.

Und dann überlege, was es bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ein Element dieses Spanns ist.

Mfg Michael

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