Relationen und Äquivalenzrelationen

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Thorsten_2 Auf diesen Beitrag antworten »
Relationen und Äquivalenzrelationen
Meine Frage:
Hallo,

ich brauche eure Hilfe.
Kann mir jemand, möglichst einfach, erklären wie ich folgenden Ausdruck lesen kann:

EDIT: Ich habe den Ausdruck als Anhang eingeügt, da Sonderzeichen nicht erkannt wurden

Warum exisitert hier eine Äquivalenzrelation von R auf Menge M?
Was ist die Äquivalenzklasse von x?

Wie gehe ich bei solchen Aufgaben vor?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Thorsten


Meine Ideen:
Ich benötiger einfach ein Beispiel wie ich hier vorgehen kann.
Um die Relation zu Beweisen müssen folgende Eigenschaften existieren:
reflexiv, symmetrisch, transitiv

Ich kenne mich zwar mit Quantoren etwas aus, jedoch überfordert mich dieser lange Ausruck.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Da fragst du aber auch was. Hast du schon mal von Kongruenzrechnung gehört (C.F.Gauß um 1800) ?
Thorsten_2 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nicht, nein. :-(
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

von google und wikipedia auch noch nicht ?
dann studiere bitte dies (das brauchst du immer wieder ! ): http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Zahlentheorie)
Thorsten_2 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, das sieht sehr Umfangreich aus.
Kann ich das mit der geg. Aufgabe in Verbindung bringen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist genau das, was gefragt ist.

m ist kongruent n modulo p genau dann wenn p ein Teiler von m-n ist:

Jetzt brauchst du nur noch zeigen, dass das eine Äquivalenzrelation ist.
Kongruenzrelation heißt diese Äquivalenzrelation, weil sie darüber hinaus mit Addition und Multiplikation verträglich ist. Was kann man sich schöneres wünschen ?
 
 
Thorsten_2 Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es nicht auch eine andere Methode, außer die Kongurenzrelation, um eine Äquivalenzrelation festzustellen?
WIe Analysiere ich z.B. reflexivität, symmetrie, transitivität?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ganz einfach die Definition benutzen.
reflexiv: für alle n gilt p|n-n, denn aus n-n=0 folgt n-n=0*p
Thorsten_2 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst Du mir vielleicht Schrittweise zeigen, wie du darauf kommst? Ich tue mir unheimlich schwer überhaupt die essentiellen Dinge herazulesen, welche ich für die Äquivalenzbestimmung benötige.

Müsste es nicht heißen:
reflexiv: für alle n gilt p|n-m, denn aus n-m=0 folgt n-m=0*p?

Und wie bestimmt man die Äquivalenzklasse des Elements x?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

... gerne, nach dem Mittagessen ...
Thorsten_2 Auf diesen Beitrag antworten »

Was mir vielleicht schon helfen würde, wie kann man einen solchen Ausdruck prinzipiell deuten (also in Worten ausgedrückt):



Was bedeutet z.B. das "|" oder "M := Z;" etc.?

@Elvis: Danke Dir :-)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thorsten_2
Was mir vielleicht schon helfen würde, wie kann man einen solchen Ausdruck prinzipiell deuten (also in Worten ausgedrückt):



Was bedeutet z.B. das "|" oder "M := Z;" etc.?





a) Georg Cantor: "Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohldefinierten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen."
b) Eine Menge ist durch ihre Elemente vollständig bestimmt. Zum Beispiel .
c) das geordnete Paar ist definiert als die Menge
d) Das cartesische Produkt zweier Mengen und ist die Menge aller Paare mit in und in , also
e) Ist eine Menge, dann ist eine Relation eine Teilmenge
f) eine Äquivalenzrelation ist eine Relation mit den Eigenschaften (r),(s),(t)
g) Satz : Zu jeder Äquivalenzrelation gehört eine Klasseneinteilung von in disjunkte Teilmengen, d.h. ,
umgekehrt definiert jede Klasseneinteilung von eine Äquivalenzrelation von durch .

| heißt "mit der Eigenschaft"
:= definiert das was links steht durch das was rechts steht
Thorsten_2 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich versuche das Ganze mal zu übersetzen:

Die Menge M ist definiert als ganze Zahl. Die Relation R ist definiert mit m, n als Element des Kartesisischen Produkts von ganzen Zahlen und besitzt die Eigenschaft, dass ein k Element einer ganzen Zahl existiert mit der Eigenschaft (was heißt der ":" ?) m - n = k * p. Wobei p Element N fest gewählt ist und x die Eigenschaft 1 besitzt.

Ist das soweit richtig?

Die Relation R soll jetzt eine Äquivalenzrelation auf der Menge M sein.

Es gibt also folgende Eigfenschaften zu Beweisen:

1. Reflexivität:


2. Symmetrie


3. Transitivität


Wie kann ich die o.g. Definitionen mit der Relation im Einklang bringen?
Was spielt das x für eine Rolle? Das kommt in der Relation ja garnicht vor.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist die Menge der ganzen Zahlen. x spielt keine Rolle, ich habe keine Ahnung, was das in der Aufgabe zu suchen hat.

reflexiv habe ich schon bewiesen, die beiden anderen Eigenschaften musst du beweisen.

Ich habe auch schon deutlich gemacht, dass die Existenz eines k mit k*p=m-n gleichbedeutend damit ist, dass p die Differenz m-n teilt.
Thorsten_2 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Menge (M) setzt sich doch normalerweise aus Elementen zusammen und eine Relation (R) aus Tupel.
Also z.B.:
M= {1,2,3,4}
R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)....}

Was wären die Elemente und Tupel im Zusammenhang mit der gestellten Aufgabe und wie erkenne ich diese?
Vielleicht bringt mich das etwas weiter, das Ganze zu begreifen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das hilft dir nicht weiter. Es ist . Das weißt du schon lange, und es hilft anscheinend nichts. Wo ist dein Problem ? Warum verstehst du nicht , dass und wie ich die Reflexivität bewiesen habe ? Nochmal im Klartext: , also ist reflexiv .

Allgemein habe ich dir auch gesagt, dass jede Äquivalenzrelation die Menge M in Klassen zerlegt. Du musst nur noch (s)=Symmetrie und (t)=Transitivität beweisen.
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